Poinsot mozgás

A szilárd mechanikában , amelyet Poinsot- nak való mozgásnak nevezünk , egy szilárd anyag mozgása a G súlypontja körül, a külső erők időzítése G felett nulla. Ezt a mozgást a szögimpulzus és a forgási mozgási energia megőrzése, a szögimpulzus és a pillanatnyi forgásvektor skaláris féltermékének megőrzése jellemzi. Három eset van: ${\ displaystyle {\ vec {L_ {G}}}}$ ${\ displaystyle E_ {c} = {\ frac {1} {2}} \ langle {\ vec {L_ {G}}}, {\ vec {\ Omega}} \ rangle}$

a szilárd anyagnak gömbszimmetriája van. Fő tehetetlenségi nyomatékai egyenlőek: A = B = C. Ezután a mozgás egyszerű, egyenletes tengelyfordulattá csökken a szögimpulzus .
a szilárd anyagnak szimmetrikus a fordulata: A = B és C különbözik. Beszélünk az Euler-Poinsot mozgását a pörgettyű . Ez a mozgás egyenértékű egy gördülő kúppal, anélkül, hogy egy másik rögzített kúpra csúszna. A Föld mozgása az egyik példa.
a szilárd tetszőleges: C> B> A. A mozgás Jacobi elliptikus funkcióinak köszönhetően integrálható . A precesszió némi változása után rendszeresen megismétlődik .

Gömbszimmetriával szilárd

Ilyen szilárd anyag esetén az összes fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő. Jelöljük közös értéküket $I-vel.$ Ha van a pillanatnyi forgásvektor és a szilárd anyag szögmomentuma, akkor megvan . állandóan, így van . A mozgás a szögimpulzus- tengely egyszerű, egyenletes rotációs mozgása , szögsebességgel . Kinetikus forgási energiája az . ${\ vec {\ Omega}}$ ${\ displaystyle {\ vec {L_ {G}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {L_ {G}}} = I {\ vec {\ Omega}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {L_ {G}}}}$ ${\ vec {\ Omega}}$ ${\ displaystyle {\ frac {L_ {G}} {I}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {L_ {G} ^ {2}} {2I}}}$

Ez az eset a gömböt , a labdát , de a kockát is érinti .

Szilárd a forradalom szimmetriájával

Van egy forgástest, a fő tengelye tehetetlenségi , , , a megfelelő tehetetlenségi nyomatékok ( A , A , C ). Az adattár ( G , , , ) az említett tároló lesz kötve, hogy a szilárd anyagot. Az eredeti G referenciakeretet, amelynek tengelyei párhuzamosak a galilei referenciakerettel, rögzített referenciakeretnek nevezzük. Ne feledje, hogy a szögimpulzus állandó. Feltételezhetjük, hogy a fix referenciakeret vektorával kollináris . A következő eredmények vannak: ${\ displaystyle {\ vec {I}}}$ ${\ vec {J}}$ $\ vec {K}$ ${\ displaystyle {\ vec {I}}}$ ${\ vec {J}}$ $\ vec {K}$ ${\ displaystyle {\ vec {L_ {G}}}}$ ${\ vec {k}}$

Euler tétele :

A vektorok , és egy síkban vannak. ${\ displaystyle {\ vec {L_ {G}}}}$ $\ vec {K}$ ${\ vec {\ Omega}}$
a és a közti nutációs szög állandó. $\ theta$ ${\ displaystyle {\ vec {L_ {G}}}}$ $\ vec {K}$
A pillanatnyi forgásvektornak állandó modulusa van. ${\ vec {\ Omega}}$
A vektor egy tengely kúpot ír le a szilárd anyaghoz kapcsolt referenciakeretben, amelyet szilárd kúpnak nevezünk. ${\ vec {\ Omega}}$ $\ vec {K}$
A vektor egy tengelykúpot ír le a rögzített referenciakeretben, amelyet alapkúpnak nevezünk. ${\ vec {\ Omega}}$ ${\ displaystyle {\ vec {L_ {G}}}}$
A szilárd kúp simán gördül az alapkúp mentén. A két kúp közös generátorát mindenkor az irányítja . ${\ vec {\ Omega}}$
A szögsebesség precesszió állandó: . ${\ displaystyle {\ dot {\ psi}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ psi}} = {\ frac {L_ {G}} {A}}}$
A szögsebesség megfelelő rotációs állandó: . ${\ displaystyle {\ dot {\ varphi}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ varphi}} = L_ {G} \ cos (\ theta) ({\ frac {1} {C}} - {\ frac {1} {A}})}$

