Lorentz erő
A Lorentz-erő vagy elektromágneses erő az az erő, amelyet egy töltött elektromágneses mezőben lévő részecske tapasztal .
Ez az elektromágneses interakció fő megnyilvánulása . A különféle helyzetekben alkalmazott Lorentz-erő az összes megfigyelt elektromos és mágneses kölcsönhatást kiváltja; ezért főleg a fizikában és a kémiában tanulják .
Quantum hatások befolyásolják az elektromágneses erő tanulmányozták keretében kvantumelektrodinamika .
A névadó Lorentz erő Hendrik Antoon Lorentz holland fizikus ( 1853-1928).
Matematikai leírás
Az elektromágneses tér a következő erőt gyakorolja a nulla
elektromos töltéssel rendelkező részecskékre q
F→=qE→+qv→∧B→{\ displaystyle {\ vec {F}} = q {\ vec {E}} + q {\ vec {v}} \ ék {\ vec {B}}}.
A részecskék elhelyezkedésének helyén felvett vektorok , illetve elektromos mező, illetve mágneses mező képviselik a részecske sebességét a vizsgálati referenciakeretben. Két erőt különböztethetünk meg ehhez az erőhöz:
E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}B→{\ displaystyle {\ vec {B}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}
-
Fel→=qE→{\ displaystyle {\ vec {F _ {\ text {el}}}} = q {\ vec {E}}}, amely az elektromos erő;
-
Fmag→=qv→∧B→{\ displaystyle {\ vec {F _ {\ text {mag}}}} = q {\ vec {v}} \ ék {\ vec {B}}}, amely a mágneses erő.
Abban az esetben, ha az elektromos töltés egy meghatározott megnevezett helyzetben áll , a sebessége tehát nulla, és semmilyen mágneses erőnek nincs kitéve: a kereszttermék nulla, és a töltetet ezután olyan erőnek vetik alá, amely csak a az elektromos mező .
r→′{\ displaystyle {\ vec {r}} '} v→∧B→{\ displaystyle {\ vec {vb}} \ ék {\ vec {B}}}E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}
F→=Fel→=qE→{\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ vec {F _ {\ text {el}}}} = q {\ vec {E}}}.
Az elektromos mező által kifejtett azt követően adott Coulomb-törvény :
r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}
E→=q4πε0r→-r′→|r→-r′→|3{\ displaystyle {\ vec {E}} = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {{\ vec {r}} - {\ vec {r '}}} {| {\ vec {r}} - {\ vec {r '}} | ^ {3}}}},
ε 0 egy egyetemes állandó úgynevezett permittivitás a vákuumot (a helyébe a permittivitás a közeg, amikor nem vagyunk vákuum).
Az erő kiszámítását csak akkor végezzük, ha ismerjük a mezők értékét, és amelyeket elsősorban a vizsgált konfigurációban részt vevő összes töltött részecske eloszlása határoz meg.
E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}B→{\ displaystyle {\ vec {B}}}
A Lorentz-erő képletének bemutatása
Történelmileg a Lorentz-erő adott volt az elektromágneses teret leíró egyenlettől függetlenül. Megtalálhatjuk Lorentz erejét a lagrangi formalizmusnak köszönhetően . A Lagrangian, amely lehetővé teszi Maxwell egyenleteinek megtalálását, lehetővé teszi Lorentz erejének megtalálását is. Maxwell egyenletei a forrásegyenletek, Lorentz ereje pedig az evolúciós egyenlet (dinamikus egyenlet). Mindkettőt megtaláljuk az Euler-Lagrange egyenletnek köszönhetően . A dinamikus egyenletek megtalálásához az Euler-Lagrange-egyenleteket alkalmazzuk a tér koordinátáira (pozíciók, sebességek), és a forrásegyenletek megtalálásához (Maxwell-egyenlet) az Euler-Lagrange-egyenleteket alkalmazzuk az általánosított koordinátákra (mezőkre és derivatívákra). a mező). Egy elektromos térnek kitett, egy pont által töltött részecske hatása:
S=∫t1t2(-mvs.21-V→2vs.2-qϕ+qNÁL NÉL→⋅V→)dt{\ displaystyle S = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ balra (-mc ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ tfrac {{\ vec {V}} ^ {2 }} {c ^ {2}}}}} - q \ phi + q {\ vec {A}} \ cdot {\ vec {V}} \ right) dt}.
val vel
S=∫t1t2Ldt{\ displaystyle S = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L \, dt}.
