Izoperimetrikus hányados

Az izoperimetrikus hányados egy dimenzió nélküli mennyiség, amelyet egy felület vagy egy szilárd anyag kerekségének vagy gömbszerűségének értékelésére használnak. Ez a vizsgált tárgy alakjától és nem a méretétől függ. Eredetileg a tervben definiálták két felület azonos kerületű összehasonlítását, és minden izoperimetriás problémához kapcsolódik .

A fogalmat ezután általánosítják a felső szóközökre, megtartva ugyanazt a nevet.

A forrásokban az izoperimetrikus hányadosnak több nem ekvivalens kifejezését találjuk.

A tervben

Egy mérhető $S$ felületet tekintünk javítható szegéllyel , vagyis véges területtel és kerületével véges hosszúságúnak.

Definíció a lemezre hivatkozva

Az S izoperimetrikus hányadosa meghatározható a felület és az ugyanazon kerületen kapott maximális felület arányában. Ekkor mindig 0 és 1 közötti szám, amely eléri az 1 értéket, ha a felület lemez.

Ha $A$ S területe és $p$ kerülete, akkor a q 1 izoperimetrikus hányados egyenlő: ${\ displaystyle q_ {1} = 4 \ pi {\ frac {A} {p ^ {2}}}}$

Példa: egy n oldalú szabályos sokszög izoperimetriai hányadosa: ${\ displaystyle q_ {1} = {\ frac {\ pi} {n \ tan \ bal ({\ frac {\ pi} {n}} \ jobb)}}}$

Meghatározás a terület és a kerület összehasonlításával

Az izoperimetrikus hányados viszont meghatározható a kerület négyzetének és a területnek az arányaként, ${\ displaystyle q_ {2} = {\ frac {p ^ {2}} {A}}}$ Ezzel az új jelentéssel az izoperimetrikus hányados eléri a lemez minimum $4π$ értékét, és végtelenül nagy értékeket vehet fel, ha az S területe 0 felé hajlik, és kerülete állandó marad.

A térben

Az $V.$ térfogatú és az $S$ felületű szilárd $K esetében$ megtaláljuk a két meghatározást

A labda vonatkozásában:

${\ displaystyle q_ {1} = 36 \ pi {\ frac {V ^ {2}} {S ^ {3}}}}$

A térfogat és a terület összehasonlítása:

${\ displaystyle q_ {2} = {\ frac {S ^ {3}} {V ^ {2}}}}$

A $q 1$ hányados 0 és $1 között$ változik, és eléri a labda maximális értékét. A $q 2$ hányados $36π-$ től végtelenig változik, és eléri a labda minimumát.

A szilárd anyag izoperimetrikus hányadát nem szabad összekeverni a terület / térfogat arányával .

Kiváló méretek

A Lebesgue-méréssel ellátott n dimenziós euklideszi tér kompakt K esetén az izoperimetrikus hányadost gyakran az egyenlőség határozza meg: ${\ displaystyle q_ {2} = {\ frac {({\ text {Vol}} \, \ részleges K) ^ {n}} {({\ text {Vol}} \, K) ^ {n-1} }}}$ hol van K. határa ${\ displaystyle \ részleges K}$

Ez a hányados eléri a labda minimumát.

Néha találunk egy harmadik definíciót az izoperimetrikus hányadosról: ${\ displaystyle q_ {3} = {\ frac {{\ text {Vol}} \, \ részleges K} {({\ text {Vol}} \, K) ^ {\ frac {n-1} {n} }}}}$

Megjegyzések és hivatkozások

" Zárt görbe izoperimetriai hányadosának (IQ) száma ", The Concise Oxford Dictionary of Mathematics (4)
Lásd az izoperimetrikus tételt
Eric W. Weisstein, " Izoperimetrikus hányados ", CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , 2002 p. 1546
Chakerian, GD „Az izoperimetrikus hányados: újabb pillantás egy régi kedvencre.” A Főiskolai Matematika Közl. 22. szám 4, 1991, pp. 313–315. [www.jstor.org/stable/2686234 JSTOR]
Kremer, Hermann és Weisstein, Eric W. „ Isoperimetrikus hányados a MathWorld-ból - A Wolfram webes forrása.
Peter M. Gruber, konvex és diszkrét geometria , Springer Science & Business Media, 2007, p. 203
Master 2 vizsga a matematika modellezésében , Pierre és Marie Curie Egyetem, 2018

Lásd is

Expander gráf az izoperimetrikus szám meghatározásához a gráfelmélet keretein belül