Demonstráció

Bomljunk le és a szilárd anyaghoz kapcsolt bázisban: és . Így van . Tehát a vektorok , és összefüggenek egymással. Ha A > C , között van és . Egyébként pedig az, hogy ki és ki között van . ${\ vec {\ Omega}}$ ${\ displaystyle {\ vec {L_ {G}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ Omega}} = \ omega _ {1} {\ vec {I}} + \ omega _ {2} {\ vec {J}} + \ omega _ {3} {\ vec { K}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {L_ {G}}} = A (\ omega _ {1} {\ vec {I}} + \ omega _ {2} {\ vec {J}}) + C \ omega _ { 3} {\ vec {K}}}$ ${\ displaystyle A {\ vec {\ Omega}} = {\ vec {L_ {G}}} + (AC) \ omega _ {3} {\ vec {K}}}$ ${\ vec {\ Omega}}$ ${\ displaystyle {\ vec {L_ {G}}}}$ $\ vec {K}$ ${\ vec {\ Omega}}$ ${\ displaystyle {\ vec {L_ {G}}}}$ $\ vec {K}$ ${\ displaystyle {\ vec {L_ {G}}}}$ ${\ vec {\ Omega}}$ $\ vec {K}$
Figyelembe véve az állandóság , az egyik definíció szerint a pillanatnyi forgási-vektor. Mivel a síkban van ( , ), a pont szorzat nulla, tehát a pont szorzat állandó, tehát a nutáció szöge állandó. ${\ displaystyle {\ vec {L_ {G}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} \ langle {\ vec {L_ {G}}}, {\ vec {K}} \ rangle = \ langle { \ vec {L_ {G}}}, {\ frac {{\ \ rm {d}} {\ vec {K}}} {{\ rm {d}} t}} \ rangle = \ langle {\ vec {L_ {G}}}, {\ vec {\ Omega}} \ ék {\ vec {K}} \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ vec {L_ {G}}}}$ ${\ vec {\ Omega}}$ $\ vec {K}$ ${\ displaystyle \ langle {\ vec {L_ {G}}}, {\ vec {\ Omega}} \ wedge {\ vec {K}} \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle {\ vec {L_ {G}}}, {\ vec {K}} \ rangle = L_ {G} \ cos (\ theta)}$ $\ theta$
Egyrészt állandó, másrészt a forgási mozgási energia állandó, ezért állandó, ezért állandó. A pillanatnyi forgásvektornak állandó modulusa van. Iránya azonban változó. ${\ displaystyle \ langle {\ vec {\ Omega}}, {\ vec {K}} \ rangle = \ omega _ {3} = {\ frac {\ langle {\ vec {L_ {G}}}, {\ vec {K}} \ rangle} {C}} = {\ frac {L_ {G} \ cos (\ theta)} {C}}}$ ${\ displaystyle E_ {c} = {\ frac {1} {2}} \ langle {\ vec {L_ {G}}}, {\ vec {\ Omega}} \ rangle = {\ frac {A} {2 }} (\ omega _ {1} ^ {2} + \ omega _ {2} ^ {2}) + {\ frac {C} {2}} \ omega _ {3} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1} ^ {2} + \ omega _ {2} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ Omega ^ {2} = \ omega _ {1} ^ {2} + \ omega _ {2} ^ {2} + \ omega _ {3} ^ {2}}$
A szög belép és ellenőrzi . Mivel és állandóak, állandóak. ezért a szilárd anyaghoz kapcsolt referenciakeretben tengelykúpot ír le . $\ alfa$ ${\ vec {\ Omega}}$ $\ vec {K}$ ${\ displaystyle \ langle {\ vec {\ Omega}}, {\ vec {K}} \ rangle = \ omega _ {3} = \ Omega \ cos (\ alfa)}$ $\Omega 3}$ $\Omega$ $\ alfa$ ${\ vec {\ Omega}}$ $\ vec {K}$
A szög belép és ellenőrzi . Amint állandó, valamint és , állandó. ezért egy tengelykúpot ír le a rögzített referenciakeretben. $\ béta$ ${\ vec {\ Omega}}$ ${\ displaystyle {\ vec {L_ {G}}}}$ ${\ displaystyle \ langle {\ vec {\ Omega}}, {\ vec {L_ {G}}} \ rangle = \ Omega L_ {G} \ cos (\ beta)}$ ${\ displaystyle \ langle {\ vec {\ Omega}}, {\ vec {L_ {G}}} \ rangle = 2E_ {c}}$ $\Omega$ ${\ displaystyle L_ {G}}$ $\ béta$ ${\ vec {\ Omega}}$ ${\ displaystyle {\ vec {L_ {G}}}}$
A vektor a két kúpnál közös, és két síkban van a két kúp tengelyével. Ezért ez csak a két kúp közös generátorának az iránya lehet, amelyben érintenek egymást. A mozgás során a forgástengely pontjainak zérus sebessége van, ami azt jelenti, hogy a két kúp közötti érintkezés csúszásmentes. ${\ vec {\ Omega}}$
A bomlás megadja a precesszió szögsebességét (az alkatrész az irányának megfelelően ), és a megfelelő forgás szögsebességét (a komponens szerint ), nevezetesen: ${\ displaystyle A {\ vec {\ Omega}} = {\ vec {L_ {G}}} + (AC) \ omega _ {3} {\ vec {K}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {L_ {G}}}}$ $\ vec {K}$