Az Euler-Lagrange egyenletek alkalmazásához tehát először a pillanatot keressük:
Π=∂L∂V→=mV→1-V→2vs.2+qNÁL NÉL→{\ displaystyle \ Pi = {\ frac {\ részleges L} {\ részleges {\ vec {V}}}} = {\ frac {m {\ vec {V}}} {\ sqrt {1 - {\ frac { {\ vec {V}} ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} + q {\ vec {A}}}Az értékelés kissé visszaélésszerű. Az Euler-Lagrange egyenlet azt mondja nekünk, hogy:
∂L∂V→{\ displaystyle {\ frac {\ részleges L} {\ részleges {\ vec {V}}}}}
dΠdt=d(P→+qNÁL NÉL→)dt=∂L∂x→=-q∇ϕ+q∇(NÁL NÉL→.V→){\ displaystyle {\ frac {d \ Pi} {dt}} = {\ frac {d ({\ vec {P}} + q {\ vec {A}})} {dt}} = {\ frac {\ részleges L} {\ részleges {\ vec {x}}}} = - q \ nabla \ phi + q \ nabla ({\ vec {A}}. {\ vec {V}})}.
és
dNÁL NÉL→dt=∂NÁL NÉL→∂t+(V→.∇)NÁL NÉL→{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {A}}} {dt}} = {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges t}} + ({\ vec {V}} . \ nabla) {\ vec {A}}}.
ebből kifolyólag
dP→dt+q∂NÁL NÉL→∂t+q(V→.∇)NÁL NÉL→=-q∇ϕ+q∇(NÁL NÉL→.V→){\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {P}}} {dt}} + q {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges t}} + q ({\ vec {V }}. \ nabla) {\ vec {A}} = - q \ nabla \ phi + q \ nabla ({\ vec {A}}. {\ vec {V}})}.
És a vektor-identitás felhasználásával
V→∧(∇∧NÁL NÉL→)=∇(NÁL NÉL→⋅V→)-(V→⋅∇)NÁL NÉL→{\ displaystyle {\ vec {V}} \ wedge (\ nabla \ wedge {\ vec {A}}) = \ nabla ({\ vec {A}} \ cdot {\ vec {V}}) - ({\ vec {V}} \ cdot \ nabla) {\ vec {A}}}.
azt kapjuk
dP→dt=-q∂NÁL NÉL→∂t-q∇ϕ+q(V→∧(∇∧NÁL NÉL→)){\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {P}}} {dt}} = - q {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges t}} - q \ nabla \ phi + q \ bal ({\ vec {V}} \ ék (\ nabla \ wedge {\ vec {A}}) \ jobb)}.
vagy a Lorentz-erő, ha
∇∧NÁL NÉL→=B→{\ displaystyle \ nabla \ wedge {\ vec {A}} = {\ vec {B}}}.
és
E→=-∇ϕ-∂NÁL NÉL→∂t{\ displaystyle {\ vec {E}} = - \ nabla \ phi - {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges t}}}.
A Maxwell-egyenleteknek köszönhetően Lorentz erejét is megjeleníthetjük, forrásként szerepel az elektromágneses tér impulzus-sűrűségének folytonosságának egyenletében. Is
∂(E→∧B→)μ0∂t+ρE→+j→∧B→-∇σ=0{\ displaystyle {\ frac {\ részleges ({\ vec {E}} \ ék {\ vec {B}})} {\ mu _ {0} \ részleges t}} + \ rho {\ vec {E}} + {\ vec {j}} \ ék {\ vec {B}} - \ nabla \ sigma = 0}.
A Maxwell feszültségtenzor.
σ{\ displaystyle \ sigma}
Átélhetjük a relativisztikus lagrangi formalizmust is , amelyet a speciális relativitáselméletre alkalmazunk . Ebben az összefüggésben egy részecske mozgását az elektromágneses mezőnek kitett x b ( τ ) pálya mentén a művelete írja le , amelynek alakja ott van
, ahol az A i mennyiség az, amit négyes potenciálnak nevezünk , amelyből az elektromos potenciál és a vektorpotenciál, amely teljes mértékben meghatározza az elektromos teret és a mágneses teret.
