Ál-differenciál operátor
A matematikai elemzés során az ál-differenciál operátor kiterjeszti a differenciál operátor megszokott fogalmát , nevezetesen nem egész deriválási rendek beillesztését teszi lehetővé . Ezeket az ál-differenciál operátorokat széles körben használják a részleges differenciálegyenletek elméletében és a kvantumtérelméletben .
Emlékeztetők és értékelések
Az alábbiakban megismételjük a differenciálműködtető cikkben szereplő jelöléseket .
Differenciálmű
Emlékezzünk arra, hogy a sorrend lineáris differenciáloperátora van írva:
m{\ displaystyle m}![m](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
D=∑|α|=0mnál nélα(x)Dα{\ displaystyle {\ mathfrak {D}} = \ sum _ {| \ alpha | = 0} ^ {m} a _ {\ alpha} (x) D ^ {\ alpha}}
ahol az operátor ún. együtthatói a térváltozók függvényei .
nál nélα(x){\ displaystyle a _ {\ alpha} (x)}
D{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
nem{\ displaystyle n}
xk,k=1,...,nem{\ displaystyle x ^ {k}, k = 1, \ pont, n}![{\ displaystyle x ^ {k}, k = 1, \ pont, n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcf63167914833edc7a7def170ad42c8d3e5119f)
A Fourier-transzformáció bevezetése
Meghatározás
Itt definiáljuk a változók függvényének Fourier-transzformációját :
f{\ displaystyle f}
nem{\ displaystyle n}![nem](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
f^(ξ)=∫e-énξ⋅xf(x)dx{\ displaystyle {\ hat {f}} (\ xi) = \ int \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} f (x) \; \ mathrm {d} x}![{\ displaystyle {\ hat {f}} (\ xi) = \ int \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} f (x) \; \ mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b7e8609c94a768e48b1d8aebc06bf9b600865b)
.
Ezután felírjuk az inverz transzformációs képletet:
f(x)=1(2π)nem∫e+énξ⋅xf^(ξ)dξ{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int \ mathrm {e} ^ {+ \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} {\ hat {f}} (\ xi) \; \ mathrm {d} \ xi}![{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int \ mathrm {e} ^ {+ \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} {\ hat {f}} (\ xi) \; \ mathrm {d} \ xi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8c3a412a4fbf46e46383006fcde60d7c72fe518)
.
Alkalmazás különbözõ operátorokra
A szimbólum a differenciáloperátor rend a funkciója a polinom változók a :
D{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
m{\ displaystyle m}
σ(x,ξ){\ displaystyle \ sigma (x, \ xi)}
2nem{\ displaystyle 2n}
(x,ξ){\ displaystyle (x, \ xi)}
ξ{\ displaystyle \ xi}![\ xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
σ(x,ξ)=∑|α|=0mnál nélα(x)ξα{\ displaystyle \ sigma (x, \ xi) = \ sum _ {| \ alpha | = 0} ^ {m} a _ {\ alpha} (x) \ xi ^ {\ alpha}}![{\ displaystyle \ sigma (x, \ xi) = \ sum _ {| \ alpha | = 0} ^ {m} a _ {\ alpha} (x) \ xi ^ {\ alpha}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/accf5a3a5fd7dd7eb1c4ebbb5ecea953ca2644d9)
.
Ezután a sorrend lineáris differenciáloperátora ellenőrzi a kapcsolatot:
D{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
m{\ displaystyle m}![m](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
(Df)(x)=∫dξ(2π)neme+énξ⋅xσ(x,ξ)f^(ξ){\ displaystyle ({\ mathfrak {D}} f) (x) = \ int {\ frac {\ mathrm {d} \ xi} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ mathrm {e} ^ { + \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} \ sigma (x, \ xi) {\ hat {f}} (\ xi)}![{\ displaystyle ({\ mathfrak {D}} f) (x) = \ int {\ frac {\ mathrm {d} \ xi} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ mathrm {e} ^ { + \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} \ sigma (x, \ xi) {\ hat {f}} (\ xi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/124ba776be5fbee4555b41367e5445070464211e)
.
Látható, hogy ez a képlet valójában lehetővé teheti az operátor szimbólumából történő meghatározását . Ezt a gondolatot a következő bekezdésben fogjuk hasznosítani.
