Hajlítás (anyag)

A fizikában ( mechanikában ) a hajlítás egy tárgy deformációja terhelés hatására. Görbületet eredményez. A gerenda esetében hajlamos a két végét összehozni. Tányér esetében két, egymással ellentétesen ellentétes pontot szokott összehozni a cselekvés alatt.

A gerenda hajlítási tesztje a hajlítószilárdság tesztelésére szolgáló mechanikai vizsgálat . Az egyik a „  három pont  ” néven ismert hajlítást és a „ négy pont  ” néven ismert hajlítást használja  .

A kazán készítés , a hajlítási a lap egy hajlító, amelyhez szeretne túllépni a rugalmassági határát az anyag, annak érdekében, hogy a végleges alakváltozás ( képlékeny ). A legtöbb esetben, éppen ellenkezőleg, arra törekszenek, hogy az alkatrész integritásának megőrzése érdekében ne lépjék túl a rugalmassági határt.

Gerenda esete

A sugárelméletben a szálakat vesszük figyelembe, vagyis a dS rész és az átlagos görbével (a „sugár iránya”) párhuzamos görbe által létrehozott kis anyaghengereket; az átlagos görbe áthalad az egyenes szakaszok (az átlagos görbére merőleges szakaszok) súlypontjain. A hajlítás külseje felé elhelyezkedő rostok meghosszabbításban vannak, tapadásnak vannak kitéve . A hajlítás belsejében elhelyezkedő rostok összenyomódnak .

Az átlagos görbe által létrehozott szálat „semleges szálnak” nevezzük. Hajlításakor megtartja a hosszát.

Ezt követően, hacsak másként nem jelezzük, feltételezzük, hogy a gerenda hajlítás előtt egyenes vonalú (az átlagos görbe egyenes vonalat képez), és a szakaszok szimmetrikusak. Kezdetben a síkhajlítást vesszük figyelembe, vagyis a sugár szimmetriasíkjában ható terhelésekkel.

Deformáció

Köszönhetően a Bernoulli-hipotézis (deformáció során, a gép szakaszok merőlegesek a szálak átlagos marad sík és merőleges a szálak átlagos)

• a semleges rost nulla megnyúlással rendelkezik;
• a hajláson kívüli szálak kifeszülnek;
• a kanyarban belüli rostok összenyomódnak.

az ε hosszirányú alakváltozás lineárisan változik y függvényében .

Sőt, egyenes nyalábot figyelembe véve, ha u y ( x ) -nek nevezzük az alakváltozást , vagyis az átlagos görbe pontjának függőleges elmozdulását az abszcisszánál x elhelyezkedő hajlítás következtében, akkor a sugár általános meghatározása szerint görbület  :

γ=1ρ≃d2uydx2{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ rho}} \ simeq {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u_ {y}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} }.

Az u y ( x ) gráf megadja az átlagos görbe alakját, más néven „a nyaláb deformációját”.

Demonstráció

Ha a nyaláb végtelen kis elemét vesszük figyelembe, akkor a szálak koncentrikus köríveket képeznek azonos dθ szögű körökből. Ha ρ a semleges szál görbületi sugara ( y = 0), akkor a koordinátán elhelyezkedő ív l hossza megegyezik y-vel :

l=(ρ-y)⋅dθ=l0⋅(1-yρ){\ displaystyle l = (\ rho -y) \ cdot \ mathrm {d} \ theta = l_ {0} \ cdot \ balra (1 - {\ frac {y} {\ rho}} \ jobbra)}

ha l  0 a szálak kezdeti hossza. Látjuk, hogy a hosszanti alakváltozás

ε=Δll0=-yρ{\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {\ Delta l} {l_ {0}}} = - {\ frac {y} {\ rho}}}

lineárisan változik y függvényében .

Kohéziós erőfeszítések

Ha figyelembe vesszük a kohéziós erőket (lásd: A gerendák elmélete és a kohéziós torzorok című cikkeket ), akkor a hajlítás az M f y és az M f z hajlítónyomatékokból adódik .

Itt a jobboldali erőfeszítések egyezményét vesszük figyelembe.

Észrevesszük, hogy a nyíróerő értéke a hajlítónyomaték deriváltja a figyelembe vett pont x helyzetéhez képest :

T=-dMfzdx{\ displaystyle \ mathrm {T} = - {\ frac {\ mathrm {d} \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {d} x}}}.

A hajlítónyomatékok diagramja funikuláris módszerrel hozható létre .

Korlátok

Normál feszültség egyenes sugár esetén

Helyezzük el magunkat pozitív hajlítónyomaték esetén M f z ; a síkban (G xy ) a szálak koncentrikusak, az O középpont felfelé helyezkedik el. Az ív hossza arányos a sugárral, vagyis lineárisan változik az ott figyelembe vett abszcisszák függvényében . Ugyanígy a szakaszra normális feszültség lineárisan változik y függvényében, és megállapítja:

σxx=-MfzénGz⋅y{\ displaystyle \ sigma _ {xx} = - {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ cdot y }.

ahol G Z jelentése a kvadratikus pillanata a tengely (G z ) számított alakja szerint a keresztmetszet.

