Dirac mátrix

A Dirac mátrixok olyan mátrixok, amelyeket Paul Dirac vezetett be az elektron relativisztikus hullámegyenletének kutatása során .

Érdeklődés

A Schrödinger-egyenlet relativisztikus megfelelője a Klein-Gordon-egyenlet . Ez leírja a spin 0 részecskéit, és nem alkalmas olyan elektronok számára, amelyek 1/2 spinűek. Dirac ezután megpróbált olyan lineáris egyenletet találni, mint Schrödinger:

én∂ψ∂t=(1énα⋅∇+βm)ψ≡Hψ{\ displaystyle i {\ frac {\ részleges \ psi} {\ részleges t}} = \ balra ({\ frac {1} {i}} \ mathbf {\ alpha} \ cdot \ nabla + \ beta m \ jobbra) \ psi \ equiv H \ psi}

hol van egy vektor hullámfüggvény , a részecske tömege , a Hamilton-féle és rendre hermitikus mátrixok és hermitikus mátrixok . A Dirac-egyenletnek tiszteletben kell tartania a következő három korlátozást: ψ{\ displaystyle \ psi} m{\ displaystyle m}H{\ displaystyle H}α,β{\ displaystyle \ mathbf {\ alpha}, \ beta}

1. A komponenseknek meg kell felelniük a Klein-Gordon egyenletnek, egy síkhullámnak, amelynek megoldása: ψ{\ displaystyle \ psi} E2=o2+m2{\ displaystyle E ^ {2} = \ mathbf {p} ^ {2} + m ^ {2}} ;
2. Van egy áramsűrűségű kvadrivektor, amely konzervált és időbeli összetevője pozitív sűrűségű (azonosítva az elektromos töltéssel);
3. A komponensek nem felelhetnek meg semmilyen kiegészítő feltételnek, vagyis annak, hogy egy adott pillanatban független funkciói legyenek .ψ{\ displaystyle \ psi}x{\ displaystyle x}

Dirac mátrixok

Dirac azt javasolta, hogy a hermitikus mátrixok anticommutánsak és négyzetesek legyenek. Vagyis a következő algebrának engedelmeskednek :

{αén,αk}=0,én≠k{\ displaystyle \ left \ {\ alpha _ {i}, \ alpha _ {k} \ right \} = 0 \ ,, \ qquad i \ neq k} {αén,β}=0{\ displaystyle \ left \ {\ alpha _ {i}, \ beta \ right \} = 0} αén2=β2=én{\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {2} = \ beta ^ {2} = I}

ahol a zárójelben az anti-switch és az identitásmátrix található. {NÁL NÉL,B}=NÁL NÉLB+BNÁL NÉL{\ displaystyle \ bal \ {A, B \ jobb \} = AB + BA}én{\ displaystyle I}

A Dirac-egyenlet négyzetre emelésével azonnal ellenőrizzük, hogy az első feltétel teljesül-e. Ezután bemutatjuk a Dirac mátrixokat : γμ{\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu}}

γ0=β{\ displaystyle \ gamma ^ {0} = \ beta} γén=βαén,én=1,2,3{\ displaystyle \ gamma ^ {i} = \ beta \ alpha ^ {i} \ ,, \ qquad i = 1,2,3} {γμ,γv}=2gμvén,μ,v=0,1,2,3{\ displaystyle \ left \ {\ gamma ^ {\ mu}, \ gamma ^ {\ nu} \ right \} = 2g ^ {\ mu \ nu} I \ ,, \ qquad \ mu, \ nu = 0,1, 2 , 3}

hol van a Minkowski-mutató. gμv=dénnál nélg(1,-1,-1,-1){\ displaystyle g ^ {\ mu \ nu} = \ mathrm {diag} (1, -1, -1, -1)}

A perjel Feynman

Bemutatjuk Feynman „  perjelét  ” is  :

⧸nál nél=γμnál nélμ{\ displaystyle \ not \! a = \ gamma ^ {\ mu} a _ {\ mu}}

Ezután a Dirac-egyenlet a következő formát ölti:

