D'Alembert-elv
Az elv d'Alembert egy alapelv az analitikus mechanika arról, hogy minden feszültség révén a rendszer működik, nem egy virtuális elmozdulás .
Ezt az elvet különféle fogalmakkal 1743- ban Jean le Rond d'Alembert fogalmazta meg a Dinamikáról szóló értekezésében; akkor Joseph-Louis Lagrange használta az analitikai mechanika fejlesztésében , különösen annak érdekében, hogy 1788 - ban bemutassa az Euler-Lagrange-egyenleteket a dinamika alapelvéből kiindulva , anélkül, hogy a legkevesebb cselekvés elvén ment volna keresztül (ez a módszer lehetővé tette számára hogy megtalálja őket 1756-ban).
Valójában ez az elv azt feltételezi, hogy például az a táblázat, amelyre egy tárgy kerül, passzív (csak a testre ható reakcióerőket állítja szembe), és semmilyen gyorsulást vagy energiát nem biztosít számára.
Matematikai megfogalmazás
Feltételezhető, hogy a rendszer jellemzi véges P az anyagot pont alá korlátok (merevségek, területének határai az evolúció, a mechanikai kötések, stb), de anélkül, hogy a súrlódás .
Meghatározása a virtuális elmozdulás a rendszer: ez egy pillanatnyi és végtelenül elmozdulását pontok P , és tiszteletben tartva a fizikai korlátok.
δr→{\ displaystyle \ delta {\ vec {r}}}
A feszültségerők a testre ható erők, amelyek tiszteletben tartják a fizikai kényszereket (az asztal reakcióereje, amelyre a test van elhelyezve, a merevség ellenállása a külső erőkkel szemben ...).
D'Alembert elve szerint a rendszerre kifejtett összes feszültség nem működik (nem termel vagy nem fogyaszt energiát ) egy virtuális elmozdulás során:
Ha a feszültségerők mindegyikre vonatkoznak , akkor a test bármilyen virtuális elmozdulásához :
R→én{\ displaystyle {\ vec {R}} _ {i}}én∈P{\ displaystyle i \ in P} (δr→én)én∈P{\ displaystyle \ left (\ delta {\ vec {r}} _ {i} \ right) _ {i \ in P}}
∑én∈PR→én⋅δr→én=0{\ displaystyle \ sum _ {i \ in P} {\ vec {R}} _ {i} \ cdot \ delta {\ vec {r}} _ {i} = 0} (d'Alembert egyenlete),A a
gyorsulás és a erők összege (amelyek nem kényszer) fejt ki , és segítségével
alapelve a dinamika , ami meg van írva , az egyik szerez
nál nél→én{\ displaystyle \ {\ vec {a}} _ {i}}F→én{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i}} én∈P{\ displaystyle \ i \ P-ben}mén.nál nél→én=F→én+R→én{\ displaystyle \ textstyle m_ {i}. {\ vec {a}} _ {i} = {\ vec {F}} _ {i} + {\ vec {R}} _ {i}}∑én∈P(F→én-ménnál nél→én)⋅δr→én=0{\ displaystyle \ sum _ {i \ in P} \ bal ({\ vec {F}} _ {i} -m_ {i} {\ vec {a}} _ {i} \ right) \ cdot \ delta { \ vec {r}} _ {i} = 0}
Bizonyítsuk be Lagrange egyenleteit
A derékszögű koordinátákban és inerciális referenciakeretben a D'Alembert-egyenlet és a dinamika alapelve ad ; a n generalizált koordinátáit kapjuk , ahol a és a rendre, a generalizált erők és a gyorsulás .
∑én∈P(F→én-ménnál nél→én)⋅δr→én=0{\ displaystyle \ sum _ {i \ in P} \ bal ({\ vec {F}} _ {i} -m_ {i} {\ vec {a}} _ {i} \ right) \ cdot \ delta { \ vec {r}} _ {i} = 0} ∑j=1nem(Qj-NÁL NÉLj)⋅δqj=0{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ balra (Q_ {j} -A_ {j} \ jobbra) \ cdot \ delta q_ {j} = 0} (Qj)j=1,..,nem{\ displaystyle \ \ bal (Q_ {j} \ jobb) _ {j = 1, .., n}} (NÁL NÉLj)j=1,..,nem{\ displaystyle \ \ bal (A_ {j} \ jobb) _ {j = 1, .., n}}
Ha az általánosított koordináták függetlenek, akkor mindenre következtethetünk belőlük .
NÁL NÉLj=Qj{\ displaystyle \ A_ {j} = Q_ {j}} j=1,...,nem{\ displaystyle \ j = 1, ..., n}
A rendszer teljes
kinetikus energiáját felírják .
