Euleri-szám
A matematika , és pontosabban kombinatorikus elemzés , a Euler-számot A ( n , m ), az a szám, permutációk egész számok 1-től N , melyek pontosan m elemek nagyobbak, mint az előző elem (permutációk a m „szerelt”) . Az euleri számok az euleri polinomok együtthatói :
NÁL NÉLnem(x)=∑m=0nemNÁL NÉL(nem,m) xm(NÁL NÉL1=NÁL NÉL2=1,NÁL NÉL2=1+x,NÁL NÉL3=1+4x+x2,...){\ displaystyle A_ {n} (X) = \ sum _ {m = 0} ^ {n} A (n, m) \ X ^ {m} (A1 = A2 = 1, A2 = 1 + X, A3 = 1 + 4X + X ^ {2}, ...)}![{\ displaystyle A_ {n} (X) = \ sum _ {m = 0} ^ {n} A (n, m) \ X ^ {m} (A1 = A2 = 1, A2 = 1 + X, A3 = 1 + 4X + X ^ {2}, ...)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee4fa145f1780542bb912f58eabca7180af0cf5c)
Ezek a polinomok a szekvencia generátorfüggvényéhez kapcsolt kifejezések számlálójában jelennek meg .
1nem, 2nem, 3nem, ...{\ displaystyle \ scriptstyle 1 ^ {n}, \ 2 ^ {n}, \ 3 ^ {n}, \ \ dots}![\ scriptstyle 1 ^ {n}, \ 2 ^ {n}, \ 3 ^ {n}, \ \ pont](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25e3f586bc572d61fd8ada5ab8c164afcc5da7c2)
Ezek a számok az OEIS A008292 kódját követik .
Az A ( n , m ) egyéb jelölései: E ( n , m ) és⟨nemm⟩.{\ displaystyle \ left \ langle {n \ atop m} \ right \ rangle.}
Történelmi
1755-ben, a könyvében Institutiones calculi differentialis , Leonhard Euler tanulmányozta a polinomok α 1 ( x ) = 1, α 2 ( X ) = x + 1, α 3 ( x ) = x 2 + 4 x + 1, stb (lásd a szemközti faxot). Ezek a polinomok az A n ( x ) euleri polinomjaink eltolt formája .
A binomiális együtthatók jelölésével és a Stirling-számok analógiájával, és a jelölést Donald Knuth javasolta 1968-ban a The Art of Computer Programming című cikkben .
(nemk){\ displaystyle \ left ({n \ atop k} \ right)}
[nemk]{\ displaystyle \ left [{n \ atop k} \ right]}
{nemk},{\ displaystyle \ left \ {{n \ at k} \ right \},}
⟨nemm⟩{\ displaystyle \ left \ langle {n \ atop m} \ right \ rangle}![\ left \ langle {n \ atop m} \ right \ rangle](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d78efb5dbfe204923c1826512c91cc9366663584)
Elemi tulajdonságok
Egy adott n > 0, az index m a A ( n , m ) között lehet 0 és n - 1 rögzített n , csak egy permutáció nélkül emelkedik, a csökkenő permutációs ( N , N - 1, N - 2, ..., 1). Van egyetlen permutáció is, amelynek n - 1 emelkedik, azonos (vagy emelkedő) permutációja van (1, 2, 3, ..., n ). Így A ( n , 0) = A ( n , n - 1) = 1 minden n esetében .
Egy m emelkedéssel rendelkező permutáció megfordítása újabb permutációt hoz létre, amelynek n - m - 1 emelkedése van; így
A ( n , m ) = A ( n , n - m - 1).
