Neyman-Pearson Lemma

Természet	Tétel
Feltalálók	Jerzy Neyman , Egon Sharpe Pearson
Névre hivatkozva nevezték el	Jerzy Neyman , Egon Sharpe Pearson
Képlet	${\ displaystyle \ Lambda (x) = {\ frac {L (x \ mid \ theta _ {0})} {L (x \ mid \ theta _ {1})}} \ leq \ eta}$

A statisztikákban a Neyman-Pearson lemma szerint , amikor két hipotézis H 0 : θ = θ 0 és H 1 : θ = θ 1 hipotézis tesztet akarunk elvégezni egy minta esetében , akkor a valószínűség arányának tesztje hogy elutasítja H 0 az M 1 , ha , ahol a jelentése a ${\ mathbf {x}} = (X_ {1}, \ ldots, X_ {n})$ ${\ frac {{\ mathcal L} ({\ mathbf x}, \ theta _ {0})} {{\ mathcal L} ({\ mathbf x}, \ theta _ {1})}} \ leq k_ { \ alpha}$ $k _ {\ alfa}$

P \ balra ({\ frac {{\ mathcal {L}} ({\ textbf {x}}, \ theta _ {{0}})} {{\ mathcal {L}} ({\ textbf {x}} , \ theta _ {{1}})}}} \ leq k _ {\ alpha} {\ bigg |} H_ {0} \ right) = \ alpha

, a legerősebb szintteszt .

\ alfa

Ez a lemma Jerzy Neymanról és Egon Sharpe Pearsonról kapta a nevét egy 1931-es cikkben.

A gyakorlatban legtöbbször magát a valószínűségi arányt nem használják kifejezetten a tesztben. A fenti valószínűségi arány-teszt ugyanis gyakran egyenértékű az egyszerűbb statisztika formavizsgálatával, és a tesztet ebben a formában hajtják végre. $T \ leq t _ {\ alfa}$ $T$

Demonstráció

Ez a cikk publikálhatatlan munkákat vagy nem ellenőrzött nyilatkozatokat tartalmazhat (2019 március).

Segíthet referenciák hozzáadásával vagy a közzé nem tett tartalom eltávolításával. További részletekért lásd a beszélgetés oldalt .

Tétel: Az optimális elutasítási régiót olyan ponthalmaz határozza meg, mint pl $R_0$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

{\ displaystyle {\ frac {{\ mathcal {L}} ({\ textbf {x}}, \ theta _ {0})} {{\ mathcal {L}} ({\ textbf {x}}, \ theta _ {1})}} \ leq k _ {\ alpha}}

ahol az állandó olyan, hogy . Vegye figyelembe, hogy a következő kapcsolatok vannak: $k _ {\ alfa}$ ${\ displaystyle P (\ mathbf {x} \ in R_ {0} | \ theta _ {0}) = \ alpha}$

{\ displaystyle P \ bal ({\ textbf {D}} _ {n} \ R_-ben {0} | \ theta _ {0} \ right) = \ alpha = \ int _ {R_ {0}} \! { \ mathcal {L}} (\ mathbf {x}; \ theta _ {0}) \ d \ mathbf {x}}

{\ displaystyle P \ bal ({\ textbf {D}} _ {n} \ in R_ {0} | \ theta _ {1} \ right) = 1- \ beta = \ int _ {R_ {0}} \ ! {\ mathcal {L}} (\ mathbf {x}; \ theta _ {1}) \ d \ mathbf {x}}

hol van a minta. ${\ displaystyle D_ {n} = (x '_ {1}, \ ldots, x' _ {n})}$

Demonstráció:

Először mutassuk meg, hogy mikor van korlátozott sűrűség, mindig létezik olyan állandó , amely ${\ displaystyle f _ {\ mathcal {X}} (.; \ theta)}$ $k$

{\ displaystyle P \ balra ({\ frac {{\ mathcal {L}} ({\ textbf {x}}, \ theta _ {0})} {{\ mathcal {L}} ({\ textbf {x} }, \ theta _ {1})}}} k {\ bigg |} H_ {0} \ right) = \ alpha}

. Valójában, amikor ez a valószínűség egyenlő 1-vel. Másrészt ez a valószínűség monoton és folyamatosan csökken a nulla felé, amikor . Ezért kell lennie egy véges értéknek , amelyet úgy hívnak, hogy kielégítse az egyenlőséget .

k = 0

{\ displaystyle k \ rightarrow \ infty}

k

k _ {\ alfa}

{\ displaystyle \ forall \ alpha \ in] 0; 1 [}

Jelöljük a következő részhalmazgal :

R_0

{\ mathbb {R}} ^ {{n}}

{\ displaystyle R_ {0} \ triangleq \ lbrace \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n} {\ bigg |} {\ frac {{\ mathcal {L}} ({\ textbf {x} }, \ theta _ {0})} {{\ mathcal {L}} ({\ textbf {x}}, \ theta _ {1})}}> k _ {\ alpha} \ rbrace}

, vagy annak egy másik része , ilyen . Mutassuk meg

R

{\ mathbb {R}} ^ {{n}}

{\ displaystyle P (\ mathbf {x} \ R | \ theta _ {0}) = \ alfa}

{\ displaystyle P (\ mathbf {x} \ R_ {0} | \ theta _ {1})> P (\ mathbf {x} \ R | \ theta _ {1})}

Megjegyzések és hivatkozások

(en) J. Neyman és ES Pearson , " IX. A statisztikai hipotézisek leghatékonyabb tesztjének problémájáról ” , Phil. Ford. R. Soc. Lond. A , vol. 231, nem . 694-706,1933. február 16, P. 289–337 ( ISSN 0264-3952 , DOI 10.1098 / rsta.1933.0009 , online olvasás )

Külső linkek

Lásd is