Muller módszere
A matematika , Müller eljárás egy algoritmust találni egy nulla függvény , amely alapján a szelőmódszer helyett egy másodfokú közelítése részét a funkciót, hanem lineáris megközelítése. Ez gyorsabb konvergenciát kínál, mint a szekund módszer. Ennek a módszernek az a sajátossága, hogy a kutatásból eredő jelölt összetetté válhat .
A módszer, a metódus
A szelőmódszer meghatározza a kiújulás kapcsolatban alapuló lineáris interpoláció két pont között. Muller módszere kvadratikus jellege miatt három pontot igényel. Így pózolunk:
q=xnem-xnem-1xnem-1-xnem-2{\ displaystyle q = {\ frac {x_ {n} -x_ {n-1}} {x_ {n-1} -x_ {n-2}}}}![{\ displaystyle q = {\ frac {x_ {n} -x_ {n-1}} {x_ {n-1} -x_ {n-2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/325e712814f103f927d4171db92d4209f3a8c5a7)
Ezután három kifejezést határozunk meg:
NÁL NÉL=qf(xnem)-q(1+q)f(xnem-1)+q2f(xnem-2) {\ displaystyle A = qf (x_ {n}) - q (1 + q) f (x_ {n-1}) + q ^ {2} f (x_ {n-2}) ~}
B=(2q+1)f(xnem)-(1+q)2f(xnem-1)+q2f(xnem-2) {\ displaystyle B = (2q + 1) f (x_ {n}) - (1 + q) ^ {2} f (x_ {n-1}) + q ^ {2} f (x_ {n-2} ) ~}
VS=(1+q)f(xnem) {\ displaystyle C = (1 + q) f (x_ {n}) ~}
Ennek a módszernek a megismétlődési viszonyát végül az adja:
xnem+1=xnem-(xnem-xnem-1)2VSmax(B±B2-4NÁL NÉLVS) {\ displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n} - (x_ {n} -x_ {n-1}) {\ frac {2C} {\ max {(B \ pm {\ sqrt {B ^ {2 } -4AC}})}}} ~}![{\ displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n} - (x_ {n} -x_ {n-1}) {\ frac {2C} {\ max {(B \ pm {\ sqrt {B ^ {2 } -4AC}})}}} ~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c88a16862f829f8b6c0697661d666388400ac59)
Az inicializáláshoz 3 x 0 , x 1 és x 2 pontra van szükség , amelyek lehetőség szerint közel állnak a keresett megoldáshoz.
Konvergencia sebesség
A Muller-módszer konvergencia-aránya megközelítőleg 1,84, szemben a szekáns módszer 1,62-vel , a Newton-Raphson-módszer esetében pedig 2 .
Pontosabban, ha ξ az f egyszerű gyöke (tehát f (ξ) = 0 és f '(ξ) ≠ 0), akkor f háromszor folyamatosan differenciálható, és hogy az x 0 , x 1 és x 2 kiindulási pontok kellően közel kerülnek a ξ-hez, akkor az iterációk ellenőrzik
limk→∞|x-xk||x-xk-1|o=|f‴(ξ)6.f′(ξ)|(o-1)/2,{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} {\ frac {| x-x_ {k} |} {| x-x_ {k-1} | ^ {p}}} = \ balra | {\ frac {f '' '(\ xi)} {6f' (\ xi)}} \ jobbra | ^ {(p-1) / 2},}![{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} {\ frac {| x-x_ {k} |} {| x-x_ {k-1} | ^ {p}}} = \ balra | {\ frac {f '' '(\ xi)} {6f' (\ xi)}} \ jobbra | ^ {(p-1) / 2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b913d6d46aef3224d0cc375018fa8d0230cf7bd)
ahol p ≈ 1,84 a pozitív gyök .
x3-x2-x-1=0{\ displaystyle x ^ {3} -x ^ {2} -x-1 = 0}![{\ displaystyle x ^ {3} -x ^ {2} -x-1 = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af6561cafad2aa1ea9b257da16a7170d2f172f28)
Hivatkozások
- David E. Muller, Módszer algebrai egyenletek megoldására automatikus számítógép segítségével , Math. Comp. 10 (1956), 208-215 [PDF]
- Kendall E. Atkinson, Bevezetés a numerikus elemzésbe , 2. d kiadás, 1988, 2.4. Szakasz. John Wiley & Sons, New York. ( ISBN 0-471-50023-2 ) .
- RL Burden, JD Faires, numerikus elemzés , 4. kiadás, 77. o.
- William H. Press és mtsai. Numerikus receptek a Fortran 77-ben: A tudományos számítástechnika művészete , 2. d kiadás, 1992, 364. oldal. ( ISBN 0-521-43064-X ) .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">