Exponenciális simítás

Az exponenciális simítás empirikus módszer a veszélyek által érintett idősor-adatok simítására és előrejelzésére . A mozgóátlagok módszeréhez hasonlóan minden adatot egymás után simítunk a kezdeti értéktől kezdve. De míg a mozgó átlag ugyanolyan súlyt ad az összes megfigyelésnek, amelyet egy bizonyos ablakon belül tettek át, az exponenciális simítás a múltbeli megfigyeléseknek olyan súlyt ad, amely korukkal exponenciálisan csökken. Exponenciális egyik ablakos módszerek alkalmazott jelfeldolgozás. Aluláteresztő szűrőként működik, mivel eltávolítja a magas frekvenciákat a kezdeti jelből.

A nyers adatokat sorozat jegyezni , kezdve . Megjegyezzük az exponenciális simítás eredményét  ; ez a múlt függvényében a veszélyektől mentes becslésnek tekinthető (a jelfeldolgozásban, mondjuk zajnak ). Az eredmény azonban a felhasználó gyakorlatától (a simító tényező megválasztásától) függ. {yt}{\ displaystyle \ {y_ {t} \}}t=0{\ displaystyle t = 0}{st}{\ displaystyle \ {s_ {t} \}}y^t{\ displaystyle {\ hat {y}} _ {t}}yt{\ displaystyle y_ {t}}

Az exponenciális simítás csak azoknál az adatoknál hasznos, amelyek nagyjából stacionáriusak (vagyis erőteljes növekedés vagy csökkenés vagy szezonális eltérések nem befolyásolják). Ha van trend, akkor a módszernek bonyolultnak kell lennie ( kettős exponenciális simítás ). Nem nyújt segítséget a szezonális adatok feldolgozásához. Empirikus jellegű, a módszer semmilyen jelzést nem ad az eredmények statisztikai tulajdonságairól.

A kezdő sorozat esetén az egyszerű exponenciális simítás eredményét a következő képletek adják meg: t=0{\ displaystyle t = 0}

s0=y0{\ displaystyle s_ {0} = y_ {0}} a  :t>0{\ displaystyle t> 0} st=αyt+(1-α)st-1{\ displaystyle s_ {t} = \ alfa y_ {t} + (1- \ alfa) s_ {t-1}} hol van a simító tényező , aα{\ displaystyle \ alpha}0<α<1{\ displaystyle 0 <\ alpha <1}

Egyszerű exponenciális simítás

Az exponenciális ablakozási vagy egyszerű exponenciális van rendelve hal volna, hogy széles körben alkalmazott módszerek a XVII th  század ezt a módszert a jelfeldolgozó szakemberek alkalmazták az 1940-es években.

Az egyszerű exponenciális simítás legalapvetőbb kifejezését a következő kifejezés adja:

st=α⋅yt+(1-α)⋅st-1{\ displaystyle s_ {t} = \ alpha \ cdot y_ {t} + (1- \ alpha) \ cdot s_ {t-1}}

A módszer akkor alkalmazható, ha két vagy több nyers érték áll rendelkezésre.

A paraméter α egy simító tényező 0 és 1 közötti Más szavakkal, s t lehet tekinteni, mint a súlyozott átlag érték közötti y t és az előző simított értékére s t - 1 . Az α-nak adott „simító tényező” megnevezés félrevezető, amennyiben a simítás csökken, amikor az α növekszik, és hogy abban a korlátozó esetben, ahol α = 1, a simított sorozat megegyezik a nyers sorozattal.

Az 1-hez közeli α értékek csökkentik a múlt előfordulását, és nagyobb súlyt adnak a közelmúlt értékeinek; fordítva, a 0-hoz közeli értékek növelik a simaságot és csökkentik a legutóbbi értékek hatását. Nincs általános módszer az α „helyes értékének” meghatározására. Ez az elemző tapasztalatából származik. Bizonyos esetekben kiválaszthatjuk az α értékét, amely minimalizálja a mennyiséget ( s t - y t  ) 2 (az előrejelzési hiba négyzetének minimalizálása).

