Einstein-modell

A statisztikus fizika és a szilárdtest fizika , Einstein modell egy modell leírja a hozzájárulás hálózat rezgések a hőkapacitása a kristályos szilárd anyag . A következő feltételezéseken alapul:

a szerkezet minden atomja egy 3D kvantumharmonikus oszcillátor ,
az atomok ugyanolyan frekvencián rezegnek , ellentétben Debye modelljével .

Ez a modell Albert Einstein nevéhez fűződik , aki 1907-ben javasolta.

Belső energia

A kristályrács rezgéseit kvantálták, vagyis az egyes normál rezgési módok energiái csak diszkrét értékeket vehetnek fel . Ez a modell tehát a fononok hullám-részecske kettősségén és azon a tényen alapul, hogy a 3N harmonikus oszcillátorok azonos frekvencián, izotróp módon rezegnek . ${\ displaystyle \ hbar \ omega _ {E}}$

A szilárd anyag belső U energiáját a következő képlet adja meg:

{\ displaystyle U = {\ frac {3N \ hbar \ omega _ {E}} {e ^ {\ beta \ hbar \ omega _ {E}} - 1}}}

ahol ℏ a redukált Planck-állandó , ω E egy oszcillátor lüktetése, N a rendszert alkotó atomok száma, ahol k B a Boltzmann-állandó és T az abszolút hőmérséklet . ${\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {k_ {B} T}}}$

A belső energia képletének bemutatása

A frekvencián rezgő egydimenziós harmonikus oszcillátor energiáját a következő adja: ${\ displaystyle \ hbar \ omega _ {E}}$

{\ displaystyle E_ {n} = \ hbar \ omega _ {E} \ bal (n + {\ frac {1} {2}} \ jobb) (n \ geq 0)}

hol van egy kvantumszám $nem$

Kiszámoljuk a kvantum harmonikus oszcillátor partíciós függvényét, amelyet a reláció ad meg:

{\ displaystyle Z = \ sum _ {j} e ^ {- \ beta E_ {n}} = \ sum _ {j} e ^ {- \ beta (n + {\ frac {1} {2}}) \ hbar \ omega _ {E}} \; \; \ balra ({\ text {with}} \ beta = {\ frac {1} {k_ {B} T}} \ jobbra)}

ahol k B a Boltzmann-állandó , T az abszolút hőmérséklet és j az oszcillátor állapota . Energiaszintenként csak egy állapot van; az összeg tehát:

{\ displaystyle Z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {- \ beta n \ hbar \ omega _ {E} - \ beta {\ frac {1} {2}} \ hbar \ omega _ {E}} = e ^ {- {\ frac {\ beta \ hbar \ omega _ {E}} {2}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (e ^ {- \ beta \ hbar \ omega _ {E}}) ^ {n}}

A geometriai szekvencia összegének képletével egyszerűsítjük a partíciós függvényt:

{\ displaystyle Z = e ^ {- {\ frac {\ beta \ hbar \ omega _ {E}} {2}}} \ cdot {\ frac {1} {1-e ^ {- \ beta \ hbar \ omega _ {E}}}}}

Ezután megkapjuk az oszcillátor energiáját:

{\ displaystyle {\ bar {\ epsilon}} = - {\ frac {\ részleges \ ln Z} {\ részleges \ béta}}}

azzal, ami ad ${\ displaystyle \ ln Z = - {\ frac {\ beta \ hbar \ omega _ {E}} {2}} - \ ln (1-e ^ {- \ beta \ hbar \ omega _ {E}})}$

{\ displaystyle {\ bar {\ epsilon}} = {\ frac {\ hbar \ omega _ {E}} {2}} + {\ frac {\ hbar \ omega _ {E} e ^ {- \ beta \ hbar \ omega _ {E}}} {1-e ^ {- \ beta \ hbar \ omega _ {E}}}} = {\ frac {\ hbar \ omega _ {E}} {2}} + {\ frac {\ hbar \ omega _ {E}} {e ^ {\ beta \ hbar \ omega _ {E}} - 1}}}

