Hensel lemma
A matematika , Hensel lemma eredménye, amely lehetővé teszi, hogy következtetni, hogy létezik egy gyökér a polinom a létezését közelítő megoldás . Kurt Hensel , a XX . Század elejének matematikusáról kapta a nevét . Bemutatása analóg Newton módszerével .
A henseli gyűrű fogalma azokat a gyűrűket csoportosítja, amelyekben Hensel lemma érvényes. A leggyakoribb példák ℤ p (a gyűrűt a p -adic egész számok , a p a prímszám ) és k [[ t ]] (a gyűrűt a formális sorozat több mint egy mezőt k ) vagy még általánosabban, a gyűrűk a teljes diszkrét értékelési .
Nyilatkozatok
Úgy véljük, egy polinom P és együtthatók ℤ p (a gyűrű p -adic egészek , ahol p prím ).
Hensel lemma 1. verziója.
Ha van olyan , hogy
α0∈Zo{\ displaystyle \ alpha _ {0} \ in \ mathbb {Z} _ {p}}
P(α0)≡0(modo)etP′(α0)≢0(modo),{\ displaystyle P (\ alpha _ {0}) \ equiv 0 {\ pmod {p}} \ quad {\ rm {et}} \ quad P '(\ alpha _ {0}) \ not \ equiv 0 {\ pmod {p}},}
akkor létezik olyan, hogy
α∈Zo{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {Z} _ {p}}
P(α)=0etα≡α0(modo).{\ displaystyle P (\ alpha) = 0 \ quad {\ rm {és}} \ quad \ alpha \ equiv \ alpha _ {0} {\ pmod {p}}.}
Általánosabban, ha egy Noetherian gyűrű A jelentése komplett az I -adic topológia egy bizonyos ideális I és ha P egy polinom együtthatók Egy majd bármely elemét α 0 az A , hogy, modulo I , P (α 0 ) értéke nulla, és a P ' (α 0 ) jelentése invertálható , emelkedik egyedülállóan gyöke P a a .
A feltétel elengedhetetlen. Így az egyenletnek nincs megoldása (egy ilyen megoldásnak egyeznie kell 2 modulo 5-vel ; pózolva , így lenne , ami abszurd, mivel a 30 nem osztható 25-tel), míg van benne , mivel osztható 5; ez azért van megmagyarázva, mert azonosan nulla in .
P′(α0)≢0(modo){\ displaystyle P '(\ alpha _ {0}) \ not \ equiv 0 {\ pmod {p}}}
x5.=2{\ displaystyle X ^ {5} = 2}
Z5.{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {5}}
nál nél{\ displaystyle a}
nál nél=2+5.x{\ displaystyle a = 2 + 5x}
2=(2+5.x)5.=32+5.×16.×5.x+10.×8.×(5.x)2+...{\ displaystyle 2 = (2 + 5x) ^ {5} = 32 + 5 \ szor 16 \ szor 5x + 10 \ szor 8x (5x) ^ {2} + \ pont}
Z/5.Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} / 5 \ mathbb {Z}}
25.-2{\ displaystyle 2 ^ {5} -2}
P′(x){\ displaystyle P '(X)}
Z/5.Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} / 5 \ mathbb {Z}}
Hensel lemma 2. verziója.
Ha létezik olyan, hogy valamilyen N egész számra van
α0∈Zo{\ displaystyle \ alpha _ {0} \ in \ mathbb {Z} _ {p}}P′(α0)≡0(modoNEM),P′(α0)≢0(modoNEM+1)etP(α0)≡0(modo2NEM+1),{\ displaystyle P '(\ alpha _ {0}) \ equiv 0 {\ pmod {p ^ {N}}}, \ quad P' (\ alpha _ {0}) \ not \ equiv 0 {\ pmod {p ^ {N + 1}}} \ quad {\ rm {és}} \ quad P (\ alpha _ {0}) \ equiv 0 {\ pmod {p ^ {2N + 1}}},}
akkor létezik olyan, hogy
α∈Zo{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {Z} _ {p}}P(α)=0etα≡α0(modoNEM+1).{\ displaystyle P (\ alpha) = 0 \ quad {\ rm {és}} \ quad \ alpha \ equiv \ alpha _ {0} {\ pmod {p ^ {N + 1}}}.}
Hensel lemma 3. verziója.
