Markov egyenlőtlenség

A valószínűségszámítás , Markov egyenlőtlenség ad növekedést a valószínűsége, hogy egy valódi véletlen változó pozitív értékek nagyobb vagy egyenlő, mint egy pozitív konstans. Ezt az egyenlőtlenséget Andrej Markov tiszteletére nevezték el .

Államok

Markov egyenlőtlenség - Legyen $Z$ valós valószínűségi változó, amelyet egy valószínűségi térben határoztak meg, és amelyet szinte biztosan pozitívnak vagy nullának feltételeznek. Így ${\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P} \ right)}$

{\ displaystyle \ forall a> 0, \ qquad \ mathbb {P} (Z \ geqslant a) \ leqslant {\ frac {\ mathbb {E} (Z)} {a}}.}

Demonstráció

Bármelyiket . Megjegyezzük, az indikátor függvénye az esemény . ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {\ {Z \ geqslant a \}}}$ ${\ displaystyle \ {Z \ geqslant a \}}$

Megvan az egyenlőtlenség:

{\ displaystyle \ forall \ omega \ in Omega, \ qquad a \, \ mathbf {1} _ {\ {Z (\ omega) \ geqslant a \}} \ leqslant Z (\ omega) \, \ mathbf {1 } _ {\ {Z (\ omega) \ geqslant a \}} \ leqslant Z (\ omega)}

mert pozitív vagy nulla. $Z$

A várakozások növekedése révén:

{\ displaystyle \ mathbb {E} \ left (a \, \ mathbf {1} _ {\ {Z (\ omega) \ geqslant a \}} \ right) \ leqslant \ mathbb {E} (Z) \ qquad ( *)}

Ezután a várakozás linearitásával:

{\ displaystyle \ mathbb {E} \ left (a \, \ mathbf {1} _ {\ {Z (\ omega) \ geqslant a \}} \ right) = a \, \ mathbb {E} \ left (\ mathbf {1} _ {\ {Z (\ omega) \ geqslant a \}} \ right) = a \, \ left (1 \ times \ mathbb {P} (Z \ geqslant a) +0 \ times \ mathbb { P} (Z <a) \ jobbra = a \, \ mathbb {P} \ balra (Z \ geqslant a \ jobbra)}

A kifejezés visszavezetésével az egyenlőtlenségbe a következőket kapjuk: $(*)$

{\ displaystyle a \, \ mathbb {P} \ bal (Z \ geqslant a \ right) \ leqslant \ mathbb {E} (Z)}

vagyis

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ balra (Z \ geqslant a \ jobbra) \ leqslant {\ frac {\ mathbb {E} (Z)} {a}}}

Általánosítás

Ennek a tételnek van egy általánosabb változata. Hadd $X lehet$ egy véletlen változó , ahol $Ω$ halmaza felismerések, a törzs az események, és az intézkedés a valószínűsége. Ezután a Markov-egyenlőtlenség a következőképpen állapítható meg: ${\ textstyle L ^ p (\ Omega, \ mathcal {F}, \ mathbb {P})}$ ${\ textstyle \ mathcal {F}}$ ${\ textstyle \ mathbb {P}}$

Markov egyenlőtlenség - minden szigorúan pozitív valósért , $\ alfa$

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ bal (| X | \ geq \ alpha \ right) \ leq {\ frac {1} {\ alpha ^ {p}}} \ mathbb {E} \ bal (| X | ^ {p} \ jobbra}}

A demonstráció teljes mértékben arra a tényre vezethető vissza, hogy minden $α esetében$ szigorúan pozitív . Itt $1$ $A$ jelöli a mutató az esemény $egy$ . Az elvárások növelésével a következőket kapjuk: ${\ textstyle \ alpha ^ {p} \ mathbf {1} _ {\ left \ {| X | \ geq \ alpha \ right \}} \ leq | X | ^ {p}}$