S=∫qNÁL NÉLbdxb{\ displaystyle S = \ int qA_ {b} \; {\ rm {d}} x ^ {b}}
Mi határozza meg a szokásos módon a speciális relativitáselmélet a quadrispeed által
unál nél≡dxnál néldτ,{\ displaystyle u ^ {a} \ equiv {\ frac {\ rm {dx ^ {a}}} {\ rm {d \ tau}}} \ quad,}ami lehetővé teszi a művelet formában történő átírását
S=∫qNÁL NÉLbubdτ{\ displaystyle S = \ int qA_ {b} u ^ {b} \; {\ rm {d}} \ tau}.
A cselekvési formalizmusban (amely a Lagrangian integrálja ) a pályát az akció maximalizálása határozza meg az x b ( τ ) pálya lehetséges variációihoz képest . A pálya kifejezetten megjelenik a sebesség kvadrivektorában, de implicit módon a kvadrotenciálban is, mivel ezt a pálya minden pontján kiértékelik. Így ad a cselekvés variációja
δS=∫q(NÁL NÉLbdδxbdτ+δxnál nél∂nál nélNÁL NÉLbub)dτ{\ displaystyle \ delta S = \ int q \ left (A_ {b} {\ frac {{\ rm {d}} \ delta x ^ {b}} {{\ rm {d}} \ tau}} + \ delta x ^ {a} \ részleges _ {a} A_ {b} u ^ {b} \ jobbra) \; {\ rm {d}} \ tau}.
Az első kifejezést részben integrálhatjuk, megszerezhetjük
δS=∫q(-dNÁL NÉLbdτδxb+δxnál nél∂nál nélNÁL NÉLbub)dτ{\ displaystyle \ delta S = \ int q \ left (- {\ frac {{\ rm {d}} A_ {b}} {{\ rm {d}} \ tau}} \ delta x ^ {b} + \ delta x ^ {a} \ részleges _ {a} A_ {b} u ^ {b} \ jobbra) \; {\ rm {d}} \ tau},
de mivel a kvadrupotenciális függvényt csak a pályák pontjainál értékelik, megvan
δS=∫q(-unál nél∂nál nélNÁL NÉLbδxb+δxnál nél∂nál nélNÁL NÉLbub)dτ{\ displaystyle \ delta S = \ int q \ bal (-u ^ {a} \ részleges _ {a} A_ {b} \ delta x ^ {b} + \ delta x ^ {a} \ részleges _ {a} A_ {b} u ^ {b} \ jobbra) \; {\ rm {d}} \ tau}.
Az összes kifejezés összesítésével jön
δS=∫q((∂nál nélNÁL NÉLb-∂bNÁL NÉLnál nél)ub)δxnál néldτ{\ displaystyle \ delta S = \ int q \ balra ((\ részleges _ {a} A_ {b} - \ részleges _ {b} A_ {a}) u ^ {b} \ jobbra) \; \ delta x ^ {a} \; {\ rm {d}} \ tau}.
A kifejezés az integrál eltekintve a d τ , és az AX egy ad az erő. Bevezetésével a elektromágneses tenzor F ab , hogy
Fnál nélb=∂nál nélNÁL NÉLb-∂bNÁL NÉLnál nél{\ displaystyle F_ {ab} = \ részleges _ {a} A_ {b} - \ részleges _ {b} A_ {a}},
az erő f egy , ezért írásbeli
fnál nél=qFbnál nélub{\ displaystyle f ^ {a} = qF _ {\; \; b} ^ {a} u ^ {b}}.
Maxwell egyenleteinek felépítése miatt bebizonyosodik, hogy a mágneses mező felírható egy vektor forgásaként , a mágneses mező vektorpotenciálaként . Az elektromágneses tenzor térbeli része azonban megírható, ha az x , y , z ,
derékszögű koordinátákba helyezzük magunkat.