Legyen K egy teljes, nem archimédészi értékű mező , | ∙ | egy abszolút érték a K társított hogy értékelési, O K annak gyűrű egész számok , f ∈ O K [ X ] és x egy eleme O K olyan, hogyvs.: =|f(x)f′(x)2|<1.{\ displaystyle c: = \ left | {\ frac {f (x)} {f '(x) ^ {2}}} \ right | <1.}
Így :
- által meghatározott sorrend és az ismétlődési képlet: jól meghatározott és kielégítő(xnem)nem∈NEM{\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
x0: =x{\ displaystyle x_ {0}: = x}
xnem+1: =xnem-f(xnem)f′(xnem){\ displaystyle x_ {n + 1}: = x_ {n} - {\ frac {f (x_ {n})} {f '(x_ {n})}}}
|f(xnem)|⩽vs.2nem|f′(x0)|2et|xnem+1-xnem|⩽vs.2nem|f′(x0)| ;{\ displaystyle \ vert f (x_ {n}) \ vert \ leqslant c ^ {2 ^ {n}} \ vert f '(x_ {0}) \ vert ^ {2} \ quad {\ rm {and}} \ quad \ vert x_ {n + 1} -x_ {n} \ vert \ leqslant c ^ {2 ^ {n}} \ vert f '(x_ {0}) \ vert ~;}
- konvergál a O K egy gyökér ξ a F és∀nem∈NEM|ξ-xnem|⩽|f(x)f′(x)|2nem ;{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad \ vert \ xi -x_ {n} \ vert \ leqslant \ left | {\ frac {f (x)} {f '(x)}} \ jobb | ^ {2 ^ {n}} ~;}
-
ξ az f egyetlen gyöke az O K nyitott gömbjében , középpontja x és sugara | f ( x ) / f '( x ) | .
Hensel lemma 4. verziója.
Bármely teljes lokális gyűrű Hensel-féle (in) , azaz A jelöli ezt a gyűrűt és k a maradék mezőjét , hogy ha egy f ∈ A [ X ] polinom k [ X ] -ben lévő képre két g és h első polinom szorzata közöttük , akkor g és h értékeket az f termék A [ X ] két polinomjává emeljük .
Ezt a " Hensel " lemmát Theodor Schönemann mutatta be 1846-ban.
Alkalmazások
Hensel lemma sokféle helyzetben alkalmazható.
Ortogonális idempotensek családja
Legyen A egy noetherian lokális gyűrű, teljes a maximális ideális M-hez kapcsolódó M- adikus topológiához , és B egy kommutatív A -algebra , véges típusú, mint A- modul . Tehát a B / MB "ortogonális" minden idempotens családja egyedülálló módon emelkedik a B ortogonális idempotens családjában .
Valójában az idempotensek a P ( X ) polinom gyökerei : = X 2 - X , és ha P ( e ) nulla, akkor P ' ( e ) a saját inverze. Most B teljes (a) a topológia MB -adic, amely lehetővé teszi, köszönhetően a lemma a Hensel (változat a fenti 1.), hogy megfeleljen az egyes idempotens a B / MB egy idempotens a B . Végül, ha B két idempotense ortogonális modulo MB , akkor azok abszolút értékben vannak: x szorzatuk nulla, mert (a teljesség alapján) 1 - x invertálható, vagy x (1 - x ) = 0.
A polinomok faktorszámozása egész együtthatóval
A redukálhatatlan tényezőkben az egész együtthatós polinomok faktorizálásának algoritmusai először egy véges mezőben egy faktorizációt alkalmaznak, amelyet ezt követően a gyűrűben össze kell állítani egy bizonyos k esetén . Ez a helyreállítás a Hensel-féle lemma egy adott esetének köszönhető, amelyet az alábbiakban közölünk:
Fo{\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}
Z/o2kZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p ^ {2 ^ {k}} \ mathbb {Z}}}
NEM{\ displaystyle \ mathbb {N}}
Legyen p prímszám, P pedig egy egész együtthatóval rendelkező polinom, amely két polinom szorzatává bomlik, ahol együtthatók vannak .
G0H0{\ displaystyle G_ {0} H_ {0}}
Z/oZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p \ mathbb {Z}}}
Azt feltételezzük, és elsődleges egymás között, a Bézout együtthatók az .
G0{\ displaystyle G_ {0}}
H0{\ displaystyle H_ {0}}
U0,V0{\ displaystyle U_ {0}, V_ {0}}
Z/oZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p \ mathbb {Z}}}
Tehát mindenre van egy egyedülálló négyes polinom , például:
k∈NEM{\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}
Z/o2kZ,(Gk,Hk,Uk,Vk){\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p ^ {2 ^ {k}} \ mathbb {Z}}, (G_ {k}, H_ {k}, U_ {k}, V_ {k})}
- axk+1=xk[o2k]{\ displaystyle X_ {k + 1} = X_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}]}![{\ displaystyle X_ {k + 1} = X_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3cf84fa23d1d23372f5fb42eb1ae8cbc07c829e)
x∈{Gk,Hk,Uk,Vk}{\ displaystyle X \ in \ lbrace G_ {k}, H_ {k}, U_ {k}, V_ {k} \ rbrace}
- prím egymás között, egységes, a Bézout együtthatók aGk,Hk{\ displaystyle G_ {k}, H_ {k}}
Uk,Vk{\ displaystyle U_ {k}, V_ {k}}
Z/o2kZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p ^ {2 ^ {k}} \ mathbb {Z}}}
- P=GkHk{\ displaystyle P = G_ {k} H_ {k}}
Demonstráció
Folytassuk indukcióval tovább .
k{\ displaystyle k}
Az inicializálást a hipotézis adja.
