Limit műveletek
Ez az oldal a " Limit (elemi matematika) " cikk függeléke , amely elmagyarázza, hogyan kell lefordítani a szokásos műveleteket korlátok szempontjából : összeadás , szorzás , összetétel stb.
Minden eredmény itt felsorolt eszközökre egyaránt érvényesek a határait funkciók és korlátait szekvenciák .
Algebrai műveletek
Itt azt az esetet vesszük figyelembe, amikor elemi algebrai műveleteket hajtunk végre olyan funkciókkal vagy szekvenciákkal, amelyeknek ismerjük a határokat. A legtöbb esetben megállapítható, de néha további tanulmányokra van szükség, határozatlan formának vagy FI-nek nevezik . Ezeket az eseteket külön kezeljük.
Szorzás valósal
Szorozhatunk egy szekvenciát vagy egy függvényt egy fix valósal ; akkor megkapjuk:
u=(unem){\ displaystyle u = (u_ {n})}
f{\ displaystyle f}
k{\ displaystyle k}![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
- A szekvencia által meghatározott :;ku=((ku)nem){\ displaystyle ku = ((ku) _ {n})}
∀nem∈NEM,(ku)nem=k×unem{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, (ku) _ {n} = k \ szorozva u_ {n}}![\ forall n \ in \ mathbb {N}, (ku) _ {n} = k \ szorozva u_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6052ed7d72a929abfff7b7091f68f72c3037fe)
- a függvény által meghatározott: .kf{\ displaystyle kf}
∀x∈R,(kf)(x)=k×f(x){\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, (kf) (x) = k \ alkalommal f (x)}![\ forall x \ in \ mathbb {R}, (kf) (x) = k \ x f (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c25fb56e82609411669dc71781c623ba90ce669)
Ezután megírhatjuk a következő táblázatot, attól függően, hogy a sorrend konvergál-e egy véges határ felé, vagy elterjed-e :
ℓ{\ displaystyle \ ell}
±∞{\ displaystyle \ pm \ infty}![\ pm \ infty](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c586ae37f8efec026b8a4ea3f6a5253576c2c4e6)
limunem{\ displaystyle \ lim u_ {n}}
|
|
ℓ{\ displaystyle \ ell}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
---|
lim(ku)nem{\ displaystyle \ lim (ku) _ {n}}
|
k>0{\ displaystyle k> 0}
|
kℓ{\ displaystyle k \ ell}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
---|
k<0{\ displaystyle k <0}
|
kℓ{\ displaystyle k \ ell}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
---|
Pontosan ugyanaz a táblázat áll rendelkezésünkre egy függvény eseteire vonatkozóan . Nem fogjuk megemlíteni azt a valós pontot , amelynél figyelembe vesszük annak határát , amelyet ezért egyszerűen megjegyzünk . A határ :
f{\ displaystyle f}
nál nél{\ displaystyle a}
±∞{\ displaystyle \ pm \ infty}
f{\ displaystyle f}
limf{\ displaystyle \ lim f}
kf{\ displaystyle kf}![kf](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eaefc472308461b5ee35ea80a691b36533bd38d)
limf{\ displaystyle \ lim f}
|
|
ℓ{\ displaystyle \ ell}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
---|
limkf{\ displaystyle \ lim kf}
|
k>0{\ displaystyle k> 0}
|
kℓ{\ displaystyle k \ ell}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
---|
k<0{\ displaystyle k <0}
|
kℓ{\ displaystyle k \ ell}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
---|
Összeg
Hozzáadhatunk két szekvenciát és vagy két funkciót, és :
u=(unem){\ displaystyle u = (u_ {n})}
v=(vnem){\ displaystyle v = (v_ {n})}
f{\ displaystyle f}
g{\ displaystyle g}![g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
- a sorrendet a következők határozzák meg :;u+v{\ displaystyle u + v}
∀nem∈NEM,(u+v)nem=unem+vnem{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, (u + v) _ {n} = u_ {n} + v_ {n}}![\ forall n \ in \ mathbb {N}, (u + v) _ {n} = u_ {n} + v_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88efeff0dbad82720b83889bc1ea7f5e877b380a)
- A funkció határozza meg: .f+g{\ displaystyle f + g}