Az A ( n , m ) értéke "kézzel" kiszámítható n és m kis értéke esetén . például
nem
|
m
|
Permutációk
|
A ( n , m )
|
---|
1
|
0
|
(1)
|
A (1,0) = 1
|
2
|
0
|
(2, 1)
|
A (2,0) = 1
|
1
|
(1, 2 )
|
A (2,1) = 1
|
3
|
0
|
(3, 2, 1)
|
A (3,0) = 1
|
1
|
(1, 3 , 2) (2, 1, 3 ) (2, 3 , 1) (3, 1, 2 )
|
A (3,1) = 4
|
2
|
(1, 2 , 3 )
|
A (3,2) = 1
|
Nagyobb n értékek esetén A ( n , m ) kiszámítható a megismétlődés relációjával
NÁL NÉL(nem,m)=(nem-m)NÁL NÉL(nem-1,m-1)+(m+1)NÁL NÉL(nem-1,m).{\ displaystyle A (n, m) = (nm) A (n-1, m-1) + (m + 1) A (n-1, m).}![A (n, m) = (nm) A (n-1, m-1) + (m + 1) A (n-1, m).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccdd4fe49eee8af9641280cd4cbd5342381f8a06)
például
NÁL NÉL(4,1)=(4-1)NÁL NÉL(3,0)+(1+1)NÁL NÉL(3,1)=3×1+2×4=11.{\ displaystyle A (4,1) = (4-1) A (3,0) + (1 + 1) A (3,1) = 3-szor 1 + 2-szer 4 = 11-szer![A (4,1) = (4-1) A (3,0) + (1 + 1) A (3,1) = 3-szor 1 + 2-szer 4 = 11.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/228458c2f59f5c1dc8ff853074a21b9984e65da1)
Az értékek egy ( n , m ) 0 ≤ n ≤ 9 (ez a folytatása A008292 a OEIS-ben ) a következők:
n \ m
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5.
|
6.
|
7
|
8.
|
---|
0
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
---|
1
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
---|
2
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
---|
3
|
1 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
---|
4
|
1 |
11. |
11. |
1 |
|
|
|
|
|
---|
5.
|
1 |
26. |
66 |
26. |
1 |
|
|
|
|
---|
6.
|
1 |
57 |
302 |
302 |
57 |
1 |
|
|
|
---|
7
|
1 |
120 |
1191 |
2416 |
1191 |
120 |
1 |
|
|
---|
8.
|
1 |
247 |
4293 |
15619 |
15619 |
4293 |
247 |
1 |
|
---|
9.
|
1 |
502 |
14608 |
88234 |
156190 |
88234 |
14608 |
502 |
1
|
---|
Ezt a háromszög alakú táblázatot Euler-háromszögnek hívják , és Pascal háromszögének néhány jellemzője megvan . Az n- edik sor összege az összes permutáció száma, vagy a faktoriális n !
Kifejezett képlet
Egy explicit formulát az A ( n , m ) van
NÁL NÉL(nem,m)=∑k=0m(-1)k(nem+1k)(m+1-k)nem.{\ displaystyle A (n, m) = \ sum _ {k = 0} ^ {m} (- 1) ^ {k} {\ binom {n + 1} {k}} (m + 1-k) ^ {nem}.}![A (n, m) = \ összeg _ {{k = 0}} ^ {{m}} (- 1) ^ {k} {\ binom {n + 1} {k}} (m + 1-k) ^ {n}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39dc5112ad6f6234f01f6c299403f757aad20679)
Összegszámítások
Kombinatorikus definíciójuk szerint az n értékre adott Euler-számok összege az 1-től n- ig terjedő egészek permutációinak teljes száma , ezért
∑m=0nem-1NÁL NÉL(nem,m)=nem!.{\ displaystyle \ sum _ {m = 0} ^ {n-1} A (n, m) = n!.}![\ sum _ {{m = 0}} ^ {{n-1}} A (n, m) = n!](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24504e893d28bc3c6a6d394a2e9f965b9d18705f)
A váltakozó összege az Euler számok egy adott értéke n kapcsolódik a Bernoulli szám B n +1