Demonstráció

A szálak hosszához hasonlóan az e relatív megnyúlás is arányos y-val  :

ε(y)=-yρ{\ displaystyle \ varepsilon (y) = - {\ frac {y} {\ rho}}}

ezért Hooke törvénye szerint a stressz is lineárisan változik:

σxx(y)=E⋅ε(y)=-Eρ⋅y{\ displaystyle \ sigma _ {xx} (y) = \ mathrm {E} \ cdot \ varepsilon (y) = - {\ frac {\ mathrm {E}} {\ rho}} \ cdot y},

a meghatározandó E / ρ mennyiség. Egy kis dS felületi elem dF erővel rendelkezik

dF=σxx⋅dS→⋅x→=-Eρ⋅y⋅dS⋅x→{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathrm {F} = \ sigma _ {xx} \ cdot {\ vec {\ mathrm {dS}}} \ cdot {\ vec {x}} = - {\ frac {\ mathrm {E}} {\ rho}} \ cdot y \ cdot \ mathrm {dS} \ cdot {\ vec {x}}}.

Ennek az erőnek a dM f z nyomatéka az átlagos egyeneshez tartozó G (0,0,0) ponthoz képest:

dM→fz=y→∧dF→=Eρ⋅y2⋅dS⋅z→{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {\ mathrm {M}}} _ {\ mathrm {f} z} = {\ vec {y}} \ ék \ mathrm {d} {\ vec {\ mathrm { F}}} = {\ frac {\ mathrm {E}} {\ rho}} \ cdot y ^ {2} \ cdot \ mathrm {dS} \ cdot {\ vec {z}}}

A hajlítónyomaték ezekből a pillanatokból adódik, és az egyenes szakaszba integrálódva azt találjuk:

Mfz=Eρ⋅énGz{\ displaystyle \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z} = {\ frac {\ mathrm {E}} {\ rho}} \ cdot \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}

val vel

énGz=∫Sy2⋅dS{\ displaystyle \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} = \ int _ {\ mathrm {S}} y ^ {2} \ cdot \ mathrm {dS}}

Ezután:

Eρ=MfzénGz{\ displaystyle {\ frac {E} {\ rho}} = {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}} }}

van

σxx(y)=-MfzénGz⋅y{\ displaystyle \ sigma _ {xx} (y) = - {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ cdot y}.

A törés veszélye a gerenda meghosszabbított oldalán van. Ha -V-nek nevezzük az ezen az arcon található pont ordinátáját, akkor a megszorítás érdemes:

σxx mnál nélx=MfzénGz⋅V=MfzénGzV{\ displaystyle \ sigma _ {xx \ mathrm {max}} = {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} }} \ cdot \ mathrm {V} = {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ frac {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}} {\ mathrm {V}}}}}.

Az I G z / V mennyiséget „rugalmas hajlítási modulusnak” nevezzük, és W el. z  :

σxx mnál nélx=MfzWe"l. z{\ displaystyle \ sigma _ {xx \ mathrm {max}} = {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {W} _ {\ mathrm {{\ akut { e}} l.} \ z}}}}.

Ha a gerenda szimmetrikus és h magasságú , akkor megvan

V=±h2{\ displaystyle \ mathrm {V} = \ pm {\ frac {h} {2}}}

Ha korlátként tartjuk fenn azt a tényt, hogy az anyagnak a rugalmas tartományban kell maradnia, akkor a határon vagyunk

σ=Re{\ displaystyle \ sigma = \ mathrm {R} _ {\ mathrm {e}}}

ahol R e a rugalmassági határ . A maximális hajlítónyomat határ ekkor

Mfmax=Re×We"l. z{\ displaystyle \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} \, \ max} = \ mathrm {R} _ {\ mathrm {e}} \ times \ mathrm {W} _ {\ mathrm {{\ akut { e}} l.} \ z}}.

Ezt a műanyag hajlítással kell összehasonlítani.

jegyzet Mivel a kényszer abszolút értéke érdekel minket, és hogy a jel mindenképpen a választott konvenciótól függ, gyakran megtaláljuk a kifejezést σxx=MfzénGz⋅y{\ displaystyle \ sigma _ {xx} = {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ cdot y} Normál feszültség ívelt gerendánál

Feltételezzük, hogy a nyalábot síkgörbe generálja az ( x , y ) síkban , és hogy a semleges szál ebben a síkban marad a deformáció során. Ez az emelőhorog tipikus esete . A helyi görbületi sugarat (nyugalmi állapotban) r ( x ) -nel jelöljük .

Csakúgy, mint az egyenes gerenda esetében, a hajlító nyomaték hatására az egyenes szakaszok forognak, a szálak megnyúlnak vagy összenyomódnak. De az előző esettől eltérően a szálak kezdeti hossza nem azonos. A stressz eloszlása y mentén már nem lineáris, hanem hiperbolikus formájú:

σ(y)∝y-nál nélr-y{\ displaystyle \ sigma (y) \ propto {\ frac {y-a} {ry}}}.Nyírás

A legtöbb esetben a hajlító nyomatékot nyíróerő kíséri (T y M f z-vel , T z M f y-vel ). Ez generálja a hasadást (τ xy T y esetében és τ xz T z esetén ). Ez a nyírófeszültség csak csekély kockázatot jelent a meghibásodás szempontjából, ezért általában elhanyagolható (Bernoulli-modell).