∀x∈R,(f+g)(x)=f(x)+g(x){\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, (f + g) (x) = f (x) + g (x)}![\ forall x \ in \ mathbb {R}, (f + g) (x) = f (x) + g (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87dbbcca996efcc52c1547f78ab551f3f0c3b7c7)
Megadhatjuk a szekvencia határát a szekvenciák megfelelő határai és (illetve a függvény határértéke egy pontban , a és határértékei szerint ). Az eredményeket a következő táblázat mutatja be:
u+v{\ displaystyle u + v}
u{\ displaystyle u}
v{\ displaystyle v}
f+g{\ displaystyle f + g}
nál nél{\ displaystyle a}
nál nél{\ displaystyle a}
f{\ displaystyle f}
g{\ displaystyle g}![g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
|
limv{\ displaystyle \ lim v} (ill. )
limg{\ displaystyle \ lim g}![\ lim g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e431c325894af7d67c55194525cfb6ff3f9f9a52) |
---|
ℓ′{\ displaystyle \ ell '}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
---|
limu{\ displaystyle \ lim u} (ill. )
limf{\ displaystyle \ lim f}![\ lim f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75705d3fbf645f0b2c4ef0ecd6b75e8f70073ed0) |
ℓ{\ displaystyle \ ell}
|
ℓ+ℓ′{\ displaystyle \ ell + \ ell '}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
---|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
FI
|
---|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
FI
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
---|
Termék
Két szekvenciát és vagy két függvényt szaporíthatunk, és :
u=(unem){\ displaystyle u = (u_ {n})}
v=(vnem){\ displaystyle v = (v_ {n})}
f{\ displaystyle f}
g{\ displaystyle g}![g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
- a sorrendet a következők határozzák meg :;u×v{\ displaystyle u \ times v}
∀nem∈NEM,(u×v)nem=unem×vnem{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, (u \ szeres v) _ {n} = u_ {n} \ szorozva v_ {n}}![\ forall n \ in \ mathbb {N}, (u \ szeres v) _ {n} = u_ {n} \ szorozva v_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee86c5fe1317b086ab1953599ae256093aabd5e)
- A funkció határozza meg: .f×g{\ displaystyle f \ szor g}
∀x∈R,(f×g)(x)=f(x)×g(x){\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, (f \ szorzat g) (x) = f (x) \ szorzat g (x)}![\ forall x \ in \ mathbb {R}, (f \ x g) (x) = f (x) \ g (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/225cbb95caa272660e58653df24861b316babe4a)
Megadhatjuk a szekvencia határát a szekvenciák megfelelő határai és (illetve a függvény határértéke egy pontban a és határértékei szerint ). Az eredményeket a következő táblázat tartalmazza:
u×v{\ displaystyle u \ times v}
u{\ displaystyle u}
v{\ displaystyle v}
f×g{\ displaystyle f \ szor g}
nál nél{\ displaystyle a}
nál nél{\ displaystyle a}
f{\ displaystyle f}
g{\ displaystyle g}![g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
|
limv{\ displaystyle \ lim v} (ill. )
limg{\ displaystyle \ lim g}![\ lim g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e431c325894af7d67c55194525cfb6ff3f9f9a52) |
---|
ℓ′<0{\ displaystyle \ ell '<0}
|
ℓ′>0{\ displaystyle \ ell '> 0}
|
0{\ displaystyle 0}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
---|
limu{\ displaystyle \ lim u} (ill. )
limf{\ displaystyle \ lim f}![\ lim f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75705d3fbf645f0b2c4ef0ecd6b75e8f70073ed0) |
ℓ<0{\ displaystyle \ ell <0}
|
ℓℓ′{\ displaystyle \ ell \ ell '}
|
ℓℓ′{\ displaystyle \ ell \ ell '}
|
0{\ displaystyle 0}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
---|
ℓ>0{\ displaystyle \ ell> 0}
|
ℓℓ′{\ displaystyle \ ell \ ell '}
|
ℓℓ′{\ displaystyle \ ell \ ell '}
|
0{\ displaystyle 0}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
---|
0{\ displaystyle 0}
|
0{\ displaystyle 0}
|
0{\ displaystyle 0}
|
0{\ displaystyle 0}
|
FI
|
FI
|