Fbnál nél=(0????0∂xNÁL NÉLy-∂yNÁL NÉLx∂xNÁL NÉLz-∂zNÁL NÉLx?∂yNÁL NÉLx-∂xNÁL NÉLy0∂yNÁL NÉLz-∂zNÁL NÉLy?∂zNÁL NÉLx-∂xNÁL NÉLz∂zNÁL NÉLy-∂yNÁL NÉLz0)=(0????0(rotNÁL NÉL)z-(rotNÁL NÉL)y?-(rotNÁL NÉL)z0(rotNÁL NÉL)x?(rotNÁL NÉL)y-(rotNÁL NÉL)x0){\ displaystyle F _ {\; \; b} ^ {a} = \ balra ({\ begin {tömb} {cccc} 0 &? &? &? \\? & 0 & \ részleges _ {x} A ^ {y} - \ részleges _ {y} A ^ {x} és \ részleges _ {x} A ^ {z} - \ részleges _ {z} A ^ {x} \\? & \ részleges _ {y} A ^ {x} - \ részleges _ {x} A ^ {y} és 0 & \ részleges _ {y} A ^ {z} - \ részleges _ {z} A ^ {y} \\? & \ részleges _ { z} A ^ {x} - \ részleges _ {x} A ^ {z} és \ részleges _ {z} A ^ {y} - \ részleges _ {y} A ^ {z} és 0 \ vége {tömb} } \ right) = \ left ({\ begin {tömb} {cccc} 0 &? &? &? \\? & 0 & ({\ rm {rot}} \; A) ^ {z} & - ({ \ rm {rot}} \; A) ^ {y} \\? & - ({\ rm {rot}} \; A) ^ {z} & 0 & ({\ rm {rot}} \; A) ^ {x} \\? & ({\ rm {rot}} \; A) ^ {y} & - ({\ rm {rot}} \; A) ^ {x} & 0 \ end {tömb}} \ jobb)}.
Alkalmazzák a térbeli része a négyszeres sebességgel, akkor ellenőrizze, megjegyezve forgási az , hogy mi van
B→{\ displaystyle {\ vec {B}}}NÁL NÉL→{\ displaystyle {\ vec {A}}}
Fbnál nélub=(?vyBz-vzByvzBx-vxBzvxBy-vyBx)+...=(?v→∧B→ ){\ displaystyle F _ {\; \; b} ^ {a} u ^ {b} = \ balra ({\ begin {tömb} {c}? \\ v ^ {y} B ^ {z} -v ^ {z} B ^ {y} \\ v ^ {z} B ^ {x} -v ^ {x} B ^ {z} \\ v ^ {x} B ^ {y} -v ^ {y} B_ {x} \ end {tömb}} \ jobb) + ... = \ balra ({\ begin {tömb} {c}? \\\\ {\ vec {v}} \ ék {\ vec {B}} \ \ ~ \ end {tömb}} \ jobbra}}.
Ha most az F tenzor időbeli összetevőit is figyelembe vesszük , akkor megvan
Fbnál nél=(0-1vs.2∂tNÁL NÉL→-∇→NÁL NÉLt0Bz-By-∇→NÁL NÉLt-∂tNÁL NÉL→-Bz0BxBy-Bx0){\ displaystyle F _ {\; \; b} ^ {a} = \ balra ({\ begin {array} {cccc} 0 && - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ részleges _ { t} {\ vec {A}} - {\ vec {\ nabla}} A ^ {t} & \\ & 0 & B ^ {z} & - B ^ {y} \\ - {\ vec {\ nabla }} A_ {t} - \ részleges _ {t} {\ vec {A}} & - B ^ {z} és 0 & B ^ {x} \\ & B ^ {y} & - B ^ {x} & 0 \ end {tömb}} \ jobbra}}.
Most, figyelembe véve Maxwell-egyenleteket, tudjuk, hogy az elektromos mezőt felírhatjuk a vektorpotenciál és az elektromos potenciálgradiens időderiváltjának ellentétének összegeként , amelyet asszimilálunk A t-re . Így megvan az erő négydimenziós kifejezése:
Fbnál nélub=(E→⋅v→vs.2E→+v→∧B→ ){\ displaystyle F _ {\; \; b} ^ {a} u ^ {b} = \ balra ({\ begin {tömb} {c} {\ frac {{\ vec {E}} \ cdot {\ vec {v}}} {c ^ {2}}} \\\\ {\ vec {E}} + {\ vec {v}} \ ék {\ vec {B}} \\ ~ \ end {tömb}} \ jobbra)}.