A feszültségek eloszlása ​​nem egyenletes: a szabad felületen lévő feszültség szükségszerűen a felület síkjában van, ezért a külső felületek hasadása nulla. Ezért van egy hasadásunk, amely növekszik, ha megközelítjük a semleges rostot. A maximális feszültség akkor éri meg, ha S a keresztmetszet területe:

• téglalap alakú teljes szakasz gerenda  ;τmnál nélx=32⋅TS{\ displaystyle \ tau _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {3} {2}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {T}} {\ mathrm {S}}}}
• kör alakú teljes fénysugár  ;τmnál nélx=43⋅TS{\ displaystyle \ tau _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {T}} {\ mathrm {S}}}}
• vékony, körkörös cső:  ;τmnál nélx≃2⋅TS{\ displaystyle \ tau _ {\ mathrm {max}} \ simeq 2 \ cdot {\ frac {\ mathrm {T}} {\ mathrm {S}}}}

ahol S az egyenes szakasz területe. Látható, hogy ezekben a példákban a feszültség 1,5–2-szer nagyobb, mint az egyszerű nyírás esetén.

Megjegyezzük, hogy a hasadás maximális, ha a normál feszültség nulla (a semleges rosttal együtt), és hogy a normális feszültség akkor maximális, ha a hasadás nulla (a külső felületeken). Ezért nincs szinergia a két korlát között.

Demonstráció

Az ember elhelyezi magát abban az esetben, ha az első két tartó között három pont hajlik. Sugárelemet veszünk figyelembe két egyenes szakasz között, amelyek x és x + d x között helyezkednek el , valamint az y 0 koordináta és az Y koordináta nyaláb alja között. A lap szintjén a nyaláb szélessége a .

Az anyag ezen elemére a következők vonatkoznak:

• kényszeríteni a normál és egyenes szakaszokat;
• a nyírásból eredő erőre; l × d x méretű téglalap alakú felületen fejtik ki .

A hajlítónyomaték változó, ezért a normál erő az egyes egyenes szakaszokon eltérő. Ezért a statisztika alapelvével (PFS) következtethetünk a hasadásra.

A T y nyíróerő egyenletes 0 és a gerenda közepe között, és megvan:

Mfz=Ty×x{\ displaystyle \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z} = \ mathrm {T} _ {y} \ szor x}.

A bal arcra ható erő tehát

F¯1=∫Vy0(-σxx)⋅dS=∫Vy0MfzénGzy⋅dS=TyxénGzQ(y){\ displaystyle {\ bar {\ mathrm {F}}} _ {1} = \ int _ {\ mathrm {V}} ^ {y_ {0}} (- \ sigma _ {xx}) \ cdot \ mathrm { dS} = \ int _ {\ mathrm {V}} ^ {y_ {0}} {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm { G} z}}} y \ cdot \ mathrm {dS} = {\ frac {\ mathrm {T} _ {y} x} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ mathrm { Q} (y)}

vagy

Q(y)=∫Vy0y⋅dS{\ displaystyle \ mathrm {Q} (y) = \ int _ {\ mathrm {V}} ^ {y_ {0}} y \ cdot \ mathrm {dS}}

a V és y 0 közötti keresztmetszet részének statikus nyomatéka .

A jobb oldalon lévő erő megéri:

F¯2=-Ty(x+dx)énGzQ(y0){\ displaystyle {\ bar {\ mathrm {F}}} _ {2} = - {\ frac {\ mathrm {T} _ {y} (x + \ mathrm {d} x)} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ mathrm {Q} (y_ {0})}.

A kapott erő az

F¯=F¯1+F¯2=-TyénGzQ(y0)dx{\ displaystyle {\ bar {\ mathrm {F}}} = {\ bar {\ mathrm {F}}} _ {1} + {\ bar {\ mathrm {F}}} _ {2} = - {\ frac {\ mathrm {T} _ {y}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ mathrm {Q} (y_ {0}) \ mathrm {d} x}.

A PFS ezért meg van írva:

τxyldx-TyénGzQ(y0)dx=0{\ displaystyle \ tau _ {xy} l \ mathrm {d} x - {\ frac {\ mathrm {T} _ {y}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ mathrm {Q} (y_ {0}) \ mathrm {d} x = 0}

van

τxy=TyQ(y0)énGzl{\ displaystyle \ tau _ {xy} = {\ frac {\ mathrm {T} _ {y} \ mathrm {Q} (y_ {0})} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} l}}}.

Megemlítjük az említett szakaszokat:

• szilárd téglalap gerenda profilmagasság h és szélessége L  :  ;Q(y)=l2(h24-y2){\ displaystyle \ mathrm {Q} (y) = {\ frac {l} {2}} \ balra ({\ frac {h ^ {2}} {4}} - y ^ {2} \ jobbra)}
• gerenda teljes körkeresztmetszetű sugarú r  :  ;Q(y)=23(r2-y2)3/2{\ displaystyle \ mathrm {Q} (y) = {\ frac {2} {3}} (r ^ {2} -y ^ {2}) ^ {3/2}}
• vékony, körkörös cső által határolt két henger sugarak R és R: .Q(y)=23(r3-y3){\ displaystyle \ mathrm {Q} (y) = {\ frac {2} {3}} (r ^ {3} -y ^ {3})}

A deformáció kiszámítása

Fentebb láttuk, hogy:

1. a nyírófeszítést elhanyagolják;
2. a γ görbületet és a ρ görbületi sugarat az M f z hajlítónyomaték , az I G z alaki tényező és a Young E modulus függvényében határozzuk meg : ρ=1γ=EénGzMfz{\ displaystyle \ rho = {\ frac {1} {\ gamma}} = {\ frac {\ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}} {\ mathrm {M} _ { \ mathrm {f} z}}}} ;
3. az u y alakváltozás összefügg a ρ-vel és a y-vel a differenciálegyenlet szerint  : d2uydx2=1ρ=γ{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u_ {y}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ rho}} = \ gamma}.