Az öröklődés szempontjából feltételezzük egy bizonyos rang létezését . Építeni próbálunk .
(Gk,Hk,Uk,Vk){\ displaystyle (G_ {k}, H_ {k}, U_ {k}, V_ {k})}
k⩾0{\ displaystyle k \ geqslant 0}
(Gk+1,Hk+1){\ displaystyle (G_ {k + 1}, H_ {k + 1})}
Hipotézisünk szerint tehát léteznek ilyenek .
P=GkHk [o2k]{\ displaystyle P = G_ {k} H_ {k} ~ [p ^ {2 ^ {k}}]}![{\ displaystyle P = G_ {k} H_ {k} ~ [p ^ {2 ^ {k}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfde7c628c3ae0aa82ad6cbae7bbf5353dace572)
Rk∈Z/o2kZ[x]{\ displaystyle R_ {k} \ in \ mathbb {Z} / _ {p ^ {2 ^ {k}} \ mathbb {Z}} [X]}![{\ displaystyle R_ {k} \ in \ mathbb {Z} / _ {p ^ {2 ^ {k}} \ mathbb {Z}} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3349636b43f2aad976a8c3971260ae3827954ab)
P-GkHk=o2kRk [o2k+1]{\ displaystyle P-G_ {k} H_ {k} = p ^ {2 ^ {k}} R_ {k} ~ [p ^ {2 ^ {k + 1}}]}![{\ displaystyle P-G_ {k} H_ {k} = p ^ {2 ^ {k}} R_ {k} ~ [p ^ {2 ^ {k + 1}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a543b4b47f1369b8b6c8c484454234e22795f81d)
Mi majd hívja , és a mindenkori maradékokat és az euklideszi részlege par és par .
hk{\ displaystyle h_ {k}}
gk{\ displaystyle g_ {k}}
UkRk{\ displaystyle U_ {k} R_ {k}}
Hk{\ displaystyle H_ {k}}
VkRk{\ displaystyle V_ {k} R_ {k}}
Gk{\ displaystyle G_ {k}}
Mi pózolunk {Gk+1=Gk+o2kgkHk+1=Hk+o2khk{\ displaystyle \ left \ lbrace {\ begin {tömb} {cc} G_ {k + 1} = & G_ {k} + p ^ {2 ^ {k}} g_ {k} \\ H_ {k + 1} = & H_ {k} + p ^ {2 ^ {k}} h_ {k} \\\ end {tömb}} \ jobb.}
Ellenőrizzük, hogy illik-e:
Építés szerint, {Gk+1=Gk[o2k]Hk+1=Hk[o2k]{\ displaystyle \ left \ lbrace {\ begin {tömb} {cc} G_ {k + 1} = & G_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}] \\ H_ {k + 1} = & H_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}] \\\ end {tömb}} \ jobb.}![{\ displaystyle \ left \ lbrace {\ begin {tömb} {cc} G_ {k + 1} = & G_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}] \\ H_ {k + 1} = & H_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}] \\\ end {tömb}} \ jobb.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b983be24a6e53ae8f96e7390a00bbf0dbb91ea)
Az euklideszi osztás domináns együtthatói és azok, és mert, és abból erednek. Tehát és egységesek, és ezt egyszerű számítással ellenőrizzük .
Gk+1{\ displaystyle G_ {k + 1}}
Hk+1{\ displaystyle H_ {k + 1}}
Gk{\ displaystyle G_ {k}}Hk{\ displaystyle H_ {k}}gk{\ displaystyle g_ {k}}hk{\ displaystyle h_ {k}}Gk+1{\ displaystyle G_ {k + 1}}Hk+1{\ displaystyle H_ {k + 1}}P=Gk+1Hk+1 [o2k+1]{\ displaystyle P = G_ {k + 1} H_ {k + 1} ~ [p ^ {2 ^ {k + 1}}]}}![{\ displaystyle P = G_ {k + 1} H_ {k + 1} ~ [p ^ {2 ^ {k + 1}}]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f17d5ad36bfb9b3f8163bbf9936da18498fd85d7)
Végül a Bézout-együtthatók bemutatásával megmutatjuk, hogy a és a koprime.