---|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
FI
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
---|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
FI
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
---|
Hányados
Oszthatunk egy szekvenciát kielégítő szekvenciával vagy egy függvényt kielégítő függvénnyel mindenre a figyelembe vett pont szomszédságában:
u=(unem){\ displaystyle u = (u_ {n})}
v=(vnem){\ displaystyle v = (v_ {n})}
∀nem∈NEMvnem≠0{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad v_ {n} \ neq 0}
f{\ displaystyle f}
g{\ displaystyle g}
g(x)≠0{\ displaystyle g (x) \ neq 0}
x{\ displaystyle x}![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
- a sorrendet a következők határozzák meg :;uv{\ displaystyle {\ frac {u} {v}}}
∀nem∈NEM(uv)nem=unemvnem{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad \ left ({\ frac {u} {v}} \ right) _ {n} = {\ frac {u_ {n}} {v_ {n} }}}![{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad \ left ({\ frac {u} {v}} \ right) _ {n} = {\ frac {u_ {n}} {v_ {n} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e12003913c3d59562b4ec54e9e426d4003da733)
- a függvényt az határozza meg: minden olyan számára, mint .fg{\ displaystyle {\ frac {f} {g}}}
(fg)(x)=f(x)g(x){\ displaystyle \ left ({\ frac {f} {g}} \ right) (x) = {\ frac {f (x)} {g (x)}}}
x{\ displaystyle x}
g(x)≠0{\ displaystyle g (x) \ neq 0}![g (x) \ neq 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/304c689556e38a33dde280823338d0ef90735d89)
Megadhatjuk a szekvencia határát a szekvenciák megfelelő határai és (illetve a függvény határértéke egy pontban a és határértékei szerint ). Az eredményeket a következő táblázat tartalmazza:
uv{\ displaystyle {\ frac {u} {v}}}
u{\ displaystyle u}
v{\ displaystyle v}
fg{\ displaystyle {\ frac {f} {g}}}
nál nél{\ displaystyle a}
nál nél{\ displaystyle a}
f{\ displaystyle f}
g{\ displaystyle g}![g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
|
limv{\ displaystyle \ lim v} (ill. )
limg{\ displaystyle \ lim g}![\ lim g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e431c325894af7d67c55194525cfb6ff3f9f9a52) |
---|
ℓ′<0{\ displaystyle \ ell '<0}
|
ℓ′>0{\ displaystyle \ ell '> 0}
|
0-{\ displaystyle 0 ^ {-}}
|
0+{\ displaystyle 0 ^ {+}}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
---|
limu{\ displaystyle \ lim u} (ill. )
limf{\ displaystyle \ lim f}![\ lim f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75705d3fbf645f0b2c4ef0ecd6b75e8f70073ed0) |
ℓ<0{\ displaystyle \ ell <0}
|
ℓℓ′{\ displaystyle {\ frac {\ ell} {\ ell '}}}
|
ℓℓ′{\ displaystyle {\ frac {\ ell} {\ ell '}}}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
0(+){\ displaystyle 0 ^ {(+)}}
|
0(-){\ displaystyle 0 ^ {(-)}}
|
---|
ℓ>0{\ displaystyle \ ell> 0}
|
ℓℓ′{\ displaystyle {\ frac {\ ell} {\ ell '}}}
|
ℓℓ′{\ displaystyle {\ frac {\ ell} {\ ell '}}}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
0(-){\ displaystyle 0 ^ {(-)}}
|
0(+){\ displaystyle 0 ^ {(+)}}
|
---|
0-{\ displaystyle 0 ^ {-}}
|
0(+){\ displaystyle 0 ^ {(+)}}
|
0(-){\ displaystyle 0 ^ {(-)}}
|
FI
|
FI
|
0(+){\ displaystyle 0 ^ {(+)}}
|
0(-){\ displaystyle 0 ^ {(-)}}
|
---|
0+{\ displaystyle 0 ^ {+}}
|
0(-){\ displaystyle 0 ^ {(-)}}
|
0(+){\ displaystyle 0 ^ {(+)}}
|
FI
|
FI
|
0(-){\ displaystyle 0 ^ {(-)}}
|
0(+){\ displaystyle 0 ^ {(+)}}
|
---|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
FI
|
FI
|
---|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
FI
|
FI
|
---|
Határozatlan formák
A határozatlan formák vagy adalékanyag típusa: vagy multiplikatív: , vagy . Megjegyezzük, hogy bizonyos határozatlan formák inkább "álcázottak", és az előző formák egyikét csak a természetes logaritmus exponenciáljára való átjutás után találja meg.