Így kettős integrációval meghatározható a deformáció:

γ=d2uydx2=MfzEénGz{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u_ {y}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} = {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}}}.

Ha a gerenda azonos szelvényű (I G z nem változik) ugyanabból az anyagból (E nem változik), akkor elégedett a hajlítónyomaték integrálása:

EénGzγ=EénGzd2uydx2=Mfz⟹EénGzuy=∬Mfzdx2+NÁL NÉL⋅x+B{\ displaystyle \ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} \ gamma = \ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u_ {y}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} = \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z} \ Longrightarrow \ mathrm {E} \ mathrm { I} _ {\ mathrm {G} z} u_ {y} = \ iint \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z} \ mathrm {d} x ^ {2} + \ mathrm {A} \ cdot x + \ mathrm {B}}

ahol A és B a határfeltételek alapján meghatározott integráció konstansai:

• a csatlakozási pontokon u y = 0;
• a beágyazás pontjainál u ' y = 0;
• ha a probléma a középső keresztmetszethez képest szimmetrikus , akkor a nyaláb közepén u ' y = 0 van.

Az ember általában érdekli az u y maximális értékét, a sugár „elhajlását”, amely meghatározza az üzem közbeni határállapotot (SLS, a terhelés értékét nem szabad túllépni, így a nyaláb alakja kompatibilis marad a funkciójával ).

jegyzet Gyakran találunk visszaélő jelöléseket EI G z y  '' = M f z . ott majd kijelölő elmozdulás. Ezenkívül a pontos kifejezések a következők: uy″(x)(1+uy′2(x))3/2=1ρ=γ{\ displaystyle {\ frac {u_ {y} '' (x)} {\ balra (1 + u_ {y} '^ {2} (x) \ jobbra) ^ {3/2}}} = {\ frac {1} {\ rho}} = \ gamma} és aztán EénGzuy″(x)(1+uy′2(x))3/2=Mfz{\ displaystyle \ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} {\ frac {u_ {y} '' (x)} {\ balra (1 + u_ {y} '^ {2 } (x) \ right) ^ {3/2}}} = \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}}.

A deformáció grafikusan megállapítható a funikuláris módszerrel .

Hajlítás nagy deformáció esetén

Ha a ρ görbületi sugár kisebb, mint a szakasz h magasságának tízszerese

ρ < h * 10,

a feltételezések már nem érvényesek. Ha azonban úgy gondoljuk, hogy:

• az egyenes szakaszok laposak maradnak;
• a szakaszra normális feszültségek függetlenek a szakasszal párhuzamos feszültségektől;

akkor a hajlítónyomatékból adódó normál feszültség lesz

σxx=MfzρS+MfzénGzyρρ+y{\ displaystyle \ sigma _ {xx} = {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ rho \ mathrm {S}}} + {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} y {\ frac {\ rho} {\ rho + y}}}

ahol S a szakasz területe.

Elhajlás

Az elhajlított hajlítás az az eset, amikor a terhelések nem forgatják a szakaszt a másodfokú pillanat fő tengelye körül; a sugárszakasztól függetlenül mindig létezik a másodfokú momentum legalább két fő tengelye.

Szimmetrikus gerenda

Szimmetrikus nyaláb esetén a vektorhajlító nyomatékot két nem nulla M f y és M f z komponensre bonthatjuk . Ha az ember kis törzsekben marad, a rendszer lineáris, így figyelembe vehetjük, hogy két síkbeli inflexió szuperpozíciója van. A normális stressz tehát megéri

σxx=-MfzénGzy+MfyénGyz{\ displaystyle \ sigma _ {xx} = - {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} y + { \ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} y}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} y}}} z}.

Azt a síkot, amelyen a feszültség kiolt, „semleges síknak” nevezzük.

Szimmetrikus gerenda

Meghatározzuk az Y és Z tehetetlenségi fő tengelyeket (lásd a tehetetlenség pillanata című cikket ), majd visszatérünk az előző esetre azzal, hogy magunkat a referenciába helyezzük (G x YZ):

σxx=-MfZénGZY+MfYénGYZ{\ displaystyle \ sigma _ {xx} = - {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {fZ}}} {\ mathrm {I_ {GZ}}}} \ mathrm {Y} + {\ frac { \ mathrm {M} _ {\ mathrm {fY}}} {\ mathrm {I_ {GY}}}}} mathrm {Z}}.

Izosztatikus esetek

Hárompontos hajlítás

A hárompontos hajlítás klasszikus mechanikai teszt. A két egyszerű támaszra (egyenes vonalú támaszok, amelyek síkproblémában egyenértékűek a pontkapcsolattal) és koncentrált terhelésnek kitett gerenda esetét ábrázolja, amely a gerenda közepén van, ráadásul egyszerű érintkezéssel. Az egyik támaszt gyakran forgásként modellezik annak érdekében, hogy a gerenda ne mozogjon vízszintesen.

A szemközti ábrán a gerenda hossza L, a központi terhelés pedig P.

A nyíróerő abszolút értékben állandó: megéri a központi terhelés felét, P / 2. Jelet változtat a gerenda közepén. A hajlítónyomaték lineárisan változik egy vég, ahol 0-val egyenlő, és a középpont között, ahol abszolút értéke megegyezik PL / 4-vel; itt van a legnagyobb a törés kockázata.

A nyaláb profilját egy harmadik fokú polinom írja le (függvény x 3-ban ) a nyaláb egyik felén (a másik fele szimmetrikus).

