Csökkentett tömeg
A fizikában a csökkentett tömeg az a fiktív objektumnak tulajdonított tömeg, amelyet a newtoni mechanika két testének interakciós problémáinak egyszerűsítésében hajtottak végre .
A csökkentett tömeget általában görög μ betűvel jelöljük, és SI-egységei megegyeznek a tömegével: kilogramm (kg).
Egyenletek
Két test problémája
Legyen két egymással kölcsönhatásban lévő részecske, az egyik tömeg , a másik tömeg , ennek a két tömegnek a mozgása csökkenthető egyetlen (csökkentett) tömegű részecske mozgásává :
m1{\ displaystyle m_ {1}}m2{\ displaystyle m_ {2}}μ{\ displaystyle \ mu}
μ=11m1+1m2=m1m2m1+m2 .{\ displaystyle \ mu = {1 \ over {{1 \ over m_ {1}} + {1 \ over m_ {2}}}} = {{m_ {1} m_ {2}} \ over {m_ {1 } + m_ {2}}} \.}
Az erre a tömegre alkalmazott erő a kezdeti tömegek közötti erők eredménye. A problémát ezután matematikailag úgy oldják meg, hogy a tömegeket a következőképpen helyettesítik:
m1→μ{\ displaystyle m_ {1} \ rightarrow \ mu}
és
m2→0{\ displaystyle m_ {2} \ rightarrow 0}
N testprobléma
A csökkentett tömeg definíciója általánosítható az N-test problémájára :
μ=(∑én=1nem1mén)-1{\ displaystyle \ mu = \ balra (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {m_ {i}}} \ jobbra) ^ {- 1}}
Közelítés
Ha a tömeg sokkal nagyobb, mint a tömeg, a csökkentett tömeg megközelítőleg megegyezik a tömegek alsó részével:
m1{\ displaystyle m_ {1}}m2{\ displaystyle m_ {2}}
μ=m1m2m1+m2 =m1m2m1(1+m2m1) =m21+m2m1 ≈m2{\ displaystyle \ mu = {{m_ {1} m_ {2}} \ felett {m_ {1} + m_ {2}}} \ = {{m_ {1} m_ {2}} \ felett {m_ {1 }} ({1 + {{m_ {2}} \ felett {m_ {1}}})}} = = {{m_ {2}} \ felett {1 + {{m_ {2}} \ több mint {m_ {1}}}}} \ \ kb m_ {2}}
Származtatás
A mechanika egyenleteit az alábbiak szerint vezetjük le.
Newtoni mechanika
A Newton második törvénye kifejezheti a 2. részecske által az 1. részecskére kifejtett erőt
F12.=m1nál nél1.{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {12} = m_ {1} \ mathbf {a} _ {1}. \! \,}Az 1. részecske által a 2. részecskére kifejtett erő:
F21=m2nál nél2.{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {21} = m_ {2} \ mathbf {a} _ {2}. \! \,}A Newton harmadik törvénye kimondja, hogy a 2 részecskék által az 1 részecskére kifejtett erő egyenlő és ellentétes a 2 részecske 1 részecskéje által kifejtett erővel
F12.=-F21.{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {12} = - \ mathbf {F} _ {21}. \! \,}Így,
m1nál nél1=-m2nál nél2.{\ displaystyle m_ {1} \ mathbf {a} _ {1} = - m_ {2} \ mathbf {a} _ {2}. \! \,}és
nál nél2=-m1m2nál nél1.{\ displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = - {m_ {1} \ over m_ {2}} \ mathbf {a} _ {1}. \! \,}A két test közötti relatív gyorsulást a rel adja meg
nál nélrel=nál nél1-nál nél2=(1+m1m2)nál nél1=m2+m1m2nál nél1=F12.μ.{\ displaystyle \ mathbf {a} _ {\ rm {rel}} = \ mathbf {a} _ {1} - \ mathbf {a} _ {2} = \ balra (1 + {\ frac {m_ {1} } {m_ {2}}} \ right) \ mathbf {a} _ {1} = {\ frac {m_ {2} + m_ {1}} {m_ {2}}} \ mathbf {a} _ {1 } = {\ frac {\ mathbf {F} _ {12}} {\ mu}}.}Ez lehetővé teszi annak megállapítását, hogy az 1. részecske a 2. részecske helyzetéhez képest úgy mozog, mintha a csökkentett tömegnek megfelelő tömegű test lenne.
Lagrangi mechanika
A két test problémáját a Lagrangian mechanikájában a következő
Lagrangian írja le
L=12m1r˙12+12m2r˙22-V(|r1-r2|){\ displaystyle L = {1 \ over 2} m_ {1} \ mathbf {\ dot {r}} _ {1} ^ {2} + {1 \ over 2} m_ {2} \ mathbf {\ dot {r }} _ {2} ^ {2} -V (| \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2} |) \! \,}ahol r i a részecske pozícióvektora ( m i tömegű ), V pedig a potenciális energia függvénye, amely csak a részecskék közötti távolságtól függ (a rendszer transzlációs invarianciájának fenntartásához szükséges feltétel). Meghatározzuk
én{\ displaystyle i}
r=r1-r2{\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2}}és az alkalmazott koordináta-rendszer eredetét úgy pozícionáljuk, hogy egybeessen a tömegközépponttal, tehát
m1r1+m2r2=0{\ displaystyle m_ {1} \ mathbf {r} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {r} _ {2} = 0}.
Ily módon
r1=m2rm1+m2,r2=-m1rm1+m2.{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1} = {\ frac {m_ {2} \ mathbf {r}} {m_ {1} + m_ {2}}}, \ mathbf {r} _ {2} = {\ frac {-m_ {1} \ mathbf {r}} {m_ {1} + m_ {2}}}.}Ha ezt helyettesítjük a Lagrangian-ban, akkor megkapjuk
L=12μr˙2-V(r),{\ displaystyle L = {1 \ több mint 2} \ mu \ mathbf {\ dot {r}} ^ {2} -V (r),}új Lagrangian egy csökkentett tömegű részecskéhez:
μ=m1m2m1+m2.{\ displaystyle \ mu = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}.}Ezért a kezdeti két test problémát egyszerűsített egy test problémává redukáltuk.
Megjegyzések és hivatkozások
(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket
angolul című
„ redukált tömege ” ( lásd a szerzők listáját ) .
John R. Taylor ( fordította angolról által Tamer Becherrawy és Aurélie Cusset), Klasszikus mechanika , Brüsszel / Paris, De Boeck ,2012, 877 p. ( ISBN 978-2-8041-5689-3 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">