T=12∑én∈Pmén(r→˙én)2{\ displaystyle \ T = {1 \ felett 2} \ sum _ {i \ in P} m_ {i} \ balra ({\ dot {\ vec {r}}} _ {i} \ jobbra) ^ {2} }Egyes számítások azt mutatják . Ezután elérjük az egyenlőséget .
NÁL NÉLj=ddt∂T∂q˙j-∂T∂qj{\ displaystyle \ A_ {j} = {d \ over dt} {\ frac {\ részleges T} {\ részleges {\ pont {q}} _ {j}}} - {\ frac {\ részleges T} {\ részleges q_ {j}}}} ddt∂T∂q˙j-∂T∂qj=Qj{\ displaystyle \ {d \ over dt} {\ frac {\ részleges T} {\ részleges {\ pont {q}} _ {j}}} - {\ frac {\ részleges T} {\ részleges q_ {j} }} = Q_ {j}}Honnan, ha az
erő konzervatív (azaz és ), vagy ha (mint az
elektromágneses erő esetében ), akkor a következtetéssel a következtetésre jut:
Qj=-∂U∂qj{\ displaystyle \ Q_ {j} = - {\ frac {\ részleges U} {\ részleges q_ {j}}}} ∂U∂q˙j=0{\ displaystyle \ {\ frac {\ részleges U} {\ részleges {\ pont {q}} _ {j}}} = 0} Qj=ddt∂U∂q˙j-∂U∂qj{\ displaystyle \ Q_ {j} = {d \ over dt} {\ frac {\ részleges U} {\ részleges {\ pont {q}} _ {j}}} - {\ frac {\ részleges U} {\ részleges q_ {j}}}} L=T-U{\ displaystyle \ L = TU}
ddt∂L∂q˙j-∂L∂qj=0{\ displaystyle \ {d \ over dt} {\ frac {\ részleges L} {\ részleges {\ pont {q}} _ {j}}} - {\ frac {\ részleges L} {\ részleges q_ {j} }} = 0}, amely a
Lagrange-egyenletek .
Ha az általánosított koordinátákat nem függetlenek, és ha csak egy kényszer, akkor tudunk következtetni, hogy , minden , és ahol a vektoros arányos a vektor általánosított erő a korlát (ami meglehetősen könnyen kiszámítható a holonomikus kényszer ), a hozzá tartozó arányossági együtthatóval ( Lagrange-szorzó ). Minden korlát egy további hasonló kifejezést ad hozzá. Ezután megkapjuk:
NÁL NÉLj-Qj=λ.Zj{\ displaystyle \ A_ {j} -Q_ {j} = \ lambda .Z_ {j}} j=1,...,nem{\ displaystyle \ j = 1, ..., n} (Zj)j=1,...,nem{\ displaystyle \ (Z_ {j}) _ {j = 1, ..., n}} λ=λ(q,q˙,t){\ displaystyle \ \ lambda = \ lambda (q, {\ dot {q}}, t)}
ddt∂L∂q˙j-∂L∂qj=λ.Zj{\ displaystyle \ {d \ over dt} {\ frac {\ részleges L} {\ részleges {\ pont {q}} _ {j}}} - {\ frac {\ részleges L} {\ részleges q_ {j} }} = \ lambda .Z_ {j}}, amely a
Lagrange-egyenletek ,
Lagrange-szorzóval .
Megjegyzések és hivatkozások
-
Ezek a számítások az egyenleteket és , ahol használják ∂r→˙én∂q˙j=∂r→én∂qj{\ displaystyle \ {\ frac {\ részleges {\ pont {\ vec {r}}} _ {i}} {\ részleges {\ pont {q}} _ {j}}} = {\ frac {\ részleges { \ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ {j}}}} ddt∂r→én∂qj=∂r→˙én∂qj{\ displaystyle \ {d \ over dt} {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ {j}}} = {\ frac {\ részleges {\ pont {\ vec {r}}} _ {i}} {\ részleges q_ {j}}}} r→én=r→én(q1,q2,...,qnem,t){\ displaystyle \ {\ vec {r}} _ {i} = {\ vec {r}} _ {i} (q_ {1}, q_ {2}, ..., q_ {n}, t)}
-
a rendszer szabadságának mértékének kifejtésével a figyelembe vett n- dimenziós térben : lásd a Mechanika I. fejezetének 1.2. Kiegészítését , 34–35. O . : Claude Gignoux és Bernard Silvestre-Brac a lagrangi megfogalmazástól a hamiltoni káoszig; EDP-Sciences szerkesztő, 2002, 467 oldal ( ISBN 2868835848 ) .
Lásd is
Kapcsolódó cikkek
Bibliográfia
- Claude Gignoux és Bernard Silvestre-Brac; Mechanika: a lagrangi fogalmazástól a hamiltoni káoszig , EDP-Sciences szerkesztő, 2002, ( ISBN 2-86883-584-8 ) .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">