A nyíróerők és a hajlítónyomatékok diagramjait hagyományosan függőleges vonalakkal töltjük meg. Ez megfelel a grafikus módszerhez használt trapéz alakú felosztásnak.

Gerenda két támaszon, pontszerű terheléssel

Ez az eset a hárompontos hajlítás általánosítása: a terhelést nem feltétlenül terhelik a középpontra. Ez lehetővé teszi például a gördülő terhelés ábrázolását.

Az egyik vég és a terhelés alkalmazási pontja közötti elemzés megegyezik a hárompontos hajlítással, de a probléma már nem szimmetrikus.

Süllyesztett gerenda

A rögzített gerenda ( kapcsos gerenda , konzolos ) gerenda vagy konzol a zászlórúd, a talajban lévő tömítőoszlop, a gerenda konzol (pl. Konzol) esetét mutatja.

Észrevehetjük, hogy úgy viselkedik, mint egy gerenda fele három pont hajlításakor, a rögzített tartó megfelel a középpontnak. A maximális hajlítónyomaték a beágyazás szintjén van, itt a legnagyobb a meghibásodás kockázata.

Négypontos hajlítás

A hárompontos hajlítással a fő különbség a két terhelés között van: a hajlítónyomaték állandó és a nyíróerő nulla. Ez a helyzet tiszta hajlításnak vagy körhajlításnak minősül .

Gerenda két támaszon, egyenletesen elosztott terheléssel

Az egyenletes terhelés lehetővé teszi a gerenda önsúlyának, vagy akár egy folyadék tömegének leírását cső vagy tartály esetében.

Gerenda két támaszon, lineárisan elosztott terheléssel

Ez az eset egy függőleges falat tartó oszlop terhelésének leírására szolgál a föld vagy a víz egyik oldalán: a nyomás a mélységgel növekszik.

Grafikus módszer

Az izosztatikus hajlítási problémák megoldása grafikusan elvégezhető.

Hyperstatikus esetek

Támogatott és beágyazott gerenda (1. fok)

A megtámasztott gerenda esete, szimmetria szerint, teljesen megegyezik a három, azonos fesztávolságú támaszon lévő gerenda esetével (az alátámasztással a meredekség nulla, és megfelel a beágyazásnak).

Gerenda három támaszon (1. fok)

Két azonos hosszúságú l hosszúságú gerenda esetén, egyenletes q terhelés mellett , a támasztási nyomaték megegyezik az egyetlen sugár nyúlási nyomatékával, nevezetesen  ; tehát semmi nem nyerhető az ellenállás szempontjából azáltal, hogy két gerendát folytonosan összekapcsolunk egy közös támaszon. Másrészt a maximális nyomaték érvényes, és a maximális elhajlás körülbelül 40% -kal csökken az izosztatikus sugárhoz képest. ol2/8.{\ displaystyle pl ^ {2} / 8}9.ol2/128{\ displaystyle 9pl ^ {2} / 128}

Két beágyazott gerenda (3. fok)

Egyenletesen elosztott folyamatos terhelés q	Háromszögterhelés legfeljebb q 0 értékkel
Koncentrált terhelés P	M 0 nyomaték

Műanyag hajlítás

Kezdetben megtartja az ellenállás hasonló kritériumát (végső határállapot, ULS) azt a tényt, hogy az anyagnak a rugalmas mezőben kell maradnia. A legnagyobb megengedett terhelésnek tehát olyannak kell lennie, hogy

σ max ≤ R pe

val vel

• R pe = R e / s  : gyakorlati ellenállás a meghosszabbítással szemben;
• R e  : a folyási szilárdság , jellemzően 185-335  MPa szerkezeti acélnál (alacsony széntartalmú ötvözetlen acél);
• s  : biztonsági együttható , jellemzően 1,5 és 5 között.

Ezért önként túlméretezett szerkezeteink vannak, ami lehetővé teszi a véletlen túlterhelések kezelését.

Ha beismerjük, hogy a gerenda bizonyos területei lágyíthatók (plasztikus alakváltozáson mennek keresztül), akkor kisebb méretűre méretezhetjük, ezért könnyebb szerkezetet tervezzünk.

Az általánosan elfogadott megközelítés a következőkből áll:

• úgy gondolja, hogy a rugalmassági határ a feszültség maximális értéke, ami a húzógörbe egyszerűsítését jelenti  ;
• hogy a kritérium tönkre a pillanatot, amikor az összessége egy része képlékeny deformáció.

Amikor a szakasz teljesen képlékeny, a normál igénybevétel megéri:

• - h / 2 < y <0: σ ( y  ) = Re  ;
• 0 < y ≤ h / 2: σ ( y  ) = -R e .

A hajlító pillanat érdemes

Mf=-∫-h/2h/2y⋅σ(y)⋅dS{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ mathrm {f}} = - \ int _ {- h / 2} ^ {h / 2} y \ cdot \ sigma (y) \ cdot \ mathrm {dS} }.

Ha a gerenda szimmetrikus, akkor

Mf=-2∫0h/2y⋅σ(y)⋅dS=2∫0h/2y⋅Re⋅dS=Wol×Re{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ mathrm {f}} = - 2 \ int _ {0} ^ {h / 2} y \ cdot \ sigma (y) \ cdot \ mathrm {dS} = 2 \ int _ {0} ^ {h / 2} y \ cdot \ mathrm {R_ {e}} \ cdot \ mathrm {dS} = \ mathrm {W_ {pl}} \ times \ mathrm {R_ {e}}}

ahol W pl a képlékeny hajlítási modulus:

Wol=2∫0h/2y⋅dS{\ displaystyle \ mathrm {W_ {pl}} = 2 \ int _ {0} ^ {h / 2} y \ cdot \ mathrm {dS}}.