(énγμ∂μ-m)ψ≡(én⧸∂-m)ψ=0{\ displaystyle \ bal (i \ gamma ^ {\ mu} \ részleges _ {\ mu} -m \ jobb) \ psi \ equiv \ bal (i \ not \! \ részleges -m \ jobb) \ psi = 0}

Kifejezett reprezentációt, az úgynevezett "standard reprezentációt" adják meg

γ0=(én00-én){\ displaystyle \ gamma ^ {0} = {\ begin {pmatrix} I & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & -I \ end {pmatrix}}} γén=(0σén-σén0){\ displaystyle \ gamma ^ {i} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & \ sigma ^ {i} \\ - \ sigma ^ {i} & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}} β=(én00-én){\ displaystyle \ beta = {\ begin {pmatrix} I & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & -I \ end {pmatrix}}} αén=(0σénσén0){\ displaystyle \ alpha ^ {i} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & \ sigma ^ {i} \\\ sigma ^ {i} & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}}

hol van a 2 × 2 egység mátrix és a Pauli mátrixok . én{\ displaystyle I}σén{\ displaystyle \ sigma ^ {i}}

Ez az ábrázolás azért különösen praktikus, mert kiemeli az elektron hullámfüggvényének spinor jellegét (a fél-egész spin miatt ), és elválasztja a pozitív és a negatív energia komponenseit . Tehát úgy, hogy a hullámfüggvényt megírjuk  :

ψ=(ϕχ){\ displaystyle \ psi = {\ elején {pmatrix} \ phi \\\ chi \ end {pmatrix}}}

ahol és két spinor van , a Dirac-egyenlet : ϕ{\ displaystyle \ phi}χ{\ displaystyle \ chi}

én∂ϕ∂t=mϕ+1énσ⋅∇χ{\ displaystyle i {\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges t}} = m \ phi + {\ frac {1} {i}} \ mathbf {\ sigma} \ cdot \ nabla \ chi} én∂χ∂t=-mχ+1énσ⋅∇ϕ{\ displaystyle i {\ frac {\ részleges \ chi} {\ részleges t}} = - m \ chi + {\ frac {1} {i}} \ mathbf {\ sigma} \ cdot \ nabla \ phi}

A konjugált hullámfüggvény bevezetésével:

ψ¯=ψ†γ0{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} = \ psi ^ {\ tőr} \ gamma ^ {0}}

Találunk :

ψ¯(én⧸∂←+m)=0{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ bal (i {\ overleftarrow {\ not \! \ részleges}} + m \ jobb) = 0}

És a Dirac-egyenlettel ez adja:

ψ¯(⧸∂←+⧸∂→)ψ≡∂μ(ψ¯γμψ)=0{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ bal ({\ overleftarrow {\ not \! \ részleges}} + {\ overrightarrow {\ nem \! \ részleges}} \ jobb) \ psi \ equiv \ részleges _ { \ mu} \ balra ({\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi \ right) = 0}

Ami konzervált áramot ad:

jμ=ψ¯γμψ{\ displaystyle j ^ {\ mu} = {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi}

Akinek az időbeli összetevője pozitív. j0=ρ=ψ¯γ0ψ=ψ†ψ{\ displaystyle j ^ {0} = \ rho = {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {0} \ psi = \ psi ^ {\ tőr} \ psi}

Meghatározzuk a mátrixot is:

 γ5.=énγ0γ1γ2γ3{\ displaystyle \ \ gamma ^ {5} = i \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3}}

A használata így különböző típusú kombinációk felépítését teszi lehetővé, például: γ5.{\ displaystyle \ gamma ^ {5}}

• A vektorok  :  ;ψ¯γμψ{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi}
• A pseudovecteurs  :  ;ψ¯γ5.γμψ{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {5} \ gamma ^ {\ mu} \ psi}
• A skalár  :  ;ψ¯ψ{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ psi}
• A pseudoscalar  : .ψ¯γ5.ψ{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {5} \ psi}

Könnyen ellenőrizhetjük ennek a formalizmusnak a relativisztikus kovarianciáját .

