Egészen törékeny
A számelméletben a törékeny vagy sima szám természetes szám, amelynek elsődleges tényezőinek halmaza kicsi, egy adott kötéshez viszonyítva.
A törékeny egész számok különösen fontosak a faktorizáláson alapuló rejtjelezésben , amely húsz éve dinamikus ága a számelméletnek , olyan területeken alkalmazva, mint az algoritmika (diszkrét logaritmusprobléma), az összegezhetőség elmélete ( a Fourier-sorok törékeny összegzése ), az elemi elmélete prímszámok (elemi bizonyítéka a prímszám-tétel a Daboussi 1984-ben), a kör módszer ( probléma Waring ), modell Billingsley, a Kubilius modell (en) , Turán-Kubilius egyenlőtlenség (en) , Erdős - Wintner típus tételek stb.
Terminológia
A sima kifejezést az 1980-as évek elején Ronald Linn Rivest amerikai kriptológus javasolja angolul . A törékeny kifejezést , amely azt jelzi, hogy egy tárgy apró darabkákra bontható, ezt javasolja Jacques Balazard politechnikus mérnök, a Simone Balazard író és Michel Balazard matematikus apja. Fokozatosan rákényszerítette magát az összes francia és az angol nyelvű irodalomra.
Meghatározás
A szigorúan pozitív egész szám mondják B-morzsalékos , vagy a B-sima , ha az összes elsődleges tényező van, vagy az alatt a B .
Például a 72 900 000 000 = 2 8 × 3 6 × 5 8 töredékes, mert egyik fő tényezője sem haladja meg az 5 értéket.
Ebben a definícióban B nem feltétlenül a B -törékeny egész szám elsődleges tényezője : a 12 5-es törékeny vagy 5-sima, még akkor is, ha az 5 nem 12-es tényező. A B számnak sem kell elsőnek lennie.
Osztály
Szerint Hildebrand- Tenenbaum , az összes , a szám az y -friable egészek nem haladó x kielégíti
ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}Ψ(x,y){\ displaystyle \ Psi (x, y)}
(∗)Ψ(x,y)=xϱ(u)expO(R){\ displaystyle (*) \ qquad \ Psi (x, y) = x \ varrho (u) \ exp {O (R)} \;}amint , hol
, és
y>(naplóx)1+ε{\ displaystyle y> (\ log x) ^ {1+ \ varepsilon}}u: =(naplóx)/naplóy{\ displaystyle u: = (\ log x) / \ log y}
R: =(napló(u+1))/naplóy+uexp(-(naplóy)3/5.-ε).{\ displaystyle R: = (\ log (u + 1)) / \ log y + u \ exp (- (\ log y) ^ {3 / 5- \ varepsilon}).}Ez különösen azt jelenti
(∗∗)Ψ(x,y)={1+o(1)}xϱ(u){\ displaystyle (**) \ qquad \ Psi (x, y) = \ {1 + o (1) \} x \ varrho (u) \;}ha , ahol a Dickman-függvényt jelöli .
Sőt, Hildebrand bebizonyította, hogy a képlet érvényes a mezőben
y>exp(naplónaplóx)5./3+ϵ{\ displaystyle y> \ exp (\ log \ log x) ^ {5/3 + \ epsilon}}ϱ{\ displaystyle \ varrho}
Ψ(x,y)=xρ(u)exp{O(1)}{\ displaystyle \ Psi (x, y) = x \ rho (u) \ exp \ {O (1) \}}
y>(naplóx)2+ε{\ displaystyle y> (\ log x) ^ {2+ \ varepsilon}}csak akkor, ha a Riemann-hipotézis igaz.
Rendkívül megbízható egész
Egy számot B- szuperlisnek vagy B- sokszorozhatónak nevezünk, ha a p n alak összes osztója , ahol p pr és n egész szám kisebb, vagy egyenlő B-vel .
Például a 720 (2 4 3 2 5 1 ) 5-sima, de nem 5-ultralisse (mert az elsődleges osztói nagyobbak, mint 5: 3 2 = 9> 5 vagy 2 3 > 5). Másrészt 16-ultralisse, mivel a legnagyobb elsődleges osztója 2 4 = 16. Ez a szám természetesen szintén 17-ultralisse, 18-ultralisse stb.
Rendkívül megbízható számokat használnak algoritmusokban , gráfelméletben és természetesen a számelméletben .
Megjegyzések és hivatkozások
(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket
angolul című
„ Smooth szám ” ( lásd a szerzők listáját ) .
-
R. de la Bretèche és G. Tenenbaum , " Trigonometrikus sorok aritmetikai együtthatókkal ", Journal of Mathematical Analysis (nl) , vol. 92,2004, P. 1-79.
-
Vö. Tenenbaum és Mendès France 2013 .
-
"A" sima szám "kifejezést olyan szám kijelölésére használtam, amelynek csak kis prímtényezői vannak. Nem igazán emlékszem, hogyan gondoltam rá, azon kívül, hogy a "sima" teljesen ellentétes a "rögössel". " (Ronald Rivest, idézi a Tenenbaum, a Words and Math és a Mathenflow-ban említett matematikai folyamatokat ).
-
Gérald Tenenbaum , szavak és matematika , Párizs, Odile Jacob,2019, 215 p. ( ISBN 978-2-7381-4900-8 ) , p. 80-81
-
(in) A. Hildebrand és G. Tenenbaum : " Mi egész számok prémium szintű tényezőktől mentesek " , Ford. Keserű. Math. Soc. , vol. 296,1986, P. 265-290(lásd még Tenenbaum 2015 ).
-
(in) A. Hildebrand : " Prémium tényezőktől mentes egész számok és a Riemann-hipotézis " , Mathematika , vol. 31,1984, P. 258-271.
Lásd is
Külső linkek
Y-törtrészszámok szekvenciája az egész számok szekvenciájának online enciklopédiájában :
- Két törékeny szám: A000079 (2 i )
- 3 törékeny szám: A003586 (2 i 3 j )
- 5 törékeny szám: A051037 (2 i 3 j 5 k )
- 7 törékeny számok: A002473 (2 i 3 j 5 k 7 l )
- 11 törékeny számok: A051038
- 13 törékeny szám: A080197
- 17 törékeny számok: A080681
- 19 törékeny számok: A080682
- 23 törékeny számok: A080683 (stb.)
Kapcsolódó cikkek
Bibliográfia
-
Gérald Tenenbaum , Bevezetés az analitikus és valószínűségi számelméletbe , Párizs, Belin,2015, 592 p. ( ISBN 978-2-7011-9656-5 ).
- Gérald Tenenbaum és Michel Mendès France , miniszterelnökök, a rend és a káosz között , Dunod,2013( ISBN 978-2-10-070656-3 és 2-10-070656-X )