Vegye figyelembe, hogy van

W pl = 2S z

ahol S z a félszakasz statikus nyomatéka .

A rugalmas hajlításhoz képest ezért elfogadható, hogy a gerenda nagyobb hajlítónyomatékon megy keresztül. A két pillanat közötti φ arányt „nyereségnek” nevezzük, és megéri:

φ=Mf mnál nélx olMf mnál nélx e"l=Wol×ReWe"l×Re=WolWe"l{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {{\ mathcal {M}} _ {\ mathrm {f \ max \ pl}}} {{\ mathcal {M}} _ {\ mathrm {f \ max \ {\ akut {e}} l}}}} = {\ frac {\ mathrm {W_ {pl}} \ szor \ mathrm {R_ {e}}} {\ mathrm {W _ {{\ akut {e}} l}} \ times \ mathrm {R_ {e}}}} = {\ frac {\ mathrm {W_ {pl}}} {\ mathrm {W _ {{\ akut {e}} l}}}}}.

Alaktényező: csak a keresztmetszet alakjától függ.

Néhány standardizált profil nyeresége

Profil	Nyereség
IPN	1.18
IPE	1.15
HEA	1.15
HEB	1.16
UPN	1.19
UAP	1.18
cső	1.27
tál	1.5
kerek	1.7

Amikor az anyag belép a műanyag tartományba, el kell játszani a műanyag gömbcsukló fogalmát , amely a nyaláb helyi plasztikáját jellemzi. A szerkezet meghibásodásának mechanizmusa ezután meghatározható a kinematikai tétel vagy a szerkezeti mechanika statikus tételével.

Tányér tokja

A lemezelméletben figyelembe vesszük

• szórólapok, vagyis vékony anyagszeletek, párhuzamosan a lemez felületeivel, a középső réteg a lemez közepén helyezkedik el, és
• normál szálak, vagyis vékony anyagcsövek merőlegesek az átlagos lapra.

Kirchhoff-Love vékony lemezelméletében az átlagos lap hajlik, de síkjában nem húzódik meg (nincs „membrán” igénybevétel), és a normál szálak a deformáció során merőlegesek maradnak az átlagos lapra. Mi ezért egyszerűen kifejezni az elmozdulások u és v egy pont mentén x és y rendre függvényében a magasság z ezen a ponton, az elmozdulás w mentén z és a szögek θ x és θ y  :

u ( x , y , z ) ≃ z · θ y ( x , y ); v ( x , y , z ) ≃ - z · θ x ( x , y ); θx=∂w∂y ;θy=-∂w∂x.{\ displaystyle {\ begin {mátrix} \ theta _ {x} = {\ frac {\ részleges w} {\ részleges y}} {\ text {;}} \\ [1ex] \ theta _ {y} = - {\ frac {\ részleges w} {\ részleges x}} {\ szöveg {.}} \\\ vége {mátrix}}}

Abszolút értelemben a membrándeformáció hiányának hipotézise csak akkor érvényes, ha a felület fejleszthető, vagyis ha csak egy görbülete van ( henger vagy fordulati kúp ). Általános esetben (lásd a gömb és a ló nyeregének példáit ) szükségszerűen van egy szakasz. A feltételezés tehát csak akkor érvényes, ha a w elmozdulás a lemez h vastagságához képest gyenge .

Deformáció

A törzsek tenzorának meghatározása szerint :

{ε11.=z⋅∂θy∂x=-z⋅γxε22.=-z⋅∂θx∂y=-z⋅γy{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {tömb} {l} \ varepsilon _ {11} = z \ cdot {\ frac {\ részleges \ theta _ {y}} {\ részleges x}} = - z \ cdot \ gamma _ {x} \\ [1ex] \ varepsilon _ {22} = - z \ cdot {\ frac {\ részleges \ theta _ {x}} {\ részleges y}} = - z \ cdot \ gamma _ { y} \\ [1ex] \ end {tömb}} \ jobb.}

ahol γ x jelentése a görbülete az átlag lapot az xz síkban és γ y a yz síkban .

Kohéziós erőfeszítések

Az xx-re normál arcra ható m xy hajlítónyomatékok , amelyek vektora az y mentén irányul , és m yx , amelyek az y-ra normális arcra hatnak, és amelyek vektora az x mentén irányul , a normál feszültség lineáris eloszlását hozzák létre. Ez a helyzet hasonló a sugár helyzetéhez.

Korlátok

Kiértékelhetjük Hooke törvényének feszültségeit  :

{ε11.=1E⋅(σ11.-v⋅σ22.)ε22.=1E⋅(σ22.-v⋅σ11.){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} \ varepsilon _ {11} = {\ dfrac {1} {\ mathrm {E}}} \ cdot (\ sigma _ {11} - \ nu \ cdot \ sigma _ {22}) \\ [2ex] \ varepsilon _ {22} = {\ dfrac {1} {\ mathrm {E}}} \ cdot (\ sigma _ {22} - \ nu \ cdot \ sigma _ {11 }) \\\ end {mátrix}} \ right.}

van

{σ11.=-E1-v2⋅(γx+vγy)⋅zσ22.=-E1-v2⋅(γy+vγx)⋅z{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} \ sigma _ {11} = - {\ dfrac {\ mathrm {E}} {1- \ nu ^ {2}}} \ cdot (\ gamma _ {x } + \ nu \ gamma _ {y}) \ cdot z \\ [2ex] \ sigma _ {22} = - {\ dfrac {\ mathrm {E}} {1- \ nu ^ {2}}} \ cdot (\ gamma _ {y} + \ nu \ gamma _ {x}) \ cdot z \\\ end {mátrix}} \ right.}

ahol E fiatal modulus és ν Poisson arány .