D{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
σ(x,ξ){\ displaystyle \ sigma (x, \ xi)}![\ sigma (x, \ xi)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1252e8314cc834fcc67f22d1be6863fcdcea2889)
Bevezetés: ál-differenciál operátor állandó együtthatókkal
Differenciálművezető állandó együtthatókkal
Ha az együtthatók az eltérés üzemeltetője a rend független a tér változó , a szimbólum csak egy funkciója a polinom változók a :
nál nélα{\ displaystyle a _ {\ alpha}}
D{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
m{\ displaystyle m}
nem{\ displaystyle n}
xk{\ displaystyle x ^ {k}}
σ(ξ){\ displaystyle \ sigma (\ xi)}
nem{\ displaystyle n}
ξ{\ displaystyle \ xi}
ξ{\ displaystyle \ xi}![\ xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
σ(ξ)=∑|α|=0mnál nélαξα{\ displaystyle \ sigma (\ xi) = \ sum _ {| \ alpha | = 0} ^ {m} a _ {\ alpha} \ xi ^ {\ alpha}}
hogy:
(Df)(x)=∫dξ(2π)neme+énξxσ(ξ)f^(ξ){\ displaystyle ({\ mathfrak {D}} f) (x) = \ int {\ frac {\ mathrm {d} \ xi} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ mathrm {e} ^ { + \ mathrm {i} \ xi x} \ sigma (\ xi) {\ hat {f}} (\ xi)}
vagy ismételten, az inverz Fourier transzformáció segítségével:
(Df^)(ξ)=σ(ξ)f^(ξ){\ displaystyle ({\ widehat {{\ mathfrak {D}} f}}) (\ xi) = \ sigma (\ xi) {\ hat {f}} (\ xi)}![{\ displaystyle ({\ widehat {{\ mathfrak {D}} f}}) (\ xi) = \ sigma (\ xi) {\ hat {f}} (\ xi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8ef714ba6ad99bdc638228b1d9d3ef2fbd028c7)
.
Definíció: ál-differenciál operátor állandó együtthatókkal
Legyen a változók függvénye . Mi társítani ehhez a funkcióhoz egy ál-differenciáloperátor állandó együtthatós, amelynek hatása a funkciót a megadott következő integrál:
o{\ displaystyle p}
nem{\ displaystyle n}
ξ{\ displaystyle \ xi}
PD{\ displaystyle P_ {D}}
f{\ displaystyle f}![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
(PDf)(x)=∫dξ(2π)neme+énξ⋅xo(ξ)f^(ξ){\ displaystyle (P_ {D} f) (x) = \ int {\ frac {\ mathrm {d} \ xi} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ mathrm {e} ^ {+ \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} p (\ xi) {\ hat {f}} (\ xi)}![{\ displaystyle (P_ {D} f) (x) = \ int {\ frac {\ mathrm {d} \ xi} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ mathrm {e} ^ {+ \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} p (\ xi) {\ hat {f}} (\ xi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20910cdd04feed1d5ff178172fd4129936323a85)
.
Az integrál jelentésének megadásához a szimbólumnak néhány "jó" tulajdonsággal kell rendelkeznie:
o(ξ){\ displaystyle p (\ xi)}![{\ displaystyle p (\ xi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/722a5061e1a6b168527e738b8419a82fa7a770cb)
- a funkciónak simának kell lennie ;o(ξ){\ displaystyle p (\ xi)}
![{\ displaystyle p (\ xi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/722a5061e1a6b168527e738b8419a82fa7a770cb)
- a funkciónak mérsékelt növekedéssel kell rendelkeznie, amikor ennek a mérsékelt növekedésnek a levezetéssel is javulnia kell. A rend differenciális operátorának esetére - ahol ez a növekedés polinom - hasonlítunk arra a kérdésre, hogy itt van egy olyan szám , amely:o(ξ){\ displaystyle p (\ xi)}
|ξ|→∞{\ displaystyle | \ xi | \ to \ infty}
m{\ displaystyle m}
m{\ displaystyle m}![m](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
∀α|∂ξαo(ξ)|≤VSα(1+|ξ|)m-|α|{\ displaystyle \ forall \ alfa \ quad \ bal | \ részleges _ {\ xi} ^ {\ alfa} p (\ xi) \ jobb | \ leq C _ {\ alpha} \ bal (1+ | \ xi | \ jobbra) ^ {m- | \ alpha |}}
hol vannak konstansok, amelyek függhetnek .