∑m=0nem-1(-1)mNÁL NÉL(nem,m)=2nem+1(2nem+1-1)Bnem+1nem+1.{\ displaystyle \ sum _ {m = 0} ^ {n-1} (- 1) ^ {m} A (n, m) = {\ frac {2 ^ {n + 1} (2 ^ {n + 1 } -1) B_ {n + 1}} {n + 1}}.}![\ sum _ {{m = 0}} ^ {{n-1}} (- 1) ^ {{m}} A (n, m) = {\ frac {2 ^ {{n + 1}} (2 ^ {{n + 1}} - 1) B _ {{n + 1}}} {n + 1}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0393782fe74493f1d2f0c4927229a12d84e65c6)
Itt vannak más összegző képletek:
∑m=0nem-1(-1)mNÁL NÉL(nem,m)(nem-1m)=0,{\ displaystyle \ sum _ {m = 0} ^ {n-1} (- 1) ^ {m} {\ frac {A (n, m)} {\ binom {n-1} {m}}} = 0,}
∑m=0nem-1(-1)mNÁL NÉL(nem,m)(nemm)=(nem+1)Bnem,{\ displaystyle \ sum _ {m = 0} ^ {n-1} (- 1) ^ {m} {\ frac {A (n, m)} {\ binom {n} {m}}} = (n +1) B_ {n},}![\ sum _ {{m = 0}} ^ {{n-1}} (- 1) ^ {m} {\ frac {A (n, m)} {{\ binom {n} {m}}}} = (n + 1) B _ {{n}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca7cb15669c15313b12c6b1ac7b57bc3ac151c04)
ahol B n az n- edik Bernoulli-szám .
Identitás
∑k=1∞knemxk=∑m=0nem-1NÁL NÉL(nem,m)xm+1(1-x)nem+1=xNÁL NÉLnem(x)(1-x)nem+1.{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} k ^ {n} x ^ {k} = {\ frac {\ sum _ {m = 0} ^ {n-1} A (n, m ) x ^ {m + 1}} {(1-x) ^ {n + 1}}} = {\ frac {xA_ {n} (x)} {(1-x) ^ {n + 1}}} .}
xnem=∑m=0nem-1NÁL NÉL(nem,m)(x+mnem).{\ displaystyle x ^ {n} = \ sum _ {m = 0} ^ {n-1} A (n, m) {\ binom {x + m} {n}}.}![x ^ {n} = \ sum _ {{m = 0}} ^ {{n-1}} A (n, m) {\ binom {x + m} {n}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/461ce6f7dc10f96150e5aae82618eec003224191)
- Egy másik figyelemre méltó identitást az átalakítás nyer:
ek=∑nem=0∞knemnem!{\ displaystyle e ^ {k} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {k ^ {n}} {n!}}}
(xk)(ek)=∑nem=0∞(xk)(knem)nem!{\ displaystyle (x ^ {k}) (e ^ {k}) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(x ^ {k}) (k ^ {n})} {nem!}}}
∑k=1∞(xk)(ek)=∑k=1∞∑nem=0∞(xk)(knem)nem!{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} (x ^ {k}) (e ^ {k}) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(x ^ {k}) (k ^ {n})} {n!}}}![\ összeg _ {{k = 1}} ^ {\ infty} (x ^ {k}) (e ^ {k}) = \ összeg _ {{k = 1}} ^ {\ infty} \ összeg _ {{ n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(x ^ {k}) (k ^ {n})} {n!}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9031694c45f4a0846ce9e2ae13a2d16730eae1d)
Ugyanis a bal oldali kifejezések konvergens geometriai sorozatot alkotnak, a jobb oldali kifejezések pedig pozitívak; ezért kicserélhetjük az idézést. Az előző identitás felhasználásával a következőket kapjuk:
0≤x<1/e{\ displaystyle 0 \ leq x <{1} / {e}}
∑k=1∞(xe)k=∑k=1∞∑nem=0∞(xk)(knem)nem!{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} (xe) ^ {k} = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(x ^ {k}) (k ^ {n})} {n!}}}
ex1-ex=∑nem=0∞∑k=1∞(xk)(knem)nem!=∑nem=0∞∑m=0nemNÁL NÉL(nem,m)xm+1nem!(1-x)nem+1{\ displaystyle {\ frac {ex} {1-ex}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(x ^ { k}) (k ^ {n})} {n!}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sum _ {m = 0} ^ {n} A (n, m) x ^ {m + 1}} {n! (1-x) ^ {n + 1}}}}![{\ frac {ex} {1-ex}} = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} \ sum _ {{k = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {(x ^ {k}) (k ^ {n})} {n!}} = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {\ sum _ {{m = 0}} ^ {{ n}} A (n, m) x ^ {{m + 1}}} {n! (1-x) ^ {{n + 1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9aac527ded4685340b627b8917f421a045975f4)
