Tihonov törvényszerűsítése

A Tikhonov szabályozás az eljárás szabályozását leggyakrabban használt megoldani a problémákat, amelyek nem jól beállított és inverz problémák . Andrej Nyikolajevics Tihonov orosz matematikus képzelte el . A statisztikában a módszer regressziós él ( ridge regresszió ) néven is ismert . Ez összefügg a Levenberg-Marquardt algoritmus megoldására nemlineáris a legkisebb négyzetek .

Fejlődés

Probléma

A klasszikus megközelítés a túlhatározott lineáris egyenletrendszer megoldására, amelyet kifejez

{\ displaystyle A \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}

a legkisebb négyzetek módszereként ismert és magában foglalja a maradék minimalizálását

{\ displaystyle \ | A \ mathbf {x} - \ mathbf {b} \ | ^ {2}}

hol van az euklideszi norma . Azonban mátrix $A$ lehet rosszul kondicionált vagy nem invertálható , ami nagyszámú megoldásokat. ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$

Szabályozás

Annak érdekében, hogy előnyben részesítsen egy olyan megoldást, amely relevánsnak tűnő tulajdonságokkal rendelkezik, a minimalizálásban törvényszerűségi kifejezés kerül bevezetésre:

{\ displaystyle \ | A \ mathbf {x} - \ mathbf {b} \ | ^ {2} + \ | \ Gamma \ mathbf {x} \ | ^ {2}}

A „ Tihonov-mátrixot ” $Γ$ megfontoltan kell megválasztani a figyelembe vett probléma szempontjából. x az a vektor, amelyet megpróbálunk kifejezni. Az x gyakran egy folytonos függvény diszkretizált közelítése . Sok esetben a mátrix $Γ$ az identitás mátrix $Γ = I$ , ami kedvez megoldások kis normáknak. A magas áteresztésű operátorok más eseteiben , például különbségoperátor vagy súlyozott Fourier operátor használható a funkció gyors variációinak kiküszöbölésére, ha jó okkal feltételezhető, hogy az x vektor egy folyamatos függvény közelítése.

Ez a törvényszerűsítés javítja a probléma kondicionálását , lehetővé téve ezáltal a numerikus megoldás megtalálását.

Megoldás

Számszerű megoldást fogunk hívni : ${\ hat {x}}$

{\ displaystyle {\ hat {x}} = (A ^ {T} A + \ Gamma ^ {T} \ Gamma) ^ {- 1} A ^ {T} \ mathbf {b}}

A hatás a szabályozás függ a választás a mátrix $Γ$ . Amikor $Γ$ nulla, visszatérünk a szabályozatlan legkisebb négyzetek megoldás esetére, feltéve, hogy létezik $( A T A ) -1$ .

Általánosított rendszeresítés

{\ displaystyle \ | A \ mathbf {x} - \ mathbf {b} \ | _ {P} ^ {2} + \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0} \ | _ {Q } ^ {2} \,}

vagy:

$x 0$ az $x$ várakozását jelöli,
${\ displaystyle Q = \ Gamma ^ {T} \ Gamma}$ az $x$ kovariancia mátrixának inverzét jelöli ,
$P$ jelöli az inverze a kovariancia mátrix $b$ ,
${\ displaystyle \ left \ | \ cdot \ right \ | _ {P} ^ {2}}$ jelölje $x T P x$ , vagyis a súlyozott norma négyzetét.

Általánosított megoldás

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {x}}} = \ mathbf {x} _ {0} + (A ^ {T} PA + Q) ^ {- 1} A ^ {T} P (\ mathbf { b} -A \ mathbf {x} _ {0}). \,}

Források

fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia " Tikhonov regularization " című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) , amelynek forrásai:
- Tikhonov AN, 1943, Az inverz problémák stabilitásáról , Dokl. Akad. Nauk SSSR, 39, 5. szám, 195-198
- Tikhonov AN, 1963, Helytelenül megfogalmazott problémák megoldása és a szabályozási módszer , Soviet Math Dokl 4, 1035-1038, Dokl Akad Nauk SSSR 151, 1963, 501-504 angol fordítása
- Tikhonov AN és Arsenin VA, 1977, Rosszul felvetett problémák megoldása , Winston & Sons, Washington, ( ISBN 0-470-99124-0 ) .
- Hansen, PC, 1998, Ranghiányos és diszkrét rosszul felvetett problémák , SIAM
- Hoerl AE, 1962, Ridge analízis alkalmazása regressziós problémákra , Chemical Engineering Progress, 58, 54-59.
- Foster M, 1961, A Wiener-Kolmogorov simítási elmélet alkalmazása a mátrix inverzióhoz , J. SIAM, 9, 387-392
- Phillips DL, 1962, Első típusú egyes integrálegyenletek numerikus megoldásának technikája , J Assoc Comput Mach, 9, 84-97
- Tarantola A, 2004, inverz problémaelmélet ( ingyenes PDF változat ), Ipari és Alkalmazott Matematikai Társaság, ( ISBN 0-89871-572-5 )
- Wahba, G, 1990, spline modellek a megfigyelési adatokhoz , SIAM