{\ displaystyle {\ dot {\ psi}} = {\ frac {L_ {G}} {A}}}

{\ displaystyle {\ dot {\ varphi}} = {\ frac {AC} {A}} \ omega _ {3} = L_ {G} \ cos (\ theta) ({\ frac {1} {C}} - {\ frac {1} {A}})}

Általában a rögzített referenciakeretben a mozgás nem periodikus, mivel a precesszió és a megfelelő forgatás szögsebességei nem arányosak .

Föld példa

Első közelítésként a Föld állandó szögmomulttal rendelkezik, és alakja lényegében egy szilárd alak, amelynek ellipszoid alakú fordulatszimmetriája van . Ha homogén ellipszoidról lenne szó, akkor megkapnánk, ahol a az egyenlítői sugár és c a meridián sugara. De a Föld középpontjában sűrűbb. A korábban kiszámított szabad precessziós mozgás 305 sziderális napos periódusú. A megfelelő forgási mozgás egy sziderális nap, vagyis 86 164,1 s . A táplálási szög nagyon alacsony. Az Északi-sarkon a polódia körülbelül 10 m-es kör: a forgásvektor és a szögimpulzus majdnem egymáshoz igazodik. Ezt a mozgást követi jelenleg az IERS , amely megfigyeli a kísérleti valóság és az Euler-tétel közötti különbségeket. Ennek több oka van: ${\ displaystyle {\ frac {A} {CA}} = 305}$ ${\ displaystyle {\ frac {A} {CA}} = {\ frac {a ^ {2} + c ^ {2}} {a ^ {2} -c ^ {2}}} = ~ 297}$

Először is, a Föld nem szilárd, hanem egy bizonyos rugalmassággal felruházott test , amelynek merevsége közel áll az acéléhoz . Newcomb és Chandler ezt a tényt szem előtt tartva vették át Euler elméletét, és megállapították, hogy Euler precessziós mozgását 432 napos precessziós mozgásra kell változtatni.
Ezenkívül a Föld úgy viselkedik, mint egy viszkozitással felruházott anyag ; a jeges visszapattanás megemeli a kanadai pajzsot , ami a polódium sodródását okozza.
Ezenkívül az óceánok (áramlatok és árapályok) mozgása és a légkör mozgása megzavarja a polódiumot (lásd a Föld forgását ).
Vannak földrengések (lásd: Szumátra-effektus ), mély konvekciós mozgások, amelyek megfelelnek a lemezes tektonikának , amelyeknek egy központi része folyékony és jelentős konvekciós mozgásokkal izgatott (lásd: földi geomagnetizmus ). Szinte állandó szögnyomatéknál ez kissé szabálytalan forgásnak felel meg, amely tökéletesen érzékelhető az aktuális pontosságra tekintettel (10 -10 ).