Nyomok

A számításhoz keresztmetszetek a részecskefizika, gyakran hasznos, ha a pár eredményt a nyomait ilyen mátrixok:

• Tr[γαγβ]=4gαβ{\ displaystyle Tr [\ gamma ^ {\ alpha} \ gamma ^ {\ beta}] = 4g ^ {\ alpha \ beta}} ;
• Tr[γαγβγμγv]=4(gαβgμv-gαμgβv+gαvgβμ){\ displaystyle Tr [\ gamma ^ {\ alpha} \ gamma ^ {\ beta} \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu}] = 4 (g ^ {\ alpha \ beta} g ^ {\ mu \ nu} -g ^ {\ alpha \ mu} g ^ {\ beta \ nu} + g ^ {\ alpha \ nu} g ^ {\ beta \ mu})} ;
• Tr[γ5.]=0{\ displaystyle Tr [\ gamma ^ {5}] = 0} ;
• Tr[γ5.γαγβ]=0{\ displaystyle Tr [\ gamma ^ {5} \ gamma ^ {\ alpha} \ gamma ^ {\ beta}] = 0} ;
• Tr[{\ displaystyle Tr [}páratlan számú .γ]=0{\ displaystyle \ gamma] = 0}

Képviseletek

A Dirac mátrixokat teljesen meghatározza a kapcsolat:

γμγv+γvγμ=2ημv.én4{\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} + \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ mu} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu} .I_ {4}}

hol van a Minkowski-tenzor . Nekünk is van . ημv{\ displaystyle \ eta ^ {\ mu \ nu}}γμγμ=4{\ displaystyle \ gamma _ {\ mu} \ gamma ^ {\ mu} = 4}

Az előző relációra végtelen sok lehetséges megoldás létezik. A 4 × 4 mátrixok esetében a megoldások halmaza egy 4-dimenziós algebra , egy megjegyzett Clifford-algebra , és a négy Dirac-mátrix alkotja az alapot. A választott alap alapján a Dirac-mátrixok eltérő együtthatóval rendelkeznek, és ezt a választást a Dirac-mátrixok reprezentációjának nevezzük . VS-{\ displaystyle \, \ mathbb {C} -}VSl1,3VS{\ displaystyle \, Cl_ {1,3} \ mathbb {C} \,}

Dirac képviselete

Ez a "szokásos ábrázolás". Weyl képviseletéből nyerik, az U egységkezelőnek köszönhetően:

U=12(11-11){\ displaystyle U = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \ end {pmatrix}}}

Ezután a mátrixokat felírják : γDμ=UγWμU†{\ displaystyle \ gamma _ {D} ^ {\ mu} = U \ gamma _ {W} ^ {\ mu} U ^ {\ tőr}}

γD0=(én00-én){\ displaystyle \ gamma _ {D} ^ {0} = {\ begin {pmatrix} I & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & -I \ end {pmatrix}}} γDén=(0σén-σén0){\ displaystyle \ gamma _ {D} ^ {i} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & \ sigma _ {i} \\ - \ sigma _ {i} és \ mathbf {0} \ end { pmatrix}}} γD5.=(0énén0){\ displaystyle \ gamma _ {D} ^ {5} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & I \\ I & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}}

Weyl ábrázolása

Az a reprezentáció, amely akkor jelenik meg "természetesen", amikor a Dirac-egyenlet levezetésére törekszik a Lorentz-csoport redukálhatatlan ábrázolásainak felhasználásával . Ebben az alapban a mátrixok a következő formájúak: γμ{\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu}}

γW0=(0énén0){\ displaystyle \ gamma _ {W} ^ {0} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & I \\ I & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}} γWén=(0σén-σén0){\ displaystyle \ gamma _ {W} ^ {i} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & \ sigma _ {i} \\ - \ sigma _ {i} & \ mathbf {0} \ end { pmatrix}}} γW5.=(-én00én){\ displaystyle \ gamma _ {W} ^ {5} = {\ begin {pmatrix} -I & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & I \ end {pmatrix}}}