Más módszerektől eltérően az exponenciális simítás nem igényel minimális számú adat alkalmazását (a módszer a rendelkezésre álló második adatok alapján működik). A "jó" simítás azonban csak egy bizonyos adatmennyiség simítása után valósul meg; például kb. 3 / α zajos adatokra van szükség egy állandó jelhez, hogy 95% -ra jusson. A mozgó átlagtól eltérően az exponenciális simítás nem támogatja a hiányzó adatokat.

Technikailag az exponenciális simítás a (0, 1, 1) osztály ARIMA  (en) folyamata konstans nélkül.

Időállandó

Az exponenciális simítás időállandója az az idő, amely alatt az állandó jel simított válasza eléri a jel 1 - 1 / e ≃ 63% -át. Ez a τ időállandó az α simító tényezőhöz kapcsolódik:

α=1-e-ΔTτ{\ displaystyle \ alpha = 1- \ mathrm {e} ^ {\ frac {- \ Delta \ mathrm {T}} {\ tau}}}

ahol ΔT a diszkrét adatmintavételi intervallum időtartama. Ha ez az időtartam kicsi az időállandóhoz képest, akkor ezt a kifejezést egyszerűsíteni kell:

α≃ΔTτ{\ displaystyle \ alpha \ simeq {\ frac {\ Delta \ mathrm {T}} {\ tau}}}.

A kezdeti érték megválasztása

Az exponenciális simítás abból indul ki, hogy s 0 = x 0 . Ezért feltételezzük, hogy az első simított érték megegyezik az első megfigyelt nyers értékkel. Ha az α kicsi, a kiegyenlített értékek erősen függenek a múlttól; a kezdeti s 0 érték ezért erősen befolyásolhatja a következő értékeket. Ezért fontos a simítási folyamat kiindulási értékének megválasztása. Megtarthatjuk például a kiegyenlítés kezdeti értékeként a tíz előző érték átlagát (vagy a nyers adatok jellegének megfelelően többé-kevésbé). Minél kisebb, annál inkább függenek a kapott eredmények a kezdeti értékektől. α{\ displaystyle \ alpha}

Optimalizálás

Az exponenciális simítás eredményei az α simítási paraméterek megválasztásától függenek. Az exponenciális simítás empirikus módszer, és ennek a paraméternek a megválasztása gyakran az elemző tapasztalatától és tudásától függ. A „legjobb α” meghatározásához azonban objektívebb, adatokkal kapcsolatos szempontok használhatók:

Minden új simított érték s t egy „előrejelzés” az y t .y^t{\ displaystyle {\ hat {y}} _ {t}}

A legjobb előrejelzést (a legkisebb négyzetek értelmében ) úgy kapjuk meg, hogy megtaláljuk annak értékét, amely minimalizálja az eltérések négyzetének összegét (SCE): α{\ displaystyle \ alpha}

SVSE=∑t=1T(yt-y^t|t-1)2=∑t=1Tet2{\ displaystyle \ mathrm {SCE} = \ sum _ {t = 1} ^ {\ mathrm {T}} (y_ {t} - {\ hat {y}} _ {t | t-1}) ^ {2 } = \ sum _ {t = 1} ^ {\ mathrm {T}} e_ {t} ^ {2}}

Azonban, ellentétben a lineáris regresszióval, ahol az SCE-t minimalizáló paramétereket lineáris egyenletek megoldásával kapjuk meg, az itt megoldandó egyenletek nem lineárisak: ezért az α-t minimalizáló algoritmussal kell megbecsülnünk.

Miért ez a simítás „exponenciális”?

