Általánosított híváspolinom
A matematika , a szekvenciát a polinomok egy általánosított Appeii ábrázolása , ha a generátor függvény polinomok formájában:
(onem(z))nem∈NEM{\ displaystyle (p_ {n} (z)) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
K(z,w)=NÁL NÉL(w)Ψ(zg(w))=∑nem=0∞onem(z)wnem{\ displaystyle K (z, w) = A (w) \ Psi (zg (w)) = \ összeg _ {n = 0} ^ {\ infty} p_ {n} (z) w ^ {n}}ahol a generáló függvény a sorozatból áll :
K(z,w){\ displaystyle K (z, w)}
-
NÁL NÉL(w)=∑nem=0∞nál nélnemwnem{\ displaystyle A (w) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} w ^ {n}}együtt ;nál nél0≠0{\ displaystyle a_ {0} \ neq 0}
-
Ψ(t)=∑nem=0∞Ψnemtnem{\ displaystyle \ Psi (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ Psi _ {n} t ^ {n}}mindenkivel ;Ψnem≠0{\ displaystyle \ Psi _ {n} \ neq 0}
-
g(w)=∑nem=1∞gnemwnem{\ displaystyle g (w) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} g_ {n} w ^ {n}}a .g1≠0{\ displaystyle g_ {1} \ neq 0}
A fenti körülmények között, nem nehéz belátni, hogy ez a polinom foka .
onem(z){\ displaystyle p_ {n} (z)} nem{\ displaystyle n}
Különleges esetek
- A választás ad az osztály a Brenke polinomok (en) .g(w)=w{\ displaystyle g (w) = w}
- A választás megadja Sheffer polinomjainak szekvenciáját .Ψ(t)=et{\ displaystyle \ Psi (t) = \ operátor neve {e} ^ {t}}
- A szoros értelemben vett Appell polinomok egyidejű megválasztása és szekvenciájának megadása .g(w)=w{\ displaystyle g (w) = w}Ψ(t)=et{\ displaystyle \ Psi (t) = \ operátor neve {e} ^ {t}}
Kifejezett képviselet
Az általánosított hívás polinomok kifejezetten reprezentáltak
onem(z)=∑k=0nemzkΨkhk{\ displaystyle p_ {n} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} z ^ {k} \ Psi _ {k} h_ {k}}.
Az együttható az
hk{\ displaystyle h_ {k}}
hk=∑Pnál nélj0gj1gj2...gjk{\ displaystyle h_ {k} = \ sum _ {P} a_ {j_ {0}} g_ {j_ {1}} g_ {j_ {2}} \ ldots g_ {j_ {k}}}ahol az összeg kiterjed valamennyi „ partíciót a széles értelemben vett” a n be k + 1 rész, azaz az összes ( k + 1) tuple j a pozitív vagy nulla egész szám az összege n .
Az Appell polinomok esetében ez a képlet a következő lesz:
onem(z)=∑k=0nemnál nélnem-kzkk!{\ displaystyle p_ {n} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {a_ {nk} z ^ {k}} {k!}}}.
Ismétlődési viszonyok
Ekvivalensen, szükséges és elégséges feltétele a kernel írandó, mint a hogy
K(z,w){\ displaystyle K (z, w)}NÁL NÉL(w)Ψ(zg(w)){\ displaystyle A (w) \ Psi (zg (w))}g1=1{\ displaystyle g_ {1} = 1}
∂K(z,w)∂w=vs.(w)K(z,w)+zb(w)w∂K(z,w)∂z{\ displaystyle {\ frac {\ részleges K (z, w)} {\ részleges w}} = c (w) K (z, w) + {\ frac {zb (w)} {w}} {\ frac {\ részleges K (z, w)} {\ részleges z}}}hol és van soros fejlesztés
b(w){\ displaystyle b (w)}vs.(w){\ displaystyle c (w)}
b(w)=wg(w)ddwg(w)=1+∑nem=1∞bnemwnem{\ displaystyle b (w) = {\ frac {w} {g (w)}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} w}} g (w) = 1 + \ összeg _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} w ^ {n}}és
vs.(w)=1NÁL NÉL(w)ddwNÁL NÉL(w)=∑nem=0∞vs.nemwnem{\ displaystyle c (w) = {\ frac {1} {A (w)}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} w}} A (w) = \ összeg _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} w ^ {n}}.
Cserével
K(z,w)=∑nem=0∞onem(z)wnem{\ displaystyle K (z, w) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} p_ {n} (z) w ^ {n}},
azonnal jön a megismétlődés relációja :
znem+1ddz[onem(z)znem]=-∑k=0nem-1vs.nem-k-1ok(z)-z∑k=1nem-1bnem-kddzok(z){\ displaystyle z ^ {n + 1} {\ frac {d} {dz}} \ balra [{\ frac {p_ {n} (z)} {z ^ {n}}} \ jobbra = = \ összeg _ {k = 0} ^ {n-1} c_ {nk-1} p_ {k} (z) -z \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} b_ {nk} {\ frac {d } {dz}} p_ {k} (z)}.
A konkrét esetben a Brenke polinomok, van , és ezért minden nulla, amely jelentősen egyszerűsíti a rekurzív sorozat.
g(w)=w{\ displaystyle g (w) = w}bnem{\ displaystyle b_ {n}}
Szerzői hitel
(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az
angol Wikipedia
" Általánosított Appell-polinomok " című cikkéből származik
( lásd a szerzők felsorolását ) .
Bibliográfia
- (en) Ralph P. Boas, Jr. és R. Creighton Buck (en) , Az analitikai funkciók polinomiális kiterjesztése , New York / Berlin, Academic Press / Springer-Verlag ,1964, 2 nd ed.
- (en) William C. Brenke, „ A polinom rendszerek függvényeinek létrehozásáról ” , Amer. Math. Hónap. , vol. 52,1945, P. 297-301
- (en) WN Huff, „ Az f (xt) φ (t) által generált polinomok típusa ” , Duke Math. J. , vol. 14,1947, P. 1091-1104
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">