A normál feszültségeket a hajlítónyomatékokkal az ekvivalencia elvével lehet összekapcsolni; ehhez meg kell választani egy olyan egyezményt, mint a bal vagy a jobb oldali erők konvenciói a gerendák számára. Itt úgy döntünk, hogy a pozitív momentumokat vesszük figyelembe, ha azok lefelé görbületet okoznak, vagyis ha a felső felület összenyomva van (σ ii <0 z > 0 esetén) és az alsó arc feszült (σ ii > 0 z <0).

Tehát ha az anyag eleme d x × d y × h , akkor

{mxy⋅dy=∫-h/2h/2(σ11.⋅z⋅dy)⋅dzmyx⋅dx=∫-h/2h/2(σ22.⋅z⋅dx)⋅dz{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} m_ {xy} \ cdot \ mathrm {d} y = \ int _ {- h / 2} ^ {h / 2} \ left (\ sigma _ {11} \ cdot z \ cdot \ mathrm {d} y \ right) \ cdot \ mathrm {d} z \\ [1ex] m_ {yx} \ cdot \ mathrm {d} x = \ int _ {- h / 2} ^ {h / 2} \ balra (\ sigma _ {22} \ cdot z \ cdot \ mathrm {d} x \ right) \ cdot \ mathrm {d} z \\\ end {mátrix}} jobbra.}

van

{mxy=-D⋅(γx+vγy)myx=-D⋅(γy+vγx){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} m_ {xy} = - \ mathrm {D} \ cdot (\ gamma _ {x} + \ nu \ gamma _ {y}) \\ m_ {yx} = - \ mathrm {D} \ cdot (\ gamma _ {y} + \ nu \ gamma _ {x}) \\\ end {mátrix}} \ right.}.

A kifejezés

D=E1-v2∫-h/2h/2z2⋅dz=Eh312.(1-v2){\ displaystyle \ mathrm {D} = {\ dfrac {\ mathrm {E}} {1- \ nu ^ {2}}} \ int _ {- h / 2} ^ {h / 2} z ^ {2} \ cdot \ mathrm {d} z = {\ dfrac {\ mathrm {E} h ^ {3}} {12 (1- \ nu ^ {2})}}}

hajlítómerevségnek nevezzük . Ugyanaz a szerepe van, mint az E⋅I G z faktornak a gerenda hajlításakor.

Ahogy van

{γx≃∂2w∂x2γy≃∂2w∂y2{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {mátrix} \ gamma _ {x} \ simeq {\ dfrac {\ részleges ^ {2} w} {\ részleges x ^ {2}}} \\ [2ex] \ gamma _ {y} \ simeq {\ dfrac {\ részleges ^ {2} w} {\ részleges y ^ {2}}} \\\ vége {mátrix}} \ jobb.}

levezetjük a differenciálegyenleteket  :

{mxy=-D⋅(∂2w∂x2+v∂2w∂y2)myx=-D⋅(∂2w∂y2+v∂2w∂x2){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} m_ {xy} = - \ mathrm {D} \ cdot \ left ({\ frac {\ partis ^ {2} w} {\ részleges x ^ {2}} } + \ nu {\ frac {\ részleges ^ {2} w} {\ részleges y ^ {2}}} \ jobbra) \\ [1ex] m_ {yx} = - \ mathrm {D} \ cdot \ balra ( {\ frac {\ részleges ^ {2} w} {\ részleges y ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ részleges ^ {2} w} {\ részleges x ^ {2}}} \ jobb) \\\ end {mátrix}} \ right.}.

Általános esetben m xy m yx x és y függvénye .

Különleges esetek

A nyomatékok egyenletes eloszlása ​​a téglalap alakú lemez oldalán

Először egy téglalap alakú lemez egyszerű esetét vesszük figyelembe, amelynek szélein egyenletes nyomatékok vannak kitéve; ez az eset nem felel meg egy különösen érdekes valós esetnek, de lehetővé teszi bizonyos számú eredmény egyszerű, egyszerű elérését. Ez a helyzet hasonló a gerenda tiszta hajlításához (a négypontos hajlítás központi része).

Konkrét esetünkben a forgatónyomaték torzorok esetében vagyunk. Ha valaki az anyag egy elemét figyelembe veszi a lemez bármely pontján, akkor:

m xy = M x  ; m yx = M y .