VSα{\ displaystyle C _ {\ alpha}}
α{\ displaystyle \ alpha}![\ alfa](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
Pontos szimbolikus számítás
Legyen és legyen két pszeudo-differenciális operátor, állandó együtthatókkal, amelyeket a és a szimbólumok határoznak meg . Ekkor az operátor továbbra is ál-differenciál operátor állandó együtthatókkal, amelynek szimbóluma a szorzat .
P1{\ displaystyle P_ {1}}
P2{\ displaystyle P_ {2}}
o1(ξ){\ displaystyle p_ {1} (\ xi)}
o2(ξ){\ displaystyle p_ {2} (\ xi)}
P=P1P2{\ displaystyle P = P_ {1} P_ {2}}
o1(ξ)o2(ξ){\ displaystyle p_ {1} (\ xi) p_ {2} (\ xi)}![{\ displaystyle p_ {1} (\ xi) p_ {2} (\ xi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3247197c9b35fca3cbf7583f0206e049434db1f1)
Ál-differenciál operátor: általános eset
Meghatározás
Legyen a változók függvénye . Mi társítani ehhez a funkcióhoz egy ál-differenciáloperátor , amelynek hatása a funkciót a megadott következő integrál:
o(x,ξ){\ displaystyle p (x, \ xi)}
2nem{\ displaystyle 2n}
(x,ξ){\ displaystyle (x, \ xi)}
PD{\ displaystyle P_ {D}}
f{\ displaystyle f}![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
(PDf)(x)=1(2π)nem∫e+énξ⋅xo(x,ξ)f^(ξ)dξ{\ displaystyle (P_ {D} f) (x) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int \ mathrm {e} ^ {+ \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} p (x, \ xi) {\ hat {f}} (\ xi) \; \ mathrm {d} \ xi}![{\ displaystyle (P_ {D} f) (x) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int \ mathrm {e} ^ {+ \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} p (x, \ xi) {\ hat {f}} (\ xi) \; \ mathrm {d} \ xi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9de730f8d85fa5e0c55222a194bbdbc37872f89)
.
Megjegyzés: Vegyük észre, hogy néha ál-eltérés üzemeltetőt annak jelét a következő: .
PD=o(x,D){\ displaystyle P_ {D} = p (x, D)}![{\ displaystyle P_ {D} = p (x, D)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee12a759b9364bb4d8148c412587fa6a2de359e8)
Szükséges szimbólumtulajdonságok
Ahhoz, hogy az integrálnak jelentősége legyen, a szimbólumnak tartalmaznia kell néhány "jó" tulajdonságot, amelyek az alábbiakban szerepelnek:
o(x,ξ){\ displaystyle p (x, \ xi)}![{\ displaystyle p (x, \ xi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/657d9ea5d51566bab68b4df5eb1c2c68167a851e)
- a funkciónak mérsékelt növekedéssel kell rendelkeznie, amikor ennek a mérsékelt növekedésnek a levezetéssel is javulnia kell. A differenciális sorrend-operátor esetére hasonlítva , ahol ez a növekedés polinom , itt arra kérünk minket, hogy legyen olyan szám , amelyo(x,ξ){\ displaystyle p (x, \ xi)}
|ξ|→∞{\ displaystyle | \ xi | \ to \ infty}
m{\ displaystyle m}
m{\ displaystyle m}
∀α|∂ξαo(x,ξ)|≤VSα(1+|ξ|)m-|α|{\ displaystyle \ forall \ alfa \ quad \ bal | \ részleges _ {\ xi} ^ {\ alfa} p (x, \ xi) \ jobb | \ leq C _ {\ alfa} bal (1+ | \ xi | \ jobbra) ^ {m- | \ alpha |}}
hol vannak konstansok, amelyek függhetnek ;VSα{\ displaystyle C _ {\ alpha}}
α{\ displaystyle \ alpha}![\ alfa](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
- a függvénynek lassan kell változnia a térváltozókban . Ezt kifejezetten kérjüko(x,ξ){\ displaystyle p (x, \ xi)}
x{\ displaystyle x}
∀α,|∂xαo(x,ξ)|≤VSα(1+|ξ|)m{\ displaystyle \ forall \ alfa, \ quad \ bal | \ részleges _ {x} ^ {\ alfa} p (x, \ xi) \ jobb | \ leq C _ {\ alpha} \ bal (1+ | \ xi | \ jobbra) ^ {m}}
.