Végül azért , mert van
0≤x<1/e{\ displaystyle 0 \ leq x <{1} / {e}}
e1-ex=∑nem=0∞∑m=0nemNÁL NÉL(nem,m)xmnem!(1-x)nem+1.{\ displaystyle {\ frac {e} {1-ex}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sum _ {m = 0} ^ {n} A (n, m ) x ^ {m}} {n! (1-x) ^ {n + 1}}}.}![{\ frac {e} {1-ex}} = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {\ sum _ {{m = 0}} ^ {{n}} A ( n, m) x ^ {{m}}} {n! (1-x) ^ {{n + 1}}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2d6170847b660db41e750e06f5c2375ecadba60)
A jobb oldali számláló összege az Euler-polinomok összege.
- Figyelemre méltó valószínűségi azonosság lehetővé teszi, hogy egyszerűen bemutassuk a véletlenszerűen megrajzolt permutáció emelkedéseinek számára vonatkozó központi határtételt. Ha az egységes iid véletlen változók sorozata meghaladja a [0,1] értéket, és ha (U1,U2,...,Unem) {\ displaystyle \ scriptstyle \ (U_ {1}, U_ {2}, \ pontok, U_ {n}) \}
Snem=∑k=1nemUk,xnem=⌊Snem⌋,{\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} U_ {k}, \ quad X_ {n} = \ bal \ lfloor S_ {n} \ right \ rfloor,}![S_ {n} = \ összeg _ {{k = 1}} ^ {n} U_ {k}, \ quad X_ {n} = \ bal \ lfloor S_ {n} \ right \ rfloor,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36a2870b38af86e929724ff91d740c528b92ab12)
így
P(k≤Snem<k+1)=P(xnem=k) =NÁL NÉL(nem,k)nem!.{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (k \ leq S_ {n} <k + 1 \ right) = \ mathbb {P} \ left (X_ {n} = k \ right) \ = {\ frac {A (n, k)} {n!}}.}
A második fajta euleri számok
Az olyan multiset permutációk száma , amelyek mindegyik k esetében a k két előfordulása közötti összes szám nagyobb, mint k , a 2 n -1- ig terjedő páratlan egészek szorzata (néha a (2 n -1) dupla tényezőjének nevezik . és megjegyeztük (2 n- 1) !!); van .
{1,1,2,2,⋯,nem,nem}{\ displaystyle \ {1,1,2,2, \ cdots, n, n \}}
(2nem-1)!!=∏k=1nem(2k-1)=(2nem)!2nemnem!{\ displaystyle (2n-1) !! = \ prod _ {k = 1} ^ {n} (2k-1) = {\ frac {(2n)!} {2 ^ {n} n!}}}![(2n-1) !! = \ prod _ {{{{k = 1}}} ^ {n} (2k-1) = {\ frac {{{(2n)!}} {{2 ^ {n} n !}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dd85be2f5bf97f6548cd5633da020877be6153d)
A megjegyzett második fajta euleri-szám megszámolja mindezen permutációk számát, amelyeknek pontosan m emelkedése van. Például n = 3 esetén 3 van !! = 15 ilyen típusú permutáció, egy emelkedés nélkül, 8 egy emelkedéssel és 6 két emelkedéssel:
⟨⟨nemm⟩⟩,{\ displaystyle \ left \ langle \! \! \ left \ langle {n \ atop m} \ right \ rangle \! \! \ right \ rangle,}![\ bal \ langle \! \! \ bal \ langle {n \ tetején m} \ jobb \ rangle \! \! \ right \ rangle,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b09089e178cc2805db760e3de8be9aef9f71180)
332211,{\ displaystyle 332211, \;}