Ezt elhaladva jegyezzük meg . Ez az energia megfelel a nulla pont energiájának , hogy ne sértse a Heisenberg- bizonytalanság elvét. Nem veszi figyelembe a nullpont energia ami a belső energia a rendszer: ${\ displaystyle \ lim _ {T \ to 0} {\ bar {\ epsilon}} = \ lim _ {\ beta \ to + \ infty} {\ bar {\ epsilon}} = {\ frac {\ hbar \ omega _ {E}} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ epsilon}} = {\ frac {\ hbar \ omega _ {E}} {e ^ {\ beta \ hbar \ omega _ {E}} - 1}}}$ ${\ displaystyle U = 3N {\ bar {\ epsilon}} = {\ frac {3N \ hbar \ omega _ {E}} {e ^ {\ beta \ hbar \ omega _ {E}} - 1}}}$

Hőkapacitás

A C V hőkapacitást a következők határozzák meg:

{\ displaystyle c_ {V} = \ bal ({\ frac {\ részleges U} {\ részleges T}} \ jobb) _ {V}}

vele , megkapjuk ${\ displaystyle \; U = 3N {\ bar {\ epsilon}} = {\ frac {3N \ hbar \ omega _ {E}} {e ^ {\ beta \ hbar \ omega _ {E}} - 1}} \,}$

{\ displaystyle c_ {V} = {\ frac {3N \ hbar ^ {2} \ omega _ {E} ^ {2}} {k_ {B} T ^ {2}}} \ cdot {\ frac {e ^ {\ beta \ hbar \ omega _ {E}}} {\ balra (e ^ {\ beta \ hbar \ omega _ {E}} - 1 \ jobbra) ^ {2}}} = (\ beta \ hbar \ omega _ {E}) ^ {2} \ cdot {\ frac {3Nk_ {B} e ^ {\ beta \ hbar \ omega _ {E}}} {\ balra (e ^ {\ beta \ hbar \ omega _ {E }} - 1 \ jobbra) ^ {2}}}}

Einstein hőmérsékletét úgy határozhatjuk meg . Mindez ad nekünk ${\ displaystyle \ Theta _ {E} = {\ frac {\ hbar \ omega _ {E}} {k_ {B}}}}$ ${\ displaystyle c_ {V} \ left (T \ right) = 3Nk_ {B} \ cdot \ left ({\ frac {\ Theta _ {E}} {T}} \ right) ^ {2} \ cdot {\ frac {\ exp \ left ({\ frac {\ Theta _ {E}} {T}} \ right)} {\ left [\ exp \ left ({\ frac {\ Theta _ {E}} {T}} \ right) -1 \ right] ^ {2}}}}$

Modell eredmények

Einstein modellje Dulong és Petit törvényét találja meg magas hőmérséklet esetén:

{\ displaystyle \ lim _ {T \ to + \ infty} c_ {V} = 3Nk_ {B}}

Alacsony hőmérsékleten azonban ez a modell kevésbé ért egyet a kísérleti mérésekkel, mint a Debye :

Mikor ${\ displaystyle T \ rightarrow 0 {\ text {:}} c_ {V} \ propto 3Nk_ {B} \ left ({\ frac {\ Theta _ {E}} {T}} \ right) ^ {2} e ^ {- \ Theta _ {E} / T} \ jobbra nyíl 0}$

Ez a tapasztalatokkal való eltérés azzal a hipotézissel magyarázható, hogy a harmonikus oszcillátorok ugyanazon a frekvencián rezegnek.

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Bibliográfia

Charles Kittel ( trad. Nathalie Bardou, Evelyne Kolb), szilárdtestfizika [" szilárdtestfizika "]1998[ a kiadások részlete ]
Bernard Diu , Claudine Guthmann, Danielle Lederer és Bernard Roulet, a statisztikai fizika elemei ,1996[ a kiadás részlete ]
C. Cohen-Tannoudji , B. Diu és F. Laloë , kvantummechanika [ a kiadás részlete ]

Megjegyzések és hivatkozások

(De) Albert Einstein , " Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme " , Annalen der Physik , vol. 22,1907, P. 180 ( online olvasható )
Ez a mennyiségi meghatározás a szilárd anyagra előírt határfeltételek miatt következik be.
Az N atomok, amelyek alkotják a szilárd anyagot modellezhető 3N egydimenziós harmonikus oszcillátor.
0 K hőmérsékleten az összes oszcillátor azonos állapotban van (n = 0). Ha minden atomállapot nyugalomban lenne, helyzetük és sebességük jól meghatározható lenne ( és ), ami ellentmondana Heisenberg bizonytalansági elvének. ${\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {0}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}} = {\ vec {0}}}$
belső energia megegyezik az oszcillátorok számának szorzatával egyetlen oszcillátor energiájával.