Kölcsönös kép

A matematika , a kölcsönös kép - vagy a előképe - egy részének B egy sor Y egy térkép f  : X → Y jelentése a részhalmaza X alkotják az elemek, amelyeknek képet f tartozik B  : . Ezért jellemzi: f-1(B)={x∈x∣f(x)∈B}{\ displaystyle f ^ {- 1} (B) = \ {x \ X-ben \ f f-ben (x) \ B-ben}}

x∈f-1(B)⇔f(x)∈B{\ displaystyle x \ in f ^ {- 1} (B) \ Balra mutató nyíl f (x) \ B-ben}

Példák

• Egy szingulett inverz képe egy f függvénnyel az y előzményeinek halmaza f által .f-1({y}){\ displaystyle f ^ {- 1} (\ {y \})} {y}{\ displaystyle \ {y \}}
• Tekintsük az f  : {1, 2, 3} → { a , b , c , d } térképet , amelyet f (1) = a , f (2) = c , f (3) = d határoz meg . Az inverz képe { a , b } által f jelentése F -1 ({ a , b }) = {1}.

A "kölcsönös kép" alkalmazás

Ezzel a meghatározás, F -1 a „kölcsönös kép (a f )” map, amelynek definíciós készlet a készlet részeit az Y , és amelynek végén beállított halmaza részeinek X .

Vigyázat  : Ha f egy bijekciót , ne keverjük össze ezt az alkalmazást, hogy az alkatrészeket a inverz bijekciót a F , szintén jelöljük f -1 az Y a X . Az f által előírt reciprok képet a közvetlen képpel ez az f −1 kölcsönös bijekció azonosítja . A félreértések elkerülése végett Birkhoff és Mac Lane egy „beállított térképről” beszélnek, amelyet f −1 helyett f * -gal jelölnek .

Elemi tulajdonságok

• Valamennyi fél számára , és ettől  : B1{\ displaystyle B_ {1}}B2{\ displaystyle B_ {2}}Y{\ displaystyle Y} f-1(B1∪B2)=f-1(B1)∪f-1(B2){\ displaystyle f ^ {- 1} \ bal (B_ {1} \ csésze B_ {2} \ jobb) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ csésze f ^ {- 1} (B_ {2 })} ; f-1(B1∩B2)=f-1(B1)∩f-1(B2){\ displaystyle f ^ {- 1} \ bal (B_ {1} \ cap B_ {2} \ right) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ cap f ^ {- 1} (B_ {2 })} ; f-1(B1∖B2)=f-1(B1)∖f-1(B2){\ displaystyle f ^ {- 1} \ bal (B_ {1} \ setminus B_ {2} \ right) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ setminus f ^ {- 1} (B_ {2 })}.
• Bármely része a , . B{\ displaystyle B}Y{\ displaystyle Y}f(f-1(B))=B∩énm(f){\ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B \ cap \ mathrm {Im} (f)}
  • Különösen, ha van szürjektıv majd . f{\ displaystyle f}f(f-1(B))=B{\ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B}Mi is azt bizonyítják, hogy az szürjektıv akkor és csak akkor bármely része a mi .f{\ displaystyle f}B{\ displaystyle B}Y{\ displaystyle Y}f(f-1(B))=B{\ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B}
• Bármely része a , . NÁL NÉL{\ displaystyle A}x{\ displaystyle X}NÁL NÉL⊂f-1(f(NÁL NÉL)){\ displaystyle A \ f f {/ 1} részhalmaz (f (A))}A másik irányba történő befogadás általában hamis, ha nem injektív .f{\ displaystyle f} Mi is azt bizonyítják, hogy injektıv akkor és csak akkor bármely része a mi .f{\ displaystyle f}NÁL NÉL{\ displaystyle A}x{\ displaystyle X}f-1(f(NÁL NÉL))=NÁL NÉL{\ displaystyle f ^ {- 1} (f (A)) = A}
• Az alkatrészek nem üres családja esetén  : (Bén)én∈én{\ displaystyle \ bal (B_ {i} \ jobb) _ {i \ I}}Y{\ displaystyle Y} f-1(⋂én∈énBén)=⋂én∈énf-1(Bén){\ displaystyle f ^ {- 1} \ balra (\ bigcap _ {i \ I-ben} B_ {i} \ jobbra) = \ bigcap _ {i \ -re I} f ^ {- 1} (B_ {i}) } ; f-1(⋃én∈énBén)=⋃én∈énf-1(Bén){\ displaystyle f ^ {- 1} \ balra (\ bigcup _ {i \ I} B_ {i} \ jobbra) = \ bigcup _ {i \ I} f ^ {- 1} (B_ {i}) }.
• Figyelembe véve, egy alkalmazás több , akkor az inverz kép egy részét a a kompozit van: g:Y→Z{\ displaystyle g: Y \ jobbra nyíl Z}VS{\ displaystyle C}Z{\ displaystyle Z} g∘f{\ displaystyle g \ circ f}(g∘f)-1(VS)=f-1(g-1(VS)).{\ displaystyle (g \ circ f) ^ {- 1} \ bal (C \ jobb) = f ^ {- 1} (g ^ {- 1} (C)).}

Megjegyzések és hivatkozások

1. Saunders Mac Lane és Garrett Birkhoff , Algebra [ a kiadások részletei ], repülés. 1. o.  8 .
2. A bemutatót lásd például a Wikegyetem megfelelő gyakorlatának válaszában .

Kapcsolódó cikkek

• Kölcsönös bináris reláció
• A kölcsönös képművelet a differenciálgeometriában , más néven "pullback" vagy "pullback".