D'Alembert uralma

A szabály d'Alembert (vagy feltétel d'Alembert ), névadója a matematikus francia Jean le Rond d'Alembert . Ez egy konvergencia teszt egy pozitív kifejezéssel rendelkező sorozat számára.

Bizonyos esetekben lehetővé teszi egy sorozat abszolút konvergenciájának megállapítását komplex vagy vektor tagokkal, vagy éppen ellenkezőleg, divergenciáját.

Államok

Legyen $( u n ) lehet$ egy szekvenciát a szigorúan pozitív valós számok. Megjegyezzük, és az alsó és felső határa az egymást követő hányados: $\ Ell$ $L$

{\ displaystyle 0 \ leq \ ell: = \ liminf {\ frac {u_ {n + 1}} {u_ {n}}} \ leq L: = \ limsup {\ frac {u_ {n + 1}} {u_ {n}}} \ leq + \ infty}

Ha , akkor az $u$ $n$ általános kifejezéssor konvergál . ${\ displaystyle L <1}$
Ha , akkor a szekvencia nem hajlik a 0 felé (ezért a sorozat nagyjából eltér ). ${\ displaystyle \ ell> 1}$

Igen , semmit sem tudunk levonni: ez d'Alembert uralmának bizonytalan esete. ${\ displaystyle \ ell \ leq 1 \ leq L}$

Megjegyzések

D'Alembert uralma közvetlenül kimutatható, de Cauchy szabályából is levezethető , Cesàro lemmájának köszönhetően .
Bizonytalan esetben kipróbálhatjuk Cauchy szabályát , amely pontosabb. ${\ displaystyle \ ell \ leq 1 \ leq L}$
Amikor a szekvencia elfogad egy korlátot , az utasítás egyszerűsödik, mert . Bizonytalan esetben kipróbálhatjuk a Raabe-Duhamel szabályt . ${\ displaystyle \ bal ({\ tfrac {u_ {n + 1}} {u_ {n}}} \ jobb)}$ $\ lambda$ ${\ displaystyle \ ell = \ lambda = L}$ $\ lambda = 1$
D'Alembert szabály lehet használni, hogy tanulmányozza a konvergencia kifejezés sorozatot normált tér E , elemezve a sorozat $vizeletmintákban a ö u n$ szabványok. Ha $L <1$ , és ha E jelentése komplett (például, ha E = ℝ vagy ℂ), a vektor sorozat abszolút konvergens, míg ha $ℓ > 1$ , akkor nagymértékben eltérő.

jegyzet

Bemutatóért lásd például a "D'Alembert szabálya" című részt a Wikiverzió numerikus sorozataival foglalkozó leckében .