Általánosított híváspolinom

A matematika , a szekvenciát a polinomok egy általánosított Appeii ábrázolása , ha a generátor függvény polinomok formájában: ${\ displaystyle (p_ {n} (z)) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

{\ displaystyle K (z, w) = A (w) \ Psi (zg (w)) = \ összeg _ {n = 0} ^ {\ infty} p_ {n} (z) w ^ {n}}

ahol a generáló függvény a sorozatból áll : ${\ displaystyle K (z, w)}$

${\ displaystyle A (w) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} w ^ {n}}$ együtt ; ${\ displaystyle a_ {0} \ neq 0}$
${\ displaystyle \ Psi (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ Psi _ {n} t ^ {n}}$ mindenkivel ; ${\ displaystyle \ Psi _ {n} \ neq 0}$
${\ displaystyle g (w) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} g_ {n} w ^ {n}}$ a . ${\ displaystyle g_ {1} \ neq 0}$

A fenti körülmények között, nem nehéz belátni, hogy ez a polinom foka . ${\ displaystyle p_ {n} (z)}$ $nem$

Különleges esetek

A választás ad az osztály a Brenke polinomok (en) . ${\ displaystyle g (w) = w}$
A választás megadja Sheffer polinomjainak szekvenciáját . ${\ displaystyle \ Psi (t) = \ operátor neve {e} ^ {t}}$
A szoros értelemben vett Appell polinomok egyidejű megválasztása és szekvenciájának megadása . ${\ displaystyle g (w) = w}$ ${\ displaystyle \ Psi (t) = \ operátor neve {e} ^ {t}}$

Kifejezett képviselet

Az általánosított hívás polinomok kifejezetten reprezentáltak

{\ displaystyle p_ {n} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} z ^ {k} \ Psi _ {k} h_ {k}}

Az együttható az ${\ displaystyle h_ {k}}$

{\ displaystyle h_ {k} = \ sum _ {P} a_ {j_ {0}} g_ {j_ {1}} g_ {j_ {2}} \ ldots g_ {j_ {k}}}

ahol az összeg kiterjed valamennyi „ partíciót a széles értelemben vett” a n be k + 1 rész, azaz az összes ( k + 1) tuple j a pozitív vagy nulla egész szám az összege n .

Az Appell polinomok esetében ez a képlet a következő lesz:

{\ displaystyle p_ {n} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {a_ {nk} z ^ {k}} {k!}}}

Ismétlődési viszonyok

Ekvivalensen, szükséges és elégséges feltétele a kernel írandó, mint a hogy ${\ displaystyle K (z, w)}$ ${\ displaystyle A (w) \ Psi (zg (w))}$ ${\ displaystyle g_ {1} = 1}$

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges K (z, w)} {\ részleges w}} = c (w) K (z, w) + {\ frac {zb (w)} {w}} {\ frac {\ részleges K (z, w)} {\ részleges z}}}

hol és van soros fejlesztés ${\ displaystyle b (w)}$ ${\ displaystyle c (w)}$

{\ displaystyle b (w) = {\ frac {w} {g (w)}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} w}} g (w) = 1 + \ összeg _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} w ^ {n}}

és

{\ displaystyle c (w) = {\ frac {1} {A (w)}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} w}} A (w) = \ összeg _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} w ^ {n}}

Cserével

{\ displaystyle K (z, w) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} p_ {n} (z) w ^ {n}}

azonnal jön a megismétlődés relációja :

{\ displaystyle z ^ {n + 1} {\ frac {d} {dz}} \ balra [{\ frac {p_ {n} (z)} {z ^ {n}}} \ jobbra = = \ összeg _ {k = 0} ^ {n-1} c_ {nk-1} p_ {k} (z) -z \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} b_ {nk} {\ frac {d } {dz}} p_ {k} (z)}

A konkrét esetben a Brenke polinomok, van , és ezért minden nulla, amely jelentősen egyszerűsíti a rekurzív sorozat. ${\ displaystyle g (w) = w}$ $b_n$

Szerzői hitel

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia " Általánosított Appell-polinomok " című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .

Bibliográfia

(en) Ralph P. Boas, Jr. és R. Creighton Buck (en) , Az analitikai funkciók polinomiális kiterjesztése , New York / Berlin, Academic Press / Springer-Verlag ,1964, 2 nd ed.
(en) William C. Brenke, „ A polinom rendszerek függvényeinek létrehozásáról ” , Amer. Math. Hónap. , vol. 52,1945, P. 297-301
(en) WN Huff, „ Az f (xt) φ (t) által generált polinomok típusa ” , Duke Math. J. , vol. 14,1947, P. 1091-1104