+∞-(+∞){\ displaystyle + \ infty - (+ \ infty)}
0×±∞{\ displaystyle 0 \ szor \ pm \ infty}
00{\ displaystyle {\ tfrac {0} {0}}}
±∞±∞{\ displaystyle {\ tfrac {\ pm \ infty} {\ pm \ infty}}}![{\ tfrac {\ pm \ infty} {\ pm \ infty}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f80f2b2cc4bccdbe4878e42381a7115a32b579c)
A határozatlanság leküzdésére a következő technikák közül egyet vagy többet használnak:
A következő cikk ezeket a technikákat tárgyalja részletesebben:
Példa:
Megpróbáljuk kiszámolni
limx→0+(1x3-1x4){\ displaystyle \ lim _ {x \ tól 0 ^ {+}} \ balra ({\ frac {1} {x ^ {3}}} - {\ frac {1} {x ^ {4}}} \ jobbra )}![{\ displaystyle \ lim _ {x \ tól 0 ^ {+}} \ balra ({\ frac {1} {x ^ {3}}} - {\ frac {1} {x ^ {4}}} \ jobbra )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291a269dd3d1270bcd0a4b1811a8a1e459d7a1a8)
Arany,
limx→0+1x3=limx→0+1x4=+∞{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} {\ frac {1} {x ^ {3}}} = \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} {\ frac {1} {x ^ {4}}} = + \ infty}![{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} {\ frac {1} {x ^ {3}}} = \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} {\ frac {1} {x ^ {4}}} = + \ infty}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c75524e760a52230d647391ecd2b368f9ca7f169)
ezért határozatlan „additív” formában vagyunk; faktorozzuk a kifejezést:
1x3-1x4=1x4×(x-1){\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {3}}} - {\ frac {1} {x ^ {4}}} = {\ frac {1} {x ^ {4}}} \ alkalommal ( x-1)}
limx→0+1x4=+∞{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} {\ frac {1} {x ^ {4}}} = + \ infty}![{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} {\ frac {1} {x ^ {4}}} = + \ infty}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2edc70f40bb95bc6b669747d5e5a782642cf49d2)
és
limx→0+(x-1)=-1{\ displaystyle \ lim _ {x \ - 0 ^ {+}} (x-1) = - 1}
így a szorzásra vonatkozó szabályok szerint következtethetünk :
limx→0+(1x3-1x4)=-∞{\ displaystyle \ lim _ {x \ tól 0 ^ {+}} \ balra ({\ frac {1} {x ^ {3}}} - {\ frac {1} {x ^ {4}}} \ jobbra ) = - \ infty}
Fogalmazás
Ingatlan
Legyen és legyen két nem triviális intervallum , és két olyan térkép , amely és pont vagy kötött .
én{\ displaystyle I}
J{\ displaystyle J}
f:én→R{\ displaystyle f: I \ to \ mathbb {R}}
g:J→R{\ displaystyle g: J \ to \ mathbb {R}}
f(én)⊂J{\ displaystyle f (I) \ J részhalmaz
nál nél{\ displaystyle a}
én{\ displaystyle I}
én{\ displaystyle I}![én](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f)
Igenlimx→nál nélf(x)=béslimy→bg(y)=vs.,ígylimx→nál nél(g∘f)(x)=vs..{\ displaystyle {\ text {Si}} \ quad \ lim _ {x \ to a} f (x) = b \ quad {\ text {et}} \ quad \ lim _ {y \ to b} g (y ) = c, \ quad {\ text {then}} \ quad \ lim _ {x \ to a} (g \ circ f) (x) = c.}
Funkció és szekvencia összetétele
Hagyja, mint korábban, és az értékek sorozatát .
g:J→R{\ displaystyle g: J \ to \ mathbb {R}}
(ynem){\ displaystyle (y_ {n})}
J{\ displaystyle J}![J](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359e4f407b49910e02c27c2f52e87a36cd74c053)
Igenlimnem→∞ynem=béslimy→bg(y)=vs.,ígylimnem→∞g(ynem)=vs..{\ displaystyle {\ text {Si}} \ quad \ lim _ {n \ to \ infty} y_ {n} = b \ quad {\ text {és}} \ quad \ lim _ {y \ to b} g ( y) = c, \ quad {\ text {majd}} \ quad \ lim _ {n \ to \ infty} g (y_ {n}) = c.}
Lásd is
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">