Az előző modellezés nem veszi figyelembe a napéjegyenlőségek precesszióját , amelyet Hipparchus Kr. E. 200-ban írt le . Kr .: Hosszú távon a Föld szögleti lendülete nem állandó a Hold és a Nap ekvatoriális gyöngyre gyakorolt hatása miatt. Ezért giroszkópiás hatáson megy keresztül , sokkal lassabban, mint a Poinsot mozgásának szabad precessziója.

Szilárd bármilyen

Ez az aszimmetrikus csúcsnak nevezett eset bármely tárgy mozgását érinti, különösebb szimmetria nélkül, és sokkal bonyolultabb. Valóban, ebben a mozgásban a három Euler-szög ( nutáció , precesszió és megfelelő forgatás) mind változik.

Egyenlet

Nem található a referencia kapcsolatos a szilárd ( G , , , ), a tengelyek, a fő tengelye tehetetlenség, a tehetetlenségi nyomaték rendre A , B és C . Például akkor feltételezzük, hogy a C > B > A . Jegyezzük fel a pillanatnyi forgásvektor összetevőit . A komponensek perdület vannak . A mozgások összetételének levezetési szabályai szerint a rögzített referenciakeretben a szögimpulzus megőrzése annak összetevőiből fejeződik ki a szilárd anyaghoz kapcsolódó referenciakeretben: ${\ displaystyle {\ vec {I}}}$ ${\ vec {J}}$ $\ vec {K}$ ${\ displaystyle (\ omega _ {1}, \ omega _ {2}, \ omega _ {3})}$ ${\ vec {\ Omega}}$ ${\ displaystyle {\ vec {L_ {G}}}}$ ${\ displaystyle (A \ omega _ {1}, B \ omega _ {2}, C \ omega _ {3})}$

{\ displaystyle 0 = {\ frac {{\ rm {d}} {\ vec {L_ {G}}}} {{\ rm {d}} t}} _ {({\ rm {fix}})} = {\ frac {{\ rm {d}} {\ vec {L_ {G}}}} {{\ rm {d}} t}} _ {({\ rm {solid}})} + {\ vec {\ Omega}} \ ék {\ vec {L_ {G}}}}

amely a következő Euler-egyenleteket adja:

{\ displaystyle {\ begin {cases} A {\ dot {\ omega}} _ {1} + (CB) \ omega _ {2} \ omega _ {3} = 0 \\ B {\ dot {\ omega} } _ {2} + (AC) \ omega _ {3} \ omega _ {1} = 0 \\ C {\ dot {\ omega}} _ {3} + (BA) \ omega _ {1} \ omega _ {2} = 0 \ vége {esetek}}}

Felbontás a szilárd anyaghoz kapcsolt referenciakeretben

A szögimpulzus modulusának és a forgási kinetikus energiájának állandóságát felhasználva szintén:

{\ displaystyle L_ {G} ^ {2} = A ^ {2} \ omega _ {1} ^ {2} + B ^ {2} \ omega _ {2} ^ {2} + C ^ {2} \ omega _ {3} ^ {2}}

{\ displaystyle 2E_ {c} = A \ omega _ {1} ^ {2} + B \ omega _ {2} ^ {2} + C \ omega _ {3} ^ {2}}

A $t$ idő függvényében kifejezett kifejezést ezután a következőképpen határozzuk meg. A két fenti egyenletekben lehetővé teszi, hogy kifejezze és függvényében , és az állandók és a . Az Euler második egyenletének ezek a kifejezései és átkerülnek ebbe , lehetővé téve egy nemlineáris differenciálegyenlet elkülöníthető változókkal történő beolvasását . Ezt egyszerűen akkor fejezzük ki, ha a következő kiegészítő változókat használjuk: ${\ displaystyle (\ omega _ {1}, \ omega _ {2}, \ omega _ {3})}$ $\ omega _ {1}$ $\Omega 3}$ $\ omega _ {2}$ ${\ displaystyle L_ {G}}$ $E_c$ $\ omega _ {1}$ $\Omega 3}$ $\ omega _ {2}$