Ezek állandóak, tehát van

{Mx=-D⋅(γx+vγy)My=-D⋅(γy+vγx){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} \ mathrm {M} _ {x} = - \ mathrm {D} \ cdot (\ gamma _ {x} + \ nu \ gamma _ {y}) \\ \ mathrm {M} _ {y} = - \ mathrm {D} \ cdot (\ gamma _ {y} + \ nu \ gamma _ {x}) \\\ end {mátrix}} \ right.}

Ebben az esetben a megoldás egyszerű: egyenletes görbületeket kapunk:

{γx=-Mx-vMyD′γy=-My-vMxD′{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} \ gamma _ {x} = - {\ dfrac {\ mathrm {M} _ {x} - \ nu \ mathrm {M} _ {y}} {\ mathrm {D} '}} \\ [2ex] \ gamma _ {y} = - {\ dfrac {\ mathrm {M} _ {y} - \ nu \ mathrm {M} _ {x}} {\ mathrm {D } '}} \\\ end {mátrix}} \ right.}

val vel

D′=(1-v2)D=Eh312.{\ displaystyle \ mathrm {D} '= (1- \ nu ^ {2}) \ mathrm {D} = {\ dfrac {\ mathrm {E} h ^ {3}} {12}}}.

Ha az egyik külső pár nulla, például M y = 0, akkor megvan

γ y = -νγ x ,

vagyis a két fő görbület ellentétes (a ló nyereg típusú „anticlastikus” görbe ). Abban a konkrét esetben, amikor M y = νM x , megvan

γ y = 0

vagyis azt mondjuk, hogy csak egy görbületünk van egy irányba. Ez az eset hasonló a gerenda tiszta hajlításához, de az eredmény kissé eltér:

lemez :Mx=-Dγx=-Eh312.(1-v2)γxgerenda:Mx=-EénGzγx=-Eh312.γx{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ text {plate:}} & \ mathrm {M} _ {x} = - \ mathrm {D} \ gamma _ {x} = - {\ dfrac {\ mathrm {E } h ^ {3}} {12 (1- \ nu ^ {2})}} \ gamma _ {x} \\ {\ text {beam:}} & \ mathrm {M} _ {x} = - \ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} \ gamma _ {x} = - {\ dfrac {\ mathrm {E} h ^ {3}} {12}} \ gamma _ {x } \\\ end {mátrix}}}

Az 1 / (1-ν²) különbségtényező abból adódik, hogy a lemeznek nincs lehetősége szabadon kinyúlni az oldalain. A fémek (ν ≃ 0,3) esetében körülbelül 10% -os különbség van (1 / (1-ν²) ≃ 1,10).

Ha van M y = M x , akkor

γ y = γ x ,

a lemez tehát gömbkupak alakú. Valójában ez igaz a lemez alakjától függetlenül, a pillanatok egyenletes eloszlásához.

Egyenletes nyomás Támogatott négyzet alakú lemez

Abban az esetben, egy négyzet alakú lemez oldalsó egy kéttámaszú által betöltött egyenletes nyomás p 0 , a maximális elhajlási W max van a központban, és érdemes:

wmnál nélx=o0nál nél44π4D{\ displaystyle w _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {p_ {0} a ^ {4}} {4 \ pi ^ {4} \ mathrm {D}}}}.Süllyesztett kör alakú lemez

Beépített R sugarú körlemez esetén a középponttól r távolságra lévő hajlítás érdemes

w(r)=o064.D(R2-r2)2{\ displaystyle w (r) = {\ frac {p_ {0}} {64 \ mathrm {D}}} (\ mathrm {R} ^ {2} -r ^ {2}) ^ {2}} ;

a maximális alakváltozás középen van és egyenlő

wmnál nélx=o064.DR4{\ displaystyle w _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {p_ {0}} {64 \ mathrm {D}}} \ mathrm {R} ^ {4}}.

Ne feledje, hogy a nyilat is beírhatjuk az űrlapba

w(r)=wmnál nélx(1-r2R2)2{\ displaystyle w (r) = w _ {\ mathrm {max}} \ balra (1 - {\ frac {r ^ {2}} {\ mathrm {R} ^ {2}}} \ jobbra) ^ {2 }}.

Alkalmazás az építkezéshez

Amint azt korábban láttuk, az elemben ( gerenda vagy padló ) való hajlítás következtében fellépő feszültségek (és feszültségek) főleg az alsó és a felső szál közelében koncentrálódnak, míg a semleges szál közelében lévőek nagyon kevéssé feszülnek. Így anyagtakarékossági okokból, pénzügyi célból vagy az elem saját tömegének csökkentése érdekében az anyagot a semleges szálaktól távolabb koncentrálhatjuk, és középpontjában elvékonyíthatjuk. Ezért használunk profilos profilokat csövek , hengerelt profilok (U, I, H, szögek ), bordás vagy dobozos lemezek formájában ...

Megjegyzések és hivatkozások

1. Michel Del Pedro , Thomas Gmür és John Botsis , „Az ívelt gerendák hajlítása” , Bevezetés a szilárd anyagok és szerkezetek mechanikájába , Lausanne, Presses polytechniques et universitaire romandes,2004( ISBN  2-88074-617-5 ) , p.  115-124

Lásd is

Bibliográfia

• Jean-Louis Fanchon, mechanikus útmutató , Nathan,2001, 543  p. ( ISBN  2-09-178965-8 ) , p.  265-396
• Claude Hazard, Frédy Lelong és Bruno Quinzain , Mémotech - Fémes szerkezetek , Párizs, Casteilla,1997, 352  p. ( ISBN  2-7135-1751-6 ) , p.  326-336
• D. Spenlé és R. Gourhant, Útmutató a mechanika számításához: az ipari rendszerek teljesítményének ellenőrzése , Párizs, Hachette,2003, 272  p. ( ISBN  2-01-168835-3 ) , p.  130-208

Kapcsolódó cikkek

• Elhajlás
• Elhajlás (anyagellenállás)
• A területek pillanatainak módszere