Majorana képviselete

A Majorana reprezentációt a „standard ábrázolásból” kapjuk, a következő U egységmátrix segítségével:

U=12(γD0γD2+γD0){\ displaystyle U = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (\ gamma _ {D} ^ {0} \ gamma _ {D} ^ {2} + \ gamma _ {D} ^ {0 })}

Ennek az ábrázolásnak az az érdekes tulajdonsága, hogy minden mátrix tiszta képzeletbeli, ami megkönnyíti a számításokat a töltés konjugációs operátor figyelembevételével. γμ{\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu}}

Királis képviselet

γ0=β=(0-én-én0){\ displaystyle \ gamma ^ {0} = \ beta = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & -I \\ - I & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}} α=(σ00-σ){\ displaystyle \ mathbf {\ alpha} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {\ sigma} & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & - \ mathbf {\ sigma} \ end {pmatrix}}} γ=(0σ-σ0){\ displaystyle \ mathbf {\ gamma} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & \ mathbf {\ sigma} \\ - \ mathbf {\ sigma} & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}}

Előnye, hogy a két forgórész forgás és fordítás alatt egymástól függetlenül átalakul . Különösen hasznos tömeg nélküli részecskék esetében, az egyenleteket jelentősen leegyszerűsítve. A neutrínóhoz használták, bár a neutrínók oszcillációi azt mutatják, hogy tömegük nem nulla.

Megjegyzések és hivatkozások

1. W. Pauli (1936), „Matematikai hozzájárulások Dirac mátrixelméletéhez ”, Annales de l'Institut Henri Poincaré (6. köt., 2. szám, 109-136. Oldal). Franciaország egyetemi sajtói.
2. Ez a definíció megfelel annak, amelyet például Edgard Elbaz Quantique könyvében találunk (ellipszisek, 1995), egy másik meghatározás, amely csak egy jel hozzáadásával különbözik - jelen van Lev Landau és Evgueni Lifchits , Theoretical Fizika , t.  4: Kvantumelektrodinamika [ a kiadások részlete ], 22. bek.

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

• Négy részből álló
• Pauli mátrix
• Dirac-egyenlet

Külső hivatkozás

Bibliográfia

• Lev Landau és Evgueni Lifchits , elméleti fizika , t.  4: Kvantumelektrodinamika [ a kiadások részlete ]
• Choquet-Bruhat, Y. (1982). A Maxwell-Dirac-Klein-Gordon egyenletek globális megoldása . Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 31. (2), 267-288 ( összefoglaló ).
• (en) Itzykson, C., & Zuber, JB (2005). Quantum Field Theory . Courier Dover Publications .
• Lochak, G. (2003). Dirac egyenlete a fénykúpon. Majorana elektronok és mágneses monopólusok [PDF] . In Annales de la Fondation Louis de Broglie (28. évf. 3-4. Szám, 403. o.). Louis de Broglie Alapítvány.
• McLenaghan, RG és Spindel, P. (1979). Dirac egyenleteinek integráljait görbe térben . Bika. Soc. Math. Belg, 31, 30.
• (en) Mandl, F. és Shaw, G. (2010). Quantum Field Theory . John Wiley & Sons .
• Meessen, A. (1970). A tér-idő számszerűsítése és a Dirac-egyenlet általánosítása . Ann. Soc. Sci. Brüsszel, 84,267-275.
• Nelipa, N. Elemi részecskefizika
• Pauli, W. (1936) „Matematikai hozzájárulások Dirac mátrixelméletéhez”. In Henri Poincaré Intézet évkönyvei (6. köt., 2. szám, 109-136. Oldal). Franciaország egyetemi sajtói.
• Proca, A. (1930). „A Dirac-egyenletről” [PDF] . J. Phys. Rádium , 1 (7), 235-248.
• Sambou D (2012) Pauli és Dirac mágneses operátorok küszöbértékei közelében lévő rezonanciák [PDF] . arXiv preprint arXiv: 1201.6552.
• (en) Zinn-Justin, J. (2002). Kvantumtérelmélet és kritikus jelenségek (SACLAY-SPHT-T-2002-001 sz.).

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">