{\ displaystyle \ tau = t {\ sqrt {\ frac {(CB) (L_ {G} ^ {2} -2E_ {c} A)} {ABC}}}}

{\ displaystyle s = \ omega _ {2} {\ sqrt {\ frac {B (CB)} {2E_ {c} C-L_ {G} ^ {2}}}}}

{\ displaystyle k ^ {2} = {\ frac {(BA) (2E_ {c} C-L_ {G} ^ {2})} {(CB) (L_ {G} ^ {2} -2E_ {c }NÁL NÉL)}}}

Ezután megkapjuk . Azon időpontok eredetének kiválasztásával, amikor nulla értéket vesz fel, ezt a differenciálegyenletet a következő formában integrálják: ${\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} s} {{\ rm {d}} \ tau}} = {\ sqrt {1-s ^ {2}}} {\ sqrt {1-k ^ {2} s ^ {2}}}}$ $\ omega _ {2}$

{\ displaystyle \ tau = \ int _ {0} ^ {s} {\ frac {1} {{\ sqrt {1-x ^ {2}}} {\ sqrt {1-k ^ {2} x ^ { 2}}}}} {\ rm {d}} x}

amely az első fajta elliptikus integrál . Kifejezzük $s-$ t τ, tehát $t$ idő függvényében, e függvény reciprokjának felvételével, amely oda vezet , ahol $sn$ az egyik Jacobi elliptikus függvény (a többi $cn$ és $dn$ ). Ezután következtetünk és . A végső kifejezések: ${\ displaystyle F (s; k)}$ $\ omega _ {2}$ ${\ displaystyle s = {\ rm {sn}} (\ tau)}$ $\ omega _ {1}$ $\Omega 3}$

{\ displaystyle \ omega _ {1} = {\ sqrt {\ frac {2E_ {c} C-L_ {G} ^ {2}} {A (CA)}}} {\ rm {cn}} (\ tau )}

{\ displaystyle \ omega _ {2} = {\ sqrt {\ frac {2E_ {c} C-L_ {G} ^ {2}} {B (CB)}}} {\ rm {sn}} (\ tau )}

{\ displaystyle \ omega _ {3} = {\ sqrt {\ frac {L_ {G} ^ {2} -2E_ {c} A} {C (CA)}}} {\ rm {dn}} (\ tau )}

Ezek a funkciók időszakosak a . Tehát a szilárd anyaghoz kapcsolt referenciakeretben a pillanatnyi rotációs vektor periodikusan változik. ${\ displaystyle T = 4K {\ sqrt {\ frac {ABC} {(CB) (L_ {G} ^ {2} -2E_ {c} A)}}}}$ ${\ displaystyle K = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {{\ sqrt {1-x ^ {2}}} {\ sqrt {1-k ^ {2} x ^ {2 }}}}}}$

Felbontás a rögzített referenciakeretben

Ezután visszatérünk az Euler szögek kifejezésére az idő függvényében, azáltal, hogy a rögzített referenciakeret irányát vesszük a vektor irányába , majd a szilárdhoz kapcsolt referenciakeretben fejezzük ki a az nut bekapcsolás és a megfelelő elfordulás szöge. Így megkapjuk: ${\ vec {k}}$ ${\ displaystyle {\ vec {L_ {G}}}}$ ${\ vec {k}}$ ${\ displaystyle ({\ vec {I}}, {\ vec {J}}, {\ vec {K}})}$

{\ displaystyle {\ vec {L_ {G}}} = L_ {G} {\ vec {k}} = L_ {G} (\ cos (\ theta) {\ vec {K}} + \ sin (\ theta ) \ sin (\ varphi) {\ vec {I}} + \ sin (\ theta) \ cos (\ varphi) {\ vec {J}}) = A \ omega _ {1} {\ vec {I}} + B \ omega _ {2} {\ vec {J}} + C \ omega _ {3} {\ vec {K}}}

Következtethetünk:

{\ displaystyle \ cos (\ theta) = {\ frac {C \ omega _ {3}} {L_ {G}}} = {\ sqrt {\ frac {C (L_ {G} ^ {2} -2E_ { c} A)} {L_ {G} ^ {2} (Kalifornia)}}} {\ rm {dn}} (\ tau)}

{\ displaystyle \ tan (\ varphi) = {\ frac {A \ omega _ {1}} {B \ omega _ {2}}} = {\ sqrt {\ frac {A (CB)} {B (CA) }}} {\ frac {{\ rm {cn}} (\ tau)} {{\ rm {sn}} (\ tau)}}}

Ami a precessziós , így termékként ez a kifejezése a komponensek a vektor pillanatnyi forgási szerinti vektorok és megfelelően a szögek a Euler, és amelyek rendre érdemes és . Következtethetünk: $\ psi$ ${\ vec {\ Omega}}$ ${\ displaystyle {\ vec {I}}}$ ${\ vec {J}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1} = {\ dot {\ psi}} sin (\ theta) \ sin (\ varphi) + {\ dot {\ theta}} \ cos (\ varphi)}$ ${\ displaystyle \ omega _ {2} = {\ dot {\ psi}} \ sin (\ theta) \ cos (\ varphi) - {\ dot {\ theta}} \ sin (\ varphi)}$

{\ displaystyle {\ dot {\ psi}} = {\ frac {\ omega _ {1} \ sin (\ varphi) + \ omega _ {2} \ cos (\ varphi)} {\ sin (\ theta)} } = L_ {G} {\ frac {A \ omega _ {1} ^ {2} + B \ omega _ {2} ^ {2}} {A ^ {2} \ omega _ {1} ^ {2} + B ^ {2} \ omega _ {2} ^ {2}}}}

$\ psi$ az így talált funkció primitívje. Az előző bekezdésben megadott $T$ periódus végén a precesszió egy bizonyos szöggel megfordult, és a mozgás ehhez a szöghez viszonyítva megismétlődik, de nincs ok arra, hogy ennek a szögnek arányosnak kell lennie egy teljes fordulatszámmal, hogy a a mozgás a rögzített referenciakeretben általában nem periodikus.

Polhody és herpolody

Poinsot geometrikusan a következőképpen írta le a mozgást:

A szilárd anyaghoz kapcsolt referenciakeretben legyen (E1) a tehetetlenségi ellipszoid , az egyenlet , és (E2) legyen az egyenlet ellipszoidja . ${\ displaystyle AX ^ {2} + BY ^ {2} + CZ ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle A ^ {2} X ^ {2} + B ^ {2} Y ^ {2} + C ^ {2} Z ^ {2} = {\ frac {L_ {G} ^ {2}} { 2E_ {c}}}}$

A két egyenlet (rotációs kinetikus energia megőrzése ) és (szögimpulzus-modulus megőrzése) miatt a vektor leírja e két ellipszoid metszésgörbéjét. Ezt a görbét mozgás polódiumának nevezzük . ${\ displaystyle 2E_ {c} = A \ omega _ {1} ^ {2} + B \ omega _ {2} ^ {2} + C \ omega _ {3} ^ {2}}$ ${\ displaystyle L_ {G} ^ {2} = A ^ {2} \ omega _ {1} ^ {2} + B ^ {2} \ omega _ {2} ^ {2} + C ^ {2} \ omega _ {3} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ vec {\ Omega}} {\ sqrt {2E_ {c}}}}}$