Nagyság
Az elektromágneses kölcsönhatás a négy elemi kölcsönhatás közül a második az erők sorrendjében. Alacsony energiánál, vagyis a kémiai vagy nukleáris reakciókénál, ez körülbelül százszor gyengébb, mint az erős kölcsönhatás , de 10 11, illetve 10 42- szeres mértékben meghaladja a gyenge és a gravitációs kölcsönhatást . A gravitációs jelenségek kivételével az elektromágneses kölcsönhatás az atomi skálán felelős a makroszkopikus skálán megfigyelhető legtöbb jelenségért. Valójában a makroszkopikus skálán az elektromágneses interakció megakadályozza, hogy egy tárgy átlépje a másikat, lehetővé teszi, hogy egy objektum erőt alkalmazzon egy másikra ( cselekvés-reakció elve ), vagy felelős a súrlódási erőkért.
Lorentz erőműve
A Lorentz-erő munkája megfelel az elektromágneses mező által a töltött részecskéknek továbbított energiának.
Az erő alkalmazási pontjának elemi elmozdulásához a Lorentz erő elemi munkája definíció szerint:
dℓ→{\ displaystyle d {\ vec {\ ell}}}F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}
δW=F→⋅dℓ→{\ displaystyle \ delta W = {\ vec {F}} \ cdot d {\ vec {\ ell}}}
δW=(qE→+qv→∧B→)⋅dℓ→{\ displaystyle \ delta W = (q {\ vec {E}} + q {\ vec {v}} \ ék {\ vec {B}}) \ cdot d {\ vec {\ ell}}}
Ahogy definíciónk szerint rendelkezünk , az következik:
dℓ→=v→dt{\ displaystyle d {\ vec {\ ell}} = {\ vec {v}} dt}
δW=qE→⋅v→dt+qv→∧B→⋅v→dt{\ displaystyle \ delta W = q {\ vec {E}} \ cdot {\ vec {v}} dt + q {\ vec {v}} \ wedge {\ vec {B}} \ cdot {\ vec {v }} dt}A második kifejezés eltűnik, az előállított vektor merőleges . Ezért végül megtaláljuk:
v→∧B→{\ displaystyle {\ vec {vb}} \ ék {\ vec {B}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}
δW=qE→⋅v→dt{\ displaystyle \ delta W = q {\ vec {E}} \ cdot {\ vec {v}} dt}A Lorentz-erő munkája tehát általában nem nulla. Másrészt azt látjuk, hogy a mágneses erő nem működik, csak az elektromos alkatrész működik, és ezért megváltoztathatja a töltött részecske mozgási energiáját.
Megjegyzések és hivatkozások
-
Diu és Leclecrq 2005 , sv Lorentz (erő), p. 391.
-
Taillet, Villain és Febvre 2018 , sv force de Lorentz, p. 315, oszlop 1 .
Lásd is
Bibliográfia
-
[Diu és Leclecrq 2005] Bernard Diu és Bénédicte Leclercq , La physique word à mot , Párizs, O. Jacob , coll. "Tudományok",február 2005, 1 st ed. , 1 köt. , 721 p. , beteg. és ábra. , 15,5 × 24 cm-es ( ISBN 2-7381-1578-0 , EAN 9782738115782 , OCLC 300.488.981 , nyilatkozat BNF n o FRBNF39927635 , SUDOC 08469470X , online bemutatót , olvasható online ) , sv Lorentz (force de), p. 391-392.
-
[Taillet, Villain és Febvre 2018] Richard Taillet , Loïc Villain és Pascal Febvre , Fizikai szótár , Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur , koll. / tudomány,2018. jan, 4 th ed. ( 1 st ed. 2008. május), 1 köt. , X -956 p. , beteg. és ábra. 17 × 24 cm-es ( ISBN 978-2-8073-0744-5 , EAN 9782807307445 , OCLC 1022951339 , értesítést BNF n o FRBNF45646901 , SUDOC 224.228.161 , online prezentáció , olvasható online ) , sv force de Lorentz, p. 315, oszlop 1.
Kapcsolódó cikkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">