Yukawa potenciál

A Yukawa-potenciál (más néven „ átvilágított Coulomb-potenciál” ) a forma potenciálja

{\ displaystyle V (r) = - g ^ {2} \; {\ frac {e ^ {- mr}} {r}}}

Hideki Yukawa kimutatta az 1930-as, hogy egy ilyen potenciális fakad cseréjét egy hatalmas skalármező , mint amilyen a tömeges pion . A mező közvetítő részecskéje, amelynek tömege van, a megfelelő erő tartománya fordítottan arányos a tömegével. Nulla tömeg esetén a Yukawa-potenciál egyenértékűvé válik egy Coulomb-potenciállal , és a tartományát végtelennek tekintik. $m$

A fenti egyenletben a potenciál negatív, jelezve, hogy az erő vonzó. A konstans g egy valós szám ; egyenlő a mezonikus mező és a fermionos mező közötti kapcsolási állandóval , amellyel kölcsönhatásba lép. A magfizika esetében a fermionok lennének a proton és a neutron .

Yukawa Potenciál megszerzése

Kezdjük a Klein-Gordon egyenletből :

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^ {2} \ Psi} {\ részleges x ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} \ Psi} {\ részleges y ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} \ Psi} {\ részleges z ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} \ Psi} {\ részleges (ict) ^ {2}}} = \ balra ({\ frac {2 \ pi m_ {0} c} {h}} \ jobbra) ^ {2} \ Psi}

Ha a második tag nulla, akkor megkapjuk az elektromágneses hullámok egyenletét:

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^ {2} \ Psi} {\ részleges x ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} \ Psi} {\ részleges y ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} \ Psi} {\ részleges z ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} \ Psi} {\ részleges (ict) ^ {2}}} = 0}

Ha ezenkívül a hullámfüggvény független az időtől, akkor megkapjuk az elektrosztatikus mező egyenletét, vagyis a Laplace-egyenletet:

{\ displaystyle \ Delta \ Psi = 0}

Végül a gömbszimmetriában az r és a pontterhelés távolságának függvényében megkapjuk a Coulomb mező Laplace-egyenletét:

{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} r}} \ bal (r ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} \ Psi} {\ mathrm {d} r}} \ right) = 0}

A Yukawa potenciál gömbszimmetrikus és statikus, de megtartja a második végtagot. A Klein-Gordon-egyenlet :

{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} r}} \ bal (r ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} \ Psi} {\ mathrm {d} r}} \ right) = \ left ({\ frac {2 \ pi m_ {0} c} {h}} \ right) ^ {2} \ Psi}

hol lenne a mezon vagy a pion tömege . Ennek a differenciálegyenletnek a fizikailag elfogadható megoldása Yukawa potenciálja vagy V (r) (a hullámfüggvény potenciálissá válik): $m_0$ ${\ displaystyle \ Psi (r)}$

{\ displaystyle \ Psi (r) = - g ^ {2} \; {\ frac {e ^ {- \ bal ({\ frac {2 \ pi m_ {0} c} {h}} \ jobb) r} } {r}} = - g ^ {2} \; {\ frac {e ^ {- {\ frac {2 \ pi r} {\ lambda _ {C}}}}} {r}}}

hol van a Compton hullámhossza. A potenciál negatív, mert kötőerő, erős kölcsönhatás, vonzerő potenciál két nukleon között, r távolságban. A proton hatósugara egy tömegnek felel meg , annak a mezonnak, amelynek létezését így Yukawa megjósolta. $\ lambda _ {C}$ ${\ displaystyle 10 ^ {- 15} m}$ ${\ displaystyle m_ {0} = 140MeV}$

A bizonytalanság elvének alkalmazása

Körülbelül számolhatunk. A határozatlansági elv a Heisenberg felírható:

{\ displaystyle \ Delta E \ times \ Delta t \ geq \ hbar}

Tegyük fel, hogy az időbeli bizonytalanság megegyezik a kölcsönhatás idejével (így lesz egy minimumunk, mivel a maximum lesz), és számoljon . Nekünk van: $\ Delta E$ $\ Delta t$ ${\ displaystyle \ Delta E_ {min}}$