Ha a tehetetlenségi ellipszoidon ábrázoljuk az $L G$ különböző értékeinek különböző polódiáit , akkor azt látjuk, hogy négy zónára vannak felosztva. A $C$ > $B$ > $A$ konvenció mellett két zóna polódiákból áll (a szemközti ábrán kék színnel), amelyek körülveszik a legmagasabb $C$ szögimpulzusnak megfelelő $GZ$ tengelyt $.$ Két másik zóna polódiákból áll (a szemközti ábrán piros színnel), amelyek körülveszik a leggyengébb A szögimpulzusnak megfelelő $GX$ tengelyt $.$ Ezek a polódiák zárva vannak, és így azt a tényt találjuk, hogy a pillanatnyi forgásvektor periodikusan mozog a szilárd anyaghoz kapcsolt referenciakeretben. Az előző négy zónát az $Y$ közbülső tengelyen metsző két görbe elválasztásával korlátozzuk . Ezt a konfigurációt mechanikailag értelmezi az a tény, hogy a $GZ$ és a $GX$ tengelyhez közeli $forgásmozgás$ stabil (és a $GZ$ szerint stabilabb, mint a $GX$ szerint ), míg a $GY$ közbenső tengely körül instabil lesz . Példaként meg lehet forgatni a gyufásdobozt a doboz két nagy oldalára merőleges tengely körül, amely a legstabilabb (amit mindenki ismer, amikor lapos kövekkel ricochetel a vízen); szintén (de nehezebben) a fő tengelye körül van. De nincs remény arra, hogy a gyufásdobozt a kaparókra merőleges tengely mentén dobja: valóban álló mozgási helyzet, de instabil ( Djanibekov-effektus ). ${\ vec {\ Omega}}$

Tekintsük most a tehetetlenségi ellipszoid érintő síkját (P) a pontban . A (P) értékre eső normálist a függvény ezen a ponton lévő gradiense irányítja , nevezetesen , amely egy tényezőig nem más, mint a szögimpulzus . Az érintősík egyenlete tehát: ${\ displaystyle {\ frac {\ vec {\ Omega}} {\ sqrt {2E_ {c}}}}}$ ${\ displaystyle AX ^ {2} + BY ^ {2} + CZ ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2E_ {c}}}} (2A \ omega _ {1}, 2B \ omega _ {2}, 2C \ omega _ {3})}$ ${\ displaystyle {\ vec {L_ {G}}}}$

{\ displaystyle {\ vec {u}} \ in {\ rm {(P)}} \ iff \ langle {\ vec {L_ {G}}}, {\ vec {u}} \ rangle = \ langle {\ vec {L_ {G}}}, {\ frac {\ vec {\ Omega}} {\ sqrt {2E_ {c}}}} \ rangle}

Mivel ez az egyenlet a következőkre egyszerűsödik: ${\ displaystyle \ langle {\ vec {L_ {G}}}, {\ vec {\ Omega}} \ rangle = 2E_ {c}}$

{\ displaystyle \ langle {\ vec {L_ {G}}}, {\ vec {u}} \ rangle = {\ sqrt {2E_ {c}}}}

$E_c$ és mivel állandó, egy síkról szól, amely rögzített marad a mozgás során. E sík és a pillanatnyi forgástengelyhez tartozó tehetetlenségi ellipszoid érintkezési pontja, pillanatnyi sebessége nulla, ami azt jelenti, hogy a tehetetlenségi ellipszoid a rögzített síkon csúszik anélkül, hogy elcsúszik (P). Az érintkezési pont nyomát a síkban (P) herpolódianak nevezzük (azt is demonstrálhatjuk, hogy ennek a görbének nincs inflexiós pontja). ${\ displaystyle {\ vec {L_ {G}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ vec {\ Omega}} {\ sqrt {2E_ {c}}}}}$

Megjegyzések és hivatkozások

Landau 1994 , p. 164-165
J.-P. Pérez, mechanika, alapítványok és alkalmazások , Párizs / Milánó / Barcelona, Masson,1997, 678 p. ( ISBN 2-225-82916-0 ) , p. 380-382
Bruhat 1967 , p. 209
Landau 1994 , p. 176.
Landau 1994 , p. 180
Landau 1994 , p. 181
Bruhat 1967 , p. 207-208

Lásd is

Bibliográfia

G. Bruhat, Általános fizika, mechanika tanfolyam , Masson & Cie,1967
L. Landau és E. Lifchitz, elméleti fizika, mechanika , ellipszis ,1994
Louis Poinsot, A test forgásának új elmélete , Bachelier, Párizs,1851

Kapcsolódó cikkek

Külső linkek

Michèle Audin, „ Integrable ou pas ” , amelynek egy másik változata: Michèle Audin, „ Les caprices du satellite ”, Pour la Science , n o 317,1 st március 2004( online olvasás )