Ez a két feltétel egyesíthető egybe, az alábbiakban felhasználható a sorrendjelek osztályának további meghatározására .
m{\ displaystyle m}![m](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
M nagyságrendű szimbólumok osztálya
Legyen kompakt és sima funkciója . Legyen bármilyen valós szám. A rendelési szimbólumok osztályát a következők határozzák meg:
Ω⊂Rnem{\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}
o(x,ξ){\ displaystyle p (x, \ xi)}
VS∞(Ω×Rnem){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (\ Omega \ times \ mathbb {R} ^ {n})}
m{\ displaystyle m}
Sm(Ω×Rnem){\ displaystyle S ^ {m} (\ Omega \ times \ mathbb {R} ^ {n})}
m{\ displaystyle m}![m](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
Sm(Ω×Rnem)={o(x,ξ)∣|∂ξα∂xβo(x,ξ)|≤VSα,β,Ω(1+|ξ|)m-|α|}{\ displaystyle S ^ {m} (\ Omega \ times \ mathbb {R} ^ {n}) = \ balra \ {p (x, \ xi) \ balra | \ részleges _ {\ xi} ^ {\ alfa} \ részleges _ {x} ^ {\ béta} p (x, \ xi) \ jobb | \ leq C _ {\ alfa, \ béta, \ Omega} \ bal (1+ | \ xi | \ jobb) ^ {m- | \ alpha |} \ jobb \}}
mindenkinek ,, és minden többindexhez . A konstansok, amelyek függhetnek és .
x∈Ω{\ displaystyle x \ in \ Omega}
ξ∈Rnem{\ displaystyle \ xi \ in \ mathbb {R} ^ {n}}
α,β{\ displaystyle \ alfa, \ beta}
VSα,β,Ω{\ displaystyle C _ {\ alpha, \ beta, \ Omega}}
α,β{\ displaystyle \ alfa, \ beta}
Ω{\ displaystyle \ Omega}![\Omega](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f)
Megjegyzés: Ha a Compact említést közömbös, egyszerűen megállapítja: .
Ω{\ displaystyle \ Omega}
Sm=Sm(Ω×Rnem){\ displaystyle S ^ {m} = S ^ {m} (\ Omega \ times \ mathbb {R} ^ {n})}![{\ displaystyle S ^ {m} = S ^ {m} (\ Omega \ times \ mathbb {R} ^ {n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6549637b08e556fbf2edcb3be9f012bee46018ba)
Az ál-differenciál operátorok halmazát gyakran szimbólummal jelöljükΨm{\ displaystyle \ Psi ^ {m}}
Sm{\ displaystyle S ^ {m}}
Ál-helység tulajdon
Egy disztribúció egyedi támogatása
Az eloszlás egyes számának alátámasztását annak a ponthalmaznak a kiegészítésének hívjuk , amelynek szomszédságában függvény van .
u{\ displaystyle u}
u{\ displaystyle u}
VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}![{\ displaystyle C ^ {\ infty}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971ed05871d69309df32efdfd2020128c9cf69d8)
Szimbolikus számítás
Legyen elemei . Ekkor az operátor egy pszeudo-differenciális operátor is, amelynek szimbólumát, amelyhez tartozik, aszimptotikus összeg adja, amelynek első tagjaoj,(j=1,2){\ displaystyle p_ {j}, (j = 1,2)}
Smj(Rnem×Rnem){\ displaystyle S ^ {m_ {j}} (\ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {n})}
o1(x,D)∘o2(x,D){\ displaystyle p_ {1} (x, D) \ kör p_ {2} (x, D)}
Sm1+m2{\ displaystyle S ^ {m_ {1} + m_ {2}}}
o1(x,ξ)o2(x,ξ){\ displaystyle p_ {1} (x, \ xi) p_ {2} (x, \ xi)}
Folytonosság Szobolev terekben
Jelöljük a szabványos Szoboljev helyet sorrendben a . Legyen és legyen két valós szám. A pszeudo-eltérés üzemeltetője érdekében a ( azaz egy elem a ) folytonos a a .