Az "exponenciális" kifejezés azt a súlyt írja le, amelyet a jelen érték értékelésekor átadott értékekhez rendelnek: as

st=αyt+(1-α)st-1{\ displaystyle s_ {t} = \ alfa y_ {t} + (1- \ alfa) s_ {t-1}}

s t - 1 értékével helyettesítve kapjuk meg :

st=αyt+α(1-α)yt-1+(1-α)2st-2{\ displaystyle s_ {t} = \ alfa y_ {t} + \ alfa (1- \ alfa) y_ {t-1} + (1- \ alfa) ^ {2} s_ {t-2}}

és folytatva a cseréket:

st=α[yt+(1-α)yt-1+(1-α)2yt-2+(1-α)3yt-3+⋯+(1-α)t-1y1]+(1-α)ty0{\ displaystyle s_ {t} = \ alfa \ bal [y_ {t} + (1- \ alfa) y_ {t-1} + (1- \ alfa) ^ {2} y_ {t-2} + (1 - \ alpha) ^ {3} y_ {t-3} + \ cdots + (1- \ alpha) ^ {t-1} y_ {1} \ right] + (1- \ alfa) ^ {t} y_ { 0}}

Az adatok súlya a jelen érték kiértékelésénél geometriai szempontból csökken az életkoruknak a jelenlegi értékhez viszonyítva, vagyis egy exponenciálisan csökkenő függvény szerint.

Összehasonlítás a mozgó átlaggal

A mozgóátlagos simításhoz hasonlóan az exponenciális simítás is késlelteti az eredményeket, amely az adatok mintavételi periódusától függ. A mozgóátlagos simításnál ezt a hatást kompenzálhatja úgy, hogy a simított értékeket eltolja a simítóablak szélességének felével megegyező értékkel (szimmetrikus simítóablak esetén). Ez nem lehetséges exponenciális simítással. Számítási szempontból a mozgó átlag csak az utolsó k értékek megőrzését igényli ( k szélességű ablak esetén ), míg az exponenciális simítás az összes múltbeli érték megtartását igényli.

Dupla exponenciális simítás

Az egyszerű exponenciális simítás nem működik jól, ha a nyers adatok trendek vagy trendek vannak. A kiegyenlített értékek a tendencia irányától függően szisztematikus alul- vagy túlbecsülést mutatnak be. A kettős exponenciális simítási módszerek célja az adatok szintjének simítása (vagyis a véletlenszerű variációk kiküszöbölése) és a trend simítása, azaz a trend simított értékekre gyakorolt ​​hatásának kiküszöbölése.

Kétféle módszer létezik a kettős exponenciális simításra, Holt  (in) szélesre Winters és Brown  (en) módszerrel

Holt-Winters módszer

Az adatok a t = 0 időpontban kezdődnek ; ismét { y t } a nyers adatsor. Legalább y 0 és y 1 adatokkal rendelkezünk . Az s t kifejezés a kiegyenlített értékek és {σ t  } trendbecslések sorozata .

s1=y1{\ displaystyle s_ {1} = y_ {1}} σ1=y1-y0{\ displaystyle \ sigma _ {1} = y_ {1} -y_ {0}}

a t > 1:

st=αyt+(1-α)(st-1+σt-1){\ displaystyle s_ {t} = \ alfa y_ {t} + (1- \ alfa) (s_ {t-1} + \ sigma _ {t-1})} σt=β(st-st-1)+(1-β)σt-1{\ displaystyle \ sigma _ {t} = \ beta (s_ {t} -s_ {t-1}) + (1- \ beta) \ sigma _ {t-1}}

Az y 0 kezdőérték megválasztása gyakorlat kérdése; kiindulópontként vehetünk egy bizonyos számú korábbi múltbeli érték átlagát.

