Aszimmetrikus normális eloszlás
Aszimmetrikus normális eloszlás
|
Valószínűségi sűrűség
|
|
|
Elosztási funkció
|
|
Beállítások
|
ξ{\ displaystyle \ xi \,} pozíció ( valós ) skála ( pozitív valós ) alak ( aszimmetria ) ( valós )
ω{\ displaystyle \ omega \,} α{\ displaystyle \ alfa \,} |
---|
Támogatás
|
x∈(-∞;+∞){\ displaystyle x \ in (- \ infty; + \ infty) \!}
|
---|
Valószínűségi sűrűség
|
1ωπe-(x-ξ)22ω2∫-∞α(x-ξω)e-t22 dt{\ displaystyle {\ frac {1} {\ omega \ pi}} e ^ {- {\ frac {(x- \ xi) ^ {2}} {2 \ omega ^ {2}}}} \ int _ { - \ infty} ^ {\ alfa \ bal ({\ frac {x- \ xi} {\ omega}} \ jobb)} e ^ {- {\ frac {t ^ {2}} {2}}} \ dt }
|
---|
Elosztási funkció
|
Φ(x-ξω)-2T(x-ξω,α){\ displaystyle \ Phi \ bal ({\ frac {x- \ xi} {\ omega}} \ jobb) -2T \ bal ({\ frac {x- \ xi} {\ omega}}, \ alfa \ jobb) } T(h,nál nél){\ displaystyle T (h, a)}az Owen T funkció
|
---|
Remény
|
ξ+ωδ2π{\ displaystyle \ xi + \ omega \ delta {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}}} vagy δ=α1+α2{\ displaystyle \ delta = {\ frac {\ alpha} {\ sqrt {1+ \ alpha ^ {2}}}}}
|
---|
Variancia
|
ω2(1-2δ2π){\ displaystyle \ omega ^ {2} \ bal (1 - {\ frac {2 \ delta ^ {2}} {\ pi}} \ jobb)}
|
---|
Aszimmetria
|
4-π2(δ2/π)3(1-2δ2/π)3/2{\ displaystyle {\ frac {4- \ pi} {2}} {\ frac {\ left (\ delta {\ sqrt {2 / \ pi}} \ right) ^ {3}} {\ left (1-2 \ delta ^ {2} / \ pi \ right) ^ {3/2}}}}
|
---|
Normalizált kurtosis
|
2(π-3)(δ2/π)4(1-2δ2/π)2{\ displaystyle 2 (\ pi -3) {\ frac {\ left (\ delta {\ sqrt {2 / \ pi}} \ right) ^ {4}} {\ left (1-2 \ delta ^ {2} / \ pi \ right) ^ {2}}}}
|
---|
Pillanatgeneráló funkció
|
2exp(μt+σ2t22)Φ(σδt){\ displaystyle 2 \ exp \ left (\ mu \, t + \ sigma ^ {2} {\ frac {t ^ {2}} {2}} \ right) \ Phi (\ sigma \ delta t)}
|
---|
Jellemző funkció
|
exp(μént-σ2t22)(1+énerf(σδt2)){\ displaystyle \ exp \ left (\ mu \, i \, t - {\ frac {\ sigma ^ {2} t ^ {2}} {2}} \ right) (1 + i \, \ mathrm {erf } ({\ frac {\ sigma \ delta t} {\ sqrt {2}}})}}
|
---|
A valószínűségszámítás és a statisztika , az aszimmetrikus normális eloszlás egy folytonos valószínűségi törvény , amely általánosítja a normális eloszlás bevezetésével nem nulla aszimmetria .
Meghatározás
Hagyja a sűrűségfüggvénye a csökkentett központú
normális eloszlás leszϕ(x){\ displaystyle \ phi (x)}
ϕ(x)=12πe-x22{\ displaystyle \ phi (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}}}annak eloszlásfüggvény által adott
Φ(x)=∫-∞xϕ(t) dt=12[1+erf(x2)].{\ displaystyle \ Phi (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {x} \ phi (t) \ dt = {\ frac {1} {2}} \ balra [1 + {\ text {erf} } \ balra ({\ frac {x} {\ sqrt {2}}} \ jobbra) \ jobbra].}Ezután az α paraméter aszimmetrikus normális eloszlásának valószínűségi sűrűségét adja meg
f(x)=2ϕ(x)Φ(αx).{\ displaystyle f (x) = 2 \ phi (x) \ Phi (\ alpha x). \,}Ahhoz, hogy ehhez hozzáadjon egy pozíció paramétert és egy skála paramétert , a szokásos transzformációt alkalmazzuk . Ellenőrizhetjük, hogy normális eloszlást találunk-e , és ha az aszimmetria abszolút értéke nő, ha az abszolút értéke növekszik. Az eloszlás jobbra ferde, ha és balra ferde, ha . A valószínűségi sűrűség ξ pozícióparaméterrel, ω skálaparaméterrel és α aszimmetriaparaméterrel lesz
x↦x-ξω{\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {x- \ xi} {\ omega}}}α=0{\ displaystyle \ alpha = 0}α{\ displaystyle \ alpha}α>0{\ displaystyle \ alpha> 0}α<0{\ displaystyle \ alfa <0}
f(x)=(2ω)ϕ(x-ξω)Φ(α(x-ξω)).{\ displaystyle f (x) = \ left ({\ frac {2} {\ omega}} \ right) \ phi \ left ({\ frac {x- \ xi} {\ omega}} \ right) \ Phi \ bal (\ alfa \ bal ({\ frac {x- \ xi} {\ omega}} \ jobb) \ jobb). \,}Becslés
A becslés a maximális valószínűség számára , és ki lehet számítani numerikusan, de nincs közvetlen kifejeződése, hacsak becslések . Ha kifejezett kifejezésre van szükség, a pillanatok módszere alkalmazható a minta empirikus ferdeségéből történő becsléshez a ferdeségi egyenlet invertálásával. Ez megadja a becslőt
ξ{\ displaystyle \ xi}ω{\ displaystyle \ omega}α{\ displaystyle \ alpha}α=0{\ displaystyle \ alpha = 0}α{\ displaystyle \ alpha}
|δ|=π2|γ^3|23|γ^3|23+((4-π)/2)23{\ displaystyle | \ delta | = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} {\ frac {| {\ hat {\ gamma}} _ {3} | ^ {\ frac {2} {3 }}} {\ sqrt {| {\ hat {\ gamma}} _ {3} | ^ {\ frac {2} {3}} + ((4- \ pi) / 2) ^ {\ frac {2} {3}}}}}}ahol , és az empirikus aszimmetria. A jele megegyezik a . Ezért .
δ=α1+α2{\ displaystyle \ delta = {\ frac {\ alpha} {\ sqrt {1+ \ alpha ^ {2}}}}}γ^3{\ displaystyle {\ hat {\ gamma}} _ {3}}δ{\ displaystyle \ delta}γ^3{\ displaystyle {\ hat {\ gamma}} _ {3}}α^=δ/1-δ2{\ displaystyle {\ hat {\ alpha}} = \ delta / {\ sqrt {1- \ delta ^ {2}}}}
Referencia
(en) A. Azzalini , „ A disztribúciók olyan osztálya, amely magában foglalja a normálisakat ” , Scand. J. Statist. , vol. 12,1985, P. 171–178
Kapcsolódó cikk
Aszimmetria (statisztikai)
Külső linkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">