Laplace-Beltrami operátor
Az üzemeltető Laplace - Beltrami általánosítása az üzemeltető Laplace a Riemann . A definícióból indulunk ki , és visszahívunk minket, hogy meghatározzuk a divergenciát és a gradienst a Riemann-féle keretek között .
Δ=dénv grnál néld{\ displaystyle \ Delta = \ mathrm {div} \ \ mathrm {grad}}
Figyelem : Ebben a cikkben az Einstein összegzési konvenciót használjuk . Még akkor is, ha az összegjelet nem hagyjuk ki, a fegyelmet csak az összegzésnek vetjük alá egy olyan indexhez viszonyítva, amely mind az alsó, mind a felső pozícióban van.
A térfogat alakjához kapcsolódó divergencia
Egy orientálható differenciálcsatornán a divergencia természetesen összefügg a térfogat alakjával . Ha ilyen forma van, akkor bármely más maximális fokú formát egyedi módon írunk
, hol van egy függvény. Ez vonatkozik a Lie-származék a
tekintetében egy vektor mező . A divergencia a (tekintetében ) az egyetlen függvény, hogy
.
M{\ displaystyle M} ω{\ displaystyle \ omega}fω{\ displaystyle f \ omega}f{\ displaystyle f}ω{\ displaystyle \ omega} x{\ displaystyle X}x{\ displaystyle X}ω{\ displaystyle \ omega}Lxω=(dénvωx)ω{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} \ omega = (\ mathrm {div} _ {\ omega} X) \ omega}
A képlet szerint megvan
. Szerint tehát a Stokes képlet, hogy ha
van kompakt támogatott ,
Lx=d∘énx+énx∘d{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} = d \ circ i_ {X} + i_ {X} \ circ d}Lxω=d(énxω){\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} \ omega = \ mathrm {d} (i_ {X} \ omega)}x{\ displaystyle X}
∫M(dénvωx)ω=∫Md(énxω)=0{\ displaystyle \ int _ {M} (\ mathrm {div} _ {\ omega} X) \ omega = \! \ int _ {M} \ mathrm {d} (i_ {X} \ omega) = 0}Ha helyi koordinátákban írjuk , akkor
ω{\ displaystyle \ omega}θdx1∧⋯∧dxnem{\ displaystyle \ theta \ mathrm {d} x ^ {1} \ wedge \ cdots \ wedge \ mathrm {d} x ^ {n}}
Lxω=(Lxθ)dx1∧⋯∧dxnem+θ∑én=1nemdx1∧⋯∧Lx(dxén)∧⋯∧dxnem{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} \ omega = ({\ mathcal {L}} _ {X} \ theta) \ mathrm {d} x ^ {1} \ wedge \ cdots \ wedge \ mathrm {d} x ^ {n} + \ theta \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {d} x ^ {1} \ wedge \ cdots \ wedge {\ mathcal {L}} _ {X} (\ mathrm {d} x ^ {i}) \ ék \ cdots \ ék \ mathrm {d} x ^ {n}}(mert levezetés).
Lx{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X}}
Ha volt , akkor melyik húzódik , és végül
.