A t periódusból a t + m periódusra vonatkozó előrejelzést a következő adja:

Pt+m=st+mσt{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {t + m} = s_ {t} + m \ sigma _ {t}}

Brown módszere

Az y 0 és y 1 kezdeti adatokból kiszámítjuk:

s0′=y0{\ displaystyle s '_ {0} = y_ {0}} s0″=y0{\ displaystyle s '' _ {0} = y_ {0}} st′=αyt+(1-α)st-1′{\ displaystyle s '_ {t} = \ alfa y_ {t} + (1- \ alfa) s' _ {t-1}} st″=αst′+(1-α)st-1″{\ displaystyle s '' _ {t} = \ alfa s '_ {t} + (1- \ alfa) s' '_ {t-1}}

a t ≥ 1 simított értéke :

nál nélt=2st′-st″{\ displaystyle a_ {t} = 2s '_ {t} -s' '_ {t}}

és a tendencia becslése:

bt=α1-α(st′-st″){\ displaystyle b_ {t} = {\ frac {\ alpha} {1- \ alpha}} (s '_ {t} -s' '_ {t})}

Az exponenciális simítás alkalmazása

Az analóg jelfeldolgozás során széles körben alkalmazták az egyszeres, dupla vagy akár hármas exponenciális simítást. Ezt a módszert empirikusan eladási előrejelzések, készletgazdálkodás stb. Mind a digitális jelfeldolgozáshoz a modellezés és az előrejelzés terén kevésbé az empirikus, de több számítást igénylő módszerek jelentek meg az 1970-es évek óta az ARIMA  (in) általánosabb és elméletileg jobban megalapozott modellek implicit módon tartalmazzák az exponenciális simítást.

Szoftver megvalósítás

• R nyelv  : Holt-Winters módszer a statisztika könyvtárban és az ets függvény az előrejelzési könyvtárban (teljes megvalósítás jobb eredményekhez vezet).
• Az IBM SPSS a következőket tartalmazza: egyszerű és szezonális simítás, Holt trendmódszere, csillapított trend, Winters módszer az additív és multiplikatív trendek számára a Modeler statisztikai / idősoros modellezési eljárás kiterjesztésében .
• Stata  : tssmooth parancs
• LibreOffice 5.2
• Microsoft Excel 2016

Lásd is

Megjegyzések és hivatkozások

• ( Fr ) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „  exponenciális  ” ( lásd a szerzők listáját ) .

1. Alan V. Oppenheim és Ronald W. Schafer, digitális jelfeldolgozás , Upper Saddle River, NJ, USA, Prentice Hall ,1975, 585  p. ( ISBN  0-13-214635-5 ) , p.  5..
2. (in) „  átlagolás és exponenciális modell  ” (megajándékozzuk 1 -jén január 2018 ) .
3. (in) Charles C. Holt, "  Az előrejelzés trendek és exponenciálisan súlyozott átlagok Szezonális által  " , Carnegie Institute of Technology, Pittsburgh Office of Naval Research memorandum , n o  52,1957.
4. (in) Peter R. Winters :  Az értékesítés előrejelzése exponenciálisan súlyozott mozgó átlagok alapján  " , Management Science , Vol.  6, n o  3,1 st április 1960, pp.  324-342 ( olvasható online , elérhető 1 -jén január 2018 ).
5. (in) Robert G. Brown, exponenciális előrejelzésére Demand , Cambridge, Massachusetts (USA), az Arthur D. Little Inc.1956( online olvasás ).
6. "  R: Holt-Winters Filtering  " , a stat.ethz.ch címen (hozzáférés : 2016. június 5. )
7. "  ets {előrejelzés} | belül-R | Közösségi webhely az R számára  ” , a www.inside-r.org oldalon (hozzáférés : 2016. június 5. )
8. (hu-USA) „  HoltWinters () és ets () összehasonlítása  ” , a Hyndsight- on ,2011. május 29(megtekintés : 2016. június 5. )
9. A TSsmooth Control Stata dokumentációja
10. https://wiki.documentfoundation.org/ReleaseNotes/5.2#New_spreadsheet_functions
11. http://www.real-statistics.com/time-series-analysis/basic-time-series-forecasting/excel-2016-forecasting-functions/

Bibliográfia

• R. Bourbonnais és J.-C. Usunier , Értékesítési előrejelzés , Economica ,2017, 6 th  ed..

Kapcsolódó cikkek

• Idősorok
• Mozgóátlag
• ARMA
• Exponenciális függvény

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">