Bernoulli-folyamat
A valószínűség és a statisztika , a Bernoulli folyamat egy sztochasztikus folyamat diszkrét , amely egy sorozata valószínűségi változók függetlenek , hogy veszik értékeiket két szimbólum. Prózai szempontból a Bernoulli-eljárás abból áll, hogy egy érmét egymás után többször felforgatnak, esetleg egy elrugaszkodott érmével. Az ilyen típusú szekvenciában szereplő változó nevezhető Bernoulli változónak .
A Bernoulli-folyamat egy Markov-lánc . A valószínűségi fa egy bináris fa .
Meghatározás
A Bernoulli-folyamat egy diszkrét sztochasztikus folyamat, amely az X 1 , X 2 , X 3 független véletlen változók véges vagy végtelen sorozatából áll , például:
- függetlenül i , az értéke X i jelentése 0 vagy 1;
- i összes értéke esetén annak a valószínűsége, hogy X i = 1 azonos p szám .
Más szavakkal, a Bernoulli-folyamat független és egyenértékű Bernoulli-tesztek sorozata . Az egyes X i két lehetséges értékét gyakran "sikernek" és "kudarcnak" nevezik, és így 0-nak vagy 1-nek kifejezve az értéket az i- edik "teszt" utáni sikerek számaként írják le. . Az X i különböző át- és elbukási változókat Bernoulli-teszteknek is nevezik.
Bernoulli tesztjeinek függetlensége feltételezi az emlékezet hiányát: a korábbi tesztek nem adnak információt az eljövendő eredményekről. Bármely idõponttól a jövõbeli bizonyítékok a múlttól független Bernoulli-folyamatot is alkotnak (kezdõ tulajdonság új).
A Bernoulli-folyamathoz kapcsolódó véletlenszerű változók közé tartoznak
- a sikerek számát során n első próbálkozások, amely követi a binomiális törvény ;
- az r siker eléréséhez szükséges tesztek száma , amely negatív binomiális eloszlást követ ;
- a siker eléréséhez szükséges tesztek száma, amely geometriai törvényt követ , amely a negatív binomiális törvény speciális esete.
Az a probléma, hogy a folyamatot csak egy véges Bernoulli-bizonyíték-mintával futtatják, az a probléma, hogy ellenőrizzük, hogy egy rész normális-e .
Formális meghatározás
Bernoulli folyamata a valószínűségi terek nyelvén formalizálható . A Bernoulli folyamat egy valószínűségi tér (Ω, Pr) társított egy család véletlen változók független X i definiált ezt a teret értékek {0; 1} , és olyan, hogy minden i-re megvan
X i = 1 p valószínűséggelés X i = 0 az 1 - p valószínűséggel.
Bernoulli lakosztály
Adott egy Bernoulli folyamat definiált valószínűségi tér (Ω, Pr) , tudjuk társítani az egyes co ∈ Ω egy szekvencia egészek
Bernoulli lakosztálynak hívták . Így például, ha ω érme-dobások sorozatát képviseli, akkor a Bernoulli-szekvencia az egész számok listája, amelyek fejét kaptuk .
Bernoulli szinte minden lakosztálya ergodikus lakosztály .
Véletlenszerű kivonás
Adott egy p with 1/2 Bernoulli-folyamatra, a Von Neumann-extraktornak, a legrégebbi véletlenszerű extraktornak köszönhetően levezethetünk egy Bernoulli-folyamatot p = 1/2-vel .
A 0 és az eredeti 1 szekvenciából kivonunk egy új 0 és 1 szekvenciát az értékek egymást követő 0 és 1 párokba rendezésével. Ezekből a párokból következtethetünk az új 0 és 1 szekvenciára a következőképpen:
- ha az értékek megegyeznek, egyik sem marad meg;
- ha az értékek nem egyenlőek, akkor a kettő közül az elsőt megtartjuk.
Az átváltási táblázat tehát a következő:
| Bejárat | kijárat |
|---|---|
| 00 | semmi |
| 01 | 0 |
| 10. | 1 |
| 11. | semmi |
Mivel két bemeneti értékre van szükség egy érték vagy egy sem, a kimenet legalább kétszer olyan rövid lesz, mint a bemenet. A q = 1 - p megjegyzésével az extraktor átlagosan kiküszöböli a bemeneti adatok p 2 + q 2 értékét. Ez az érték akkor minimális, ha p = 1/2 , ahol a bemeneti párok felét kiküszöböli, és ebben az esetben a kimenet átlagosan négyszer rövidebb lesz, mint a bemenet.
A kimeneti adatok ugyanannyi 0-t és 1-t tartalmaznak, mivel 10 és 01 egyformán valószínű, mivel mindkettőnek valószínűsége pq .
Bernoulli műszak
Az egyes tesztek az egyik két eredmény, a tesztelések sorrendje leírható a bináris számjegy egy valós szám . Ha a valószínűség p 1/2, valamennyi sorrend egyformán valószínű, ezért a intézkedés a törzs a Bernoulli folyamat megegyezik az egységes intézkedés az egység intervallum : más szóval, a valós számok egyenletesen elosztva az egység intervalluma.
A T váltási operátor, amely átmegy a következő véletlen változóhoz,
akkor megfelel a Bernoulli-eltolódásnak vagy a diadikus funkciónak
ahol z ∈ [0; 1] egy adott méréssorozatot képvisel, és ahol E ( z ) az egész rész , a legnagyobb egész szám kisebb vagy egyenlő z-vel . Köznyelvben a Bernoulli-váltás "kihagyja" az z bináris ábrázolásának bal szélső számjegyét .
A Bernoulli-váltás a pontosan determinisztikus káosz oldható modellje . Az evolúció üzemeltető , más néven a Frobenius-Perron üzemeltetője, a Bernoulli eltolódás lehet meghatározni; A sajátértékek vannak hatáskörét 1/2, és eigenfunctions vannak Bernoulli polinomok .
Bernoulli-séma
Az ergodikus elméletben a Bernoulli-folyamat két vagy több eredményre történő általánosítását Bernoulli-sémának nevezik .
A francia középfokú oktatásban az n és p paraméterek Bernoulli diagramja n független Bernoulli teszt sorozatát jelöli ugyanazzal a p paraméterrel .
Megjegyzések és hivatkozások
Lásd is
Források és irodalomjegyzék
- Carl W. Helstrom, Valószínűség és sztochasztikus folyamatok a mérnökök számára , (1984) Macmillan Publishing Company, New York ( ISBN 0-02-353560-1 ) .
- Dimitri P. Bertsekas és John N. Tsitsiklis , Bevezetés a valószínûségbe (2002) Athena Scientific, Massachusetts ( ISBN 1-886529-40-X )
- Pierre Gaspard, "r-adic egydimenziós térképek és az Euler-összegzési képlet", Journal of Physics A , 25 (levél) L483-L485 (1992). (Leírja a Bernoulli-váltás evolúciójának operátorának saját funkcióit)
- Dean J. Driebe, Teljesen kaotikus térképek és törött időszimmetria (1999), Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Hollandia ( ISBN 0-7923-5564-4 ) (2., 3. és 4. fejezet áttekinti Ruelle rezonanciáit és formalizmusának szubdinamikáját a Bernoulli műszak) .