221133,221331,223311,233211,113322,133221,331122,331221,{\ displaystyle 221133, \; 221331, \; 223311, \; 233211, \; 113322, \; 133221, \; 331122, \; 331221,}
112233,122133,112332,123321,133122,122331.{\ displaystyle 112233, \; 122133, \; 112332, \; 123321, \; 133122, \; 122331.}
Ebből a meghatározásból könnyen kiderül, hogy a számok kielégítik az ismétlődést:
⟨⟨nemm⟩⟩{\ displaystyle \ left \ langle \! \! \ left \ langle {n \ atop m} \ right \ rangle \! \! \ right \ rangle}![\ bal \ langle \! \! \ bal \ langle {n \ tetején m} \ jobb \ rangle \! \! \ right \ rangle](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16edd7fd5d6e34eced646d1df93d8c3a553bdba9)
⟨⟨nemm⟩⟩=(2nem-m-1)⟨⟨nem-1m-1⟩⟩+(m+1)⟨⟨nem-1m⟩⟩,{\ displaystyle \ left \ langle \! \! \ left \ langle {n \ atop m} \ right \ rangle \! \! \ right \ rangle = (2n-m-1) \ left \ langle \! \! \ bal \ langle {{n-1} \ tetején {m-1}} \ jobb \ rangle \! \! \ right \ rangle + (m + 1) \ left \ langle \! \! \ left \ langle {{n -1} \ tetején {m}} \ jobb \ rangle \! \! \ Right \ rangle,}![\ left \ langle \! \! \ left \ langle {n \ atop m} \ right \ rangle \! \! \ right \ rangle = (2n-m-1) \ left \ langle \! \! \ left \ langle {{n-1} \ tetején {m-1}} \ jobb \ rangle \! \! \ right \ rangle + (m + 1) \ left \ langle \! \! \ left \ langle {{n-1} \ tetején {m}} \ jobb \ rangle \! \! \ right \ rangle,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b132d94463c58098348e849a35f08cfafafca0a8)
a kezdeti feltételekkel:
⟨⟨0m⟩⟩=0 {\ displaystyle \ left \ langle \! \! \ left \ langle {0 \ atop m} \ right \ rangle \! \! \ right \ rangle = 0 \}![\ bal \ langle \! \! \ bal \ langle {0 \ tetején m} \ jobb \ rangle \! \! \ right \ rangle = 0 \](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76617eb5d5909b472d8b2a576ab2bb2f65598122)
az m > 0, és .
⟨⟨00⟩⟩=1{\ displaystyle \ left \ langle \! \! \ left \ langle {0 \ atop 0} \ right \ rangle \! \! \ right \ rangle = 1}![\ left \ langle \! \! \ left \ langle {0 \ atop 0} \ right \ rangle \! \! \ right \ rangle = 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f345de858fa17a956643fd3b3baf9183ab92a07f)
Megfelelővé tesszük őket az itt megemlített második típusú euleri polinomokkal :
Pnem{\ displaystyle P_ {n}}![P_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5949c8b1de44005a1af3a11188361f2a830842d1)
Pnem(x): =∑nem=0nem⟨⟨nemm⟩⟩xm{\ displaystyle P_ {n} (x): = \ sum _ {n = 0} ^ {n} \ left \ langle \! \! \ left \ langle {n \ atop m} \ right \ rangle \! \! \ right \ rangle x ^ {m}}![P_ {n} (x): = \ sum _ {{n = 0}} ^ {n} \ bal \ langle \! \! \ Bal \ langle {n \ atop m} \ jobb \ rangle \! \! \ jobb \ rangle x ^ {m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1e3d77df8dc7f92c6881af28cfef5f70df6caf8)
;
az előző ismétlődési összefüggésekből arra következtettünk, hogy a P n (x) kielégíti az összefüggést:
Pnem+1(x)=(2nemx+1)Pnem(x)-x(x-1)Pnem′(x){\ displaystyle P_ {n + 1} (x) = (2nx + 1) P_ {n} (x) -x (x-1) P_ {n} ^ {\ prime} (x)}![P _ {{n + 1}} (x) = (2nx + 1) P_ {n} (x) -x (x-1) P_ {n} ^ {\ prime} (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7ec815e20b566d723d4d8b0e6fe38fb01c3d73a)
, val vel
P0(x)=1.{\ displaystyle P_ {0} (x) = 1.}
Átírhatjuk:
(x-1)-2nem-2Pnem+1(x)=(x(1-x)-2nem-1Pnem(x))′{\ displaystyle (x-1) ^ {- 2n-2} P_ {n + 1} (x) = \ bal (x (1-x) ^ {- 2n-1} P_ {n} (x) \ jobb ) ^ {\ prime}}![(x-1) ^ {{- 2n-2}} P _ {{n + 1}} (x) = \ balra (x (1-x) ^ {{- 2n-1}} P_ {n} ( x) \ right) ^ {\ prime}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f594a526e10c2a9c357333470a2d8ccaaf1cc84d)
;
így a racionális funkció
unem(x): =(x-1)-2nemPnem(x){\ displaystyle u_ {n} (x): = (x-1) ^ {- 2n} P_ {n} (x)}![u_ {n} (x): = (x-1) ^ {{- 2n}} P _ {{n}} (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b218385d7f20220ec0221e60ae63af08d16490)
elégedett:
unem+1=(x1-xunem)′,u0=1,{\ displaystyle u_ {n + 1} = \ balra ({\ frac {x} {1-x}} u_ {n} \ jobbra) ^ {\ prime} \ quad, u_ {0} = 1,}![u _ {{n + 1}} = \ balra ({\ frac {x} {1-x}} u_ {n} \ jobbra) ^ {\ prime} \ quad, u_ {0} = 1,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72296009dc2419dcdbc0f053333617ab145a9564)
amelyből P n (x) = (1-x) 2n u n (x) alakban levezetjük a polinomokat ; akkor a második fajta Euler-számok, amelyek együtthatók.
Íme ezeknek a számoknak néhány értéke ( az OEIS A008517 után )
n \ m
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5.
|
6.
|
7
|
8.
|
---|
0
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
---|
1
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
---|
2
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
---|
3
|
1 |
8. |
6. |
|
|
|
|
|
|
---|
4
|
1 |
22. |
58 |
24. |
|
|
|
|
|
---|
5.
|
1 |
52 |
328 |
444 |
120 |
|
|
|
|
---|
6.
|
1 |
114. |
1452 |
4400 |
3708 |
720 |
|
|
|
---|
7
|
1 |
240 |
5610 |
32120 |
58140 |
33984 |
5040 |
|
|
---|
8.
|
1 |
494 |
19950 |
195800 |
644020 |
785304 |
341136 |
40320 |
|
---|
9.
|
1 |
1004 |
67260 |
1062500 |
5765500 |
12440064 |
11026296 |
3733920 |
362880
|
---|
Az n- edik sor összege P n (1) = (2n-1) !!.
Kapcsolódó cikkek
Megjegyzések és hivatkozások
Megjegyzések
-
lásd (a) S. Tanny , " A valószínűségi értelmezése Euler számok " , Duke Math. J. , vol. 40,1973, P. 717-722vagy (en) RP Stanley , „ Egységes hiperkocka euleri partíciói ” , Higher Combinatorics , Dordrecht, M. Aigner, szerk., Reidel,1977.
Hivatkozások
-
(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia " Eulerian-szám " című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .
-
(la) Leonhard Euler , Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum (Differenciálszámítás megalapozása , a véges elemzéshez és a sorozatokhoz való alkalmazásokkal) , vol. II., Academia imperialis scientiarum Petropolitana ,1755( online olvasható ) , fej. VII
-
(en) Ronald Graham , Donald Knuth és Oren Patashnik , Konkrét matematika : Alapítvány a számítástechnikához , 1994 (második kiadás), Addison-Wesley, p. 267–272
Külső linkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">