E(|x|o)≥E(αo1{|x|≥α})=αoE(1{|x|≥α})=αoP{|x|≥α}{\ displaystyle \ mathbb {E} \ left (| X | ^ {p} \ right) \ geq \ mathbb {E} \ left (\ alpha ^ {p} \, \ mathbf {1} _ {\ left \ { | X | \ geq \ alpha \ right \}} \ right) = \ alpha ^ {p} \, \ mathbb {E} \ left (\ mathbf {1} _ {\ left \ {| X | \ geq \ alpha \ right \}} \ right) = \ alpha ^ {p} \, \ mathbb {P} \ left \ {| X | \ geq \ alpha \ right \}}

{\ displaystyle \ mathbb {E} \ left (| X | ^ {p} \ right) \ geq \ mathbb {E} \ left (\ alpha ^ {p} \, \ mathbf {1} _ {\ left \ { | X | \ geq \ alpha \ right \}} \ right) = \ alpha ^ {p} \, \ mathbb {E} \ left (\ mathbf {1} _ {\ left \ {| X | \ geq \ alpha \ right \}} \ right) = \ alpha ^ {p} \, \ mathbb {P} \ left \ {| X | \ geq \ alpha \ right \}}

Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát elosztjuk

α p-vel

, megtaláljuk a kívánt eredményt.

Rögtön látjuk, hogy a fent idézett eredmény nem más, mint ennek az egyenlőtlenségnek egy speciális esete.

Sőt, szedési és $p$ $= 2,$ megkapjuk pontosan nyilatkozatot a Bienaymé-Csebisev egyenlőtlenség . ${\ textstyle X = Y- \ mathbb {E} \ bal (Y \ jobb)}$

Következmény

Gyakran használt következményei vannak:

Következmény - Legyen $φ$ egy nem negatív növekvő függvény az $I$ intervallumon . Hadd $Y lehet$ egy igazi véletlen változó definiált valószínűségi teret úgy, hogy . Így : ${\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P} \ right)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (Y \ I-ben) = 1}$

{\ displaystyle \ forall b \ in I \; | \; \ phi (b)> 0, \ qquad \ mathbb {P} (Y \ geqslant b) \ leqslant {\ frac {\ mathbb {E} (\ phi ( Y))} {\ phi (b)}}.}

Demonstráció

Alkalmazzuk a Markov egyenlőtlenség és megszerezni: ${\ displaystyle Z = \ phi (Y) \}$ ${\ displaystyle a = \ phi (b)}$

{\ displaystyle \ forall b> 0, \ qquad \ mathbb {P} \ bal (\ phi (Y) \ geqslant \ phi (b) \ right) \ leqslant {\ frac {\ mathbb {E} (\ phi (Y ))} {\ phi (b)}}}

Növekedési vezet: . $\ phi$ ${\ displaystyle \ {Y \ geqslant b \} \ részhalmaz \ {\ phi (Y) \ geqslant \ phi (b) \} \}$

Ezért: . ${\ displaystyle \ mathbb {P} (Y \ geqslant b) \ leqslant {\ frac {\ mathbb {E} (\ phi (Y))} {\ phi (b)}}}$

Alkalmazások

A fenti egyenlőtlenség és az $ϕ ($ $x$ $) =$ $x$ $2 választása$ a Bienaymé-Chebyshev egyenlőtlenséget adja . ${\ displaystyle Y = | X- \ mathbb {E} (X) |, ~ I = [0, + \ infty [\}$

A választás, a fenti egyenlőtlenség, a , vagy a , a , és a $φ ($ $x$ $) = e$ $λ$ $x$ , $λ> 0$ , az első lépés az a bizonyíték a Chernoff egyenlőtlenség vagy a Hoeffding egyenlőtlenség . ${\ displaystyle Y = X- \ mathbb {E} (X)}$ ${\ displaystyle Y = \ mathbb {E} (X) -X}$ ${\ displaystyle I = \ mathbb {R}}$

A Markov-egyenlőtlenséget gyakran a Borel-Cantelli lemmával együtt alkalmazzák , például a nagy számok erős törvényének bizonyítására .

Példa

Mivel a bérek pozitívak, az átlagbér ötszörösénél magasabb fizetést kapó népesség aránya legfeljebb egyötöde.

Lásd is