Hs(Rnem){\ displaystyle H ^ {s} (\ mathbb {R} ^ {n})}
s{\ displaystyle s}
Rnem{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
s{\ displaystyle s}
m{\ displaystyle m}
m{\ displaystyle m}
Rnem{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
Ψm{\ displaystyle \ Psi ^ {m}}
Hs(Rnem){\ displaystyle H ^ {s} (\ mathbb {R} ^ {n})}
Hs-m(Rnem){\ displaystyle H ^ {sm} (\ mathbb {R} ^ {n})}![{\ displaystyle H ^ {sm} (\ mathbb {R} ^ {n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf6d8ba0f270b4ca68c143c3bc057d71aae80bc6)
Ál-helység tulajdon
Bármelyik , vagy a . Tehát van az . Különösen bármilyen temperált disztribúció esetén supp sing supp sing .
nál nél∈Sm{\ displaystyle a \ in S ^ {m}}
K{\ displaystyle K}
nál nél(x,D){\ displaystyle a (x, D)}
K{\ displaystyle K}
VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}
x≠y{\ displaystyle x \ neq y}
u{\ displaystyle u}
nál nél(x,D)u⊂{\ displaystyle a (x, D) u \ részhalmaz}
u{\ displaystyle u}![u](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)
Virtuális könyvtár
(en) MS Joshi, Előadások ál-differenciál operátorokról , tanfolyam elérhető az arXiv oldalon .
Bibliográfia
- Serge Alinhac és Patrick Gérard, ál -differenciál operátorok és Nash-Moser-tétel , coll. „Jelenlegi ismeretek”, EDP Sciences / CNRS éditions, 1991 ( ISBN 2-86883-363-2 ) . A matematika magistere keretében az École normale supérieure-n tanított tanfolyam eredménye, ez a könyv azoknak a posztgraduális matematikus hallgatóknak szól, akik elemzési alapképzést szeretnének megszerezni.
- Jacques Chazarain és Alain Piriou, Bevezetés a lineáris parciális differenciálegyenletek elméletébe , Gauthier-Villars, 1981 ( ISBN 2-04-012157-9 ) .
-
(a) Yu. V. Egorov és MA Shubin (a) , elemei a modern elmélet a parciális differenciálegyenletek , Springer-Verlag, 2 th ed., 1999 ( ISBN 3-540-65377-5 ) . Ez a könyv követi a bevezető térfogata: alapjai a klasszikus elmélet a parciális differenciálegyenletek , Springer-Verlag, 2 th ed., 1998 ( ISBN 3-540-63825-3 ) .
-
(en) Lars Hörmander , A lineáris részleges differenciálművezetők elemzése , Springer-Verlag, 1983-1985. Négy kötetes referátum az 1962-es Fields-érem címzettje által . A III. Kötet felirata: Áldifferenciális operátorok és a IV . Kötet: Fourier integrált operátorok .
-
(en) Lars Hörmander, lineáris részleges differenciálműködtetők , Springer-Verlag, 1963. Ez a könyv olyan műveket tartalmaz, amelyekért a szerző 1962-ben Fields-éremmel tüntették ki.
-
(en) MA Shubin, Pseudodifferential Operators and Spectral Theory , Springer-Verlag, 2001 ( ISBN 3-540-41195-X ) .
-
(-ban) Michael E. Taylor (-ban) , áldifferenciális operátorok , Princeton Univ. Press, 1981 ( ISBN 0-691-08282-0 ) .
-
(en) Michael E. Taylor, Partial Differential Equations II - Qualitative Studies of Linear Equations , coll. "Alkalmazott Matematikai Sciences" ( n o 116), Springer-Verlag, 2 th szerk., 1997 ( ISBN 0-387-94651-9 ) . Ez a könyv folytatódik a bevezető kötetből: Részleges differenciálegyenletek - Alapelmélet , ösz. "Szövegek in Applied Mathematics" ( n o 23), Springer-Verlag, 2 th ed., 1999 ( ISBN 0-387-94654-3 ) .
-
(fr) Michael E. Taylor, III. részleges differenciálegyenletek - nemlineáris egyenletek , ösz. "Alkalmazott Matematikai Sciences" ( n o 117), Springer-Verlag, 2 th szerk., 1997 ( ISBN 0-387-94652-7 ) .
-
(en) François Treves , Bevezetés az áldifferenciál- és Fourier-integrált operátorokba , össz. "Egyetemi matematikai sorozat", Plenum Publ., 1981 ( ISBN 0-306-40404-4 ) .
jegyzet
-
Ez a képlet hamis, ha a differenciáloperátor együtthatói nem állandóak.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">