{\ displaystyle \ Delta t = {\ frac {\ mathrm {a ~ cél ~ dimenziója (proton ~ sugara ~ 1 ~ fm} = 10 ^ {- 15} \ mathrm {m)}} {\ mathrm a ~ lövedék ~ sebessége ~ (} c \ mathrm {)}}}} = {\ frac {R_ {P}} {c}}}

${\ displaystyle \ Delta E_ {min} = {\ frac {\ hbar} {\ Delta {t_ {max}}}} = {\ frac {\ hbar c} {R_ {p}}} = {\ frac {6 , 6,10 ^ {- 34} \ szor 3,10 ^ {8}} {2 \ pi \ szor 10 ^ {15}}} = 3,2.10 ^ {- 11} J = 3,2,10 ^ {- 11} \ szor 6 , 24,10 ^ {18} = 200MeV}$ Megtaláljuk a várható nagyságrend értékét.

Pontosan ugyanazt az eredményt kapjuk a proton Compton hullámhosszára alkalmazott anyaghullám de Broglie relációjával :

{\ displaystyle m = {\ frac {h} {\ lambda v}} = {\ frac {h} {\ lambda _ {P} c}} = {\ frac {\ hbar} {R_ {P} c}} }

amely ugyanolyan közelítést ad a mezon energiájához: ${\ displaystyle mc ^ {2} = {\ frac {\ hbar c} {R_ {p}}}}$

Fourier transzformáció

A legegyszerűbb módja annak megértése, hogy Yukawa lehetőségei egy hatalmas mezővel társulnak, ha megnézzük Fourier-transzformációját . Nekünk van

{\ displaystyle V (r) = {\ frac {-g ^ {2}} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ int e ^ {i \ mathbf {k \ cdot r}} {\ frac { 4 \ pi} {k ^ {2} + m ^ {2}}} \; d ^ {3} k}

ahol az integrált a k nyomatékvektor összes lehetséges értékére számoljuk . Ebben a formában látjuk a frakció a szaporító vagy Green függvény a Klein-Gordon egyenlet . ${\ displaystyle 4 \ pi / (k ^ {2} + m ^ {2})}$

Feynman amplitúdója

A Yukawa-potenciál elsőrendű fermion pár kölcsönhatásának amplitúdójaként vezethető le. A Yukawa-kölcsönhatás a fermionos mezőt a mezonikus mezőhöz kapcsolja a kapcsolási kifejezéssel ${\ displaystyle \ psi (x)}$ $\ phi (x)$

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {int}} (x) = g {\ overline {\ psi}} (x) \ phi (x) \ psi (x)}

A diffúziós amplitúdója két fermion, az egyik kezdeti impulzussal és a másik lendület , amely csere egy mezon a pillanat k , által adott Feynman diagramot a jobb oldalon. $p_1$ $p_2$

Feynman szabályai minden csúcshoz társítják a multiplikatív g tényezőt az amplitúdóval; Ennek a diagramnak két csúcsa van, a teljes amplitúdót egy multiplikatív tényező befolyásolja . A két fermion vonalat összekötő középvonal a mezon cseréjét jelenti. Feynman szabálya szerint a részecskék cseréje magában foglalja a szaporító használatát; egy hatalmas mezon esetében ez utóbbi . Így ennek a grafikonnak a Feynman-amplitúdója egyszerűen ${\ displaystyle g ^ {2}}$ ${\ displaystyle -4 \ pi / (k ^ {2} + m ^ {2})}$

{\ displaystyle V (\ mathbf {k}) = - g ^ {2} {\ frac {4 \ pi} {k ^ {2} + m ^ {2}}}}

Az előző szakaszból világosan láthatjuk, hogy ez a Yukawa-potenciál Fourier-transzformációja.

Hivatkozások

Escoubès, B, Leite Lopes, J, A kvantumfizika forrásai és evolúciója, Alapító szövegek, EDP Sciences, 2005
Foos, J, A felhasználók radioaktivitásának kézikönyve, Formascience, Orsay, 1993

(en) Gerald Edward Brown és AD Jackson, The Nucleon-Nucleon Interaction , (1976) North-Holland Publishing, Amszterdam ( ISBN 0-7204-0335-9 )

Klein-Gordon-egyenlet