x=∑én=1nemxén∂∂xén{\ displaystyle \ textstyle X = \ sum _ {i = 1} ^ {n} X ^ {i} {\ frac {\ részleges} {\ részleges x ^ {i}}}}Lxdxén=d(Lxxén)=dxén{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} \ mathrm {d} x ^ {i} = \ mathrm {d} ({\ mathcal {L}} _ {X} x ^ {i}) = d \ mathrm {X} ^ {i}}Lxω=(Lxθ)dx1∧⋯∧dxnem+θ∑én=1nem∂xén∂xéndx1∧⋯∧dxnem{\ displaystyle \ textstyle {\ mathcal {L}} _ {X} \ omega = ({\ mathcal {L}} _ {X} \ theta) \ mathrm {d} x ^ {1} \ wedge \ cdots \ wedge \ mathrm {d} x ^ {n} + \ theta \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ részleges X ^ {i}} {\ részleges x ^ {i}}} dx ^ { 1} \ wedge \ cdots \ wedge \ mathrm {d} x ^ {n}}dénvωx=dθ(x)θ+∑én=1nem∂xén∂xén{\ displaystyle \ textstyle \ mathrm {div} _ {\ omega} X = {\ frac {\ mathrm {d} \ theta (X)} {\ theta}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ részleges X ^ {i}} {\ részleges x ^ {i}}}}
Megjegyzés az orientálhatóságról : A kötetforma bevezetése feltételezi az orientálható fajtát. De ha a kötetformát az ellenkezőjére változtatjuk ,
akkor ne változtasson. Valójában a divergencia csak a kapcsolódó sűrűségtől függ . A megjelenéssel ellentétben az orientálhatósági hipotézis haszontalan, valójában helyi orientációt használtak.
ω{\ displaystyle \ omega}dénvωx){\ displaystyle \ mathrm {div} _ {\ omega} X)}ω{\ displaystyle \ omega}
A legfontosabb példa arra a divergenciára, amelyet egy Riemann-metrika kanonikus kötetformája határoz meg .
ds2 = génj(x) dxéndxj{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} \ = \ g_ {ij} (x) \ \ mathrm {d} x ^ {i} \ mathrm {d} x ^ {j}}Helyi koordinátákban . Az előző megjegyzés szerint semmiképpen sem szükséges az irányítható elosztót feltételezni. A meghatározó a gyakran megjegyezte , különösen azok, akik írni a Riemann-metrikát, ez nem túl zavaró.
vg=det(génj)dx1∧⋯∧dxnem{\ displaystyle v_ {g} = {\ sqrt {\ det (g_ {ij})}} \ mathrm {d} x ^ {1} \ wedge \ cdots \ wedge \ mathrm {d} x ^ {n}}génj{\ displaystyle g_ {ij}}g{\ displaystyle g}ds2{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2}}
Színátmenet Riemann-metrikához társítva
A függvény (mondjuk sima) gradiense
az egyedi vektormező, amelyet jelölünk , például
bármely vektormezőhöz . Helyi koordinátákban,
f{\ displaystyle f}∇f{\ displaystyle \ nabla f}g(x,∇f)=df(x){\ displaystyle g (X, \ nabla f) = \ mathrm {d} f (X)}x{\ displaystyle X}
∇f=∑én=1nem(∑j=1nemgénj∂f∂xj)∂∂xén{\ displaystyle \ nabla f = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ balra (\ sum _ {j = 1} ^ {n} g ^ {ij} {\ frac {\ részben f} {\ részleges x ^ {j}}} \ jobbra) {\ frac {\ részleges} {\ részleges x ^ {i}}}}Itt
a metrikus tenzor inverze , amelyet koordinátákkal határoz meg
génj(x){\ displaystyle g ^ {ij} (x)}
génk(x)gkj(x) = δénj{\ displaystyle g_ {ik} (x) g ^ {kj} (x) \ = \ \ delta _ {i} ^ {j}}hol van a Kronecker szimbólum .
δénj{\ displaystyle \ delta _ {i} ^ {j}}
A laplakiai definíció és alapvető tulajdonságok
Meghatározzuk a Laplace-Beltrami operátort másodrendű
differenciál operátorként .