Gk+1{\ displaystyle G_ {k + 1}}Hk+1{\ displaystyle H_ {k + 1}}
Mi pózolunk {Uk+1=2Uk-Gk+1Uk2 mod Hk+1Vk+1=2Vk-Hk+1Vk2 mod Gk+1{\ displaystyle \ left \ lbrace {\ begin {tömb} {cc} U_ {k + 1} = & 2U_ {k} -G_ {k + 1} U_ {k} ^ {2} ~ mod ~ H_ {k + 1} \\ V_ {k + 1} = & 2V_ {k} -H_ {k + 1} V_ {k} ^ {2} ~ mod ~ G_ {k + 1} \\\ end {tömb}} \ jobb .}
Van: .
Uk+1Gk+1=1-(UkGk+1-1)2 mod Hk+1{\ displaystyle U_ {k + 1} G_ {k + 1} = 1- (U_ {k} G_ {k + 1} -1) ^ {2} ~ mod ~ H_ {k + 1}}
És ami kiegészíti a bizonyítást.
(UkGk+1-1)2=(Uko2kgk-HkVk)2 modHk+1=(Uko2kgk-(Hk+1-okhk)Vk)2 modHk+1=0{\ displaystyle (U_ {k} G_ {k + 1} -1) ^ {2} = (U_ {k} p ^ {2 ^ {k}} g_ {k} -H_ {k} V_ {k}) ^ {2} ~ modH_ {k + 1} = (U_ {k} p ^ {2 ^ {k}} g_ {k} - (H_ {k + 1} -p ^ {k} h_ {k}) V_ {k}) ^ {2} ~ modH_ {k + 1} = 0}
A következő algoritmus lehetővé teszi a polinomok és a lemma szerkesztését.
Gk,Hk,Uk,{\ displaystyle G_ {k}, H_ {k}, U_ {k},}
Vk{\ displaystyle V_ {k}}
Entrée : p un nombre premier, k un entier,
P,G,H,U,V{\displaystyle P,G,H,U,V}
des polynômes avec
P=GH [p]{\displaystyle P=GH~[p]}![{\displaystyle P=GH~[p]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9444bce91e86153b2f562db7735c64f585ca3cc0)
et
GU+HV=1 [p]{\displaystyle GU+HV=1~[p]}![{\displaystyle GU+HV=1~[p]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/024d8eb8462b685f9c919609b395f30fb08bacac)
Sortie :
G,H,U,V{\displaystyle G,H,U,V}
tels que
P=GH [p2k]{\displaystyle P=GH~[p^{2^{k}}]}![{\displaystyle P=GH~[p^{2^{k}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b164bb35a11322eeb8afff355f575f5d70d9acce)
et
GU+HV=1 [p2k]{\displaystyle GU+HV=1~[p^{2^{k}}]}![{\displaystyle GU+HV=1~[p^{2^{k}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9612a2e376a23d0ad1399993e3ceb1cf3475d81d)
Pour i = 1 à k-1
R←P−GHpi{\displaystyle R\leftarrow {\dfrac {P-GH}{p^{i}}}}
G←H+pi{\displaystyle G\leftarrow H+p^{i}}
*Div_Euclide
(UR,H){\displaystyle (UR,H)}
H←G+pi{\displaystyle H\leftarrow G+p^{i}}
*Div_Euclide
(VR,G){\displaystyle (VR,G)}
U←{\displaystyle U\leftarrow }
Div_Euclide
(2U−U2G,H){\displaystyle (2U-U^{2}G,H)}
V←{\displaystyle V\leftarrow }
Div_Euclide
(2V−V2H,G){\displaystyle (2V-V^{2}H,G)}
retourne
(G,H,U,V){\displaystyle (G,H,U,V)}
Megjegyzések és hivatkozások
-
(in) Akhil Mathew, " Befejezések " a cring projektben .
-
(in) David Eisenbud , kommutatív algebra: kilátással az algebrai geometriára , Springer al. " GTM " ( n ° 150)1995, 785 p. ( ISBN 978-0-387-94269-8 , online olvasás ) , p. 189-190jelzi, hogy a „helyi” hipotézis nem szükséges (az állítás akkor érvényes minden ideális M a A ), és kiterjeszti az igazolás megléte nélkül (egyediség) arra az esetre, ha egy nem kommutatív, de csak a család, hogy a leginkább megszámlálható .
-
Vagyis kinek a szorzata kettő-kettő nulla.
-
Abuaf Roland és Boyer Ivan " faktorizációZ[x]{\ displaystyle \ mathbb {Z} [X]}
![{\ displaystyle \ mathbb {Z} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a538d203a057d4c604f799c28e9a7be410fdcac)
" Mester talk által javasolt François Loeser ,2007. június 20( online olvasás )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">