Δf=dénv(∇f){\ displaystyle \ Delta f = \ mathrm {div} (\ nabla f)}
Helyi koordinátákban,
Δ = 1g ∂én[ggénj∂j]{\ displaystyle \ Delta \ = \ {\ frac {1} {\ sqrt {g}}} \ \ részleges _ {i} \ balra [{\ sqrt {g}} g ^ {ij} \ részleges _ {j} \ jobb]}Ha és vannak és kompakt támogatást ajánlunk
f1{\ displaystyle f_ {1}}f2{\ displaystyle f_ {2}}VS2{\ displaystyle C ^ {2}}
∫Mf1Δf2vg=-∫Mg(∇f1,∇f2)vg=∫Mf2Δf1vg{\ displaystyle \ int _ {M} f_ {1} \ Delta f_ {2} v_ {g} = - \ int _ {M} g (\ nabla f_ {1}, \ nabla f_ {2}) v_ {g } = \ int _ {M} f_ {2} \ Delta f_ {1} v_ {g}}Ennek megtekintéséhez észrevesszük, hogy ha egy függvény és
egy vektor mező,
f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle X}
dénvfx=fdénvx+df(x)=fdénvx+g(x,∇f){\ displaystyle \ mathrm {div} fX = f \ mathrm {div} X + \ mathrm {d} f (X) = f \ mathrm {div} X + g (X, \ nabla f)}Ennek a relációnak a és
alkalmazásával kapjuk meg
f=f1{\ displaystyle f = f_ {1}}x=∇f2{\ displaystyle X = \ nabla f_ {2}}
∫M(f1dénv∇f2+g(∇f1,∇f2))vg=∫Mdénv(f1∇f2)vg=0{\ displaystyle \ int _ {M} {\ bigl (} f_ {1} \ mathrm {div} \ nabla f_ {2} + g (\ nabla f_ {1}, \ nabla f_ {2}) {\ bigr) } v_ {g} = \ int _ {M} \ mathrm {div} (f_ {1} \ nabla f_ {2}) v_ {g} = 0}mivel a Stokes-formula szerint a kompakt támaszú vektormező divergenciájának integrálja nulla.
Ez a képlet fejezi ki, hogy egy hivatalosan autoadjoint üzemeltető
a , tekintettel a teljes skalárszorzat , által definiált
Δ{\ displaystyle \ Delta}VS∞(M){\ displaystyle C ^ {\ infty} (M)}
⟨f1,f2⟩: =∫Mf1f2vg{\ displaystyle \ langle f_ {1}, f_ {2} \ rangle: = \ int _ {M} f_ {1} f_ {2} v_ {g}}(Vegye figyelembe a szimmetrikus operátorokkal való analógiát a véges dimenzióban.)
⟨f,Δf⟩=-∫Mg(∇f,∇f)vg{\ displaystyle \ textstyle \ langle f, \ Delta f \ rangle = - \ int _ {M} g (\ nabla f, \ nabla f) v_ {g}}
negatív vagy nulla. Az üzemeltető a pozitív (ez az oka annak, hogy sok Riemann felügyelők meghatározzák a Laplace operátor a ). Végül, ha kompakt sokaság van határok nélkül, akkor az egyetlen nulla laplaci függvény az konstans (mint ahogy az egyetlen harmonikus függvény egy kompakt tartományban , nulla a határon az állandó, az igazolás ráadásul ugyanaz).
-Δ{\ displaystyle - \ Delta}-dénv grnál néld{\ displaystyle - \ mathrm {div ~ grad}}M{\ displaystyle M}Rnem{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
Hosszabbítások
A laplaciánusnak számos kiterjesztése van , amikor túllépünk a numerikus függvények keretein, hogy differenciális formákra , tenzorokra vagy általában a Riemann-sokaság vektor-köteg szakaszaira alkalmazzuk . Bizonyos tulajdonságokkal rendelkeznek: ugyanaz a fő szimbólum , az elliptikus karakter . És összekapcsolják őket olyan képletekkel, amelyek a sokaság geometriáját görbületével érintik .
Függelékek
Bibliográfia
- (en) Peter Sarnak , „ Hiperbolikus felületek spektrumai ” , Bull. Keserű. Math. Soc. , vol. 40,2003, P. 441-478 ( online olvasás )
-
en) Isaac Chavel, Sajátértékek a Riemannian Geometry-ban , Academic Press
Kapcsolódó cikkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">