Az egység gyöke modulo n

A matematika , és több gyakorlatilag gyűrű elmélet , a k- edik gyökere az egység modulo n, a , a gyökér a készülék a gyűrűben , azaz a megoldás az egyenlet . Ha a sorrendben a modulo , akkor az úgynevezett primitív K- edik gyökere az egység modulo n . k,nem≥2{\ displaystyle k, n \ geq 2}ZnemZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} n \ mathbb {Z}}x{\ displaystyle x} xk≡1(modnem){\ displaystyle x ^ {k} \ equiv 1 {\ pmod {n}}}k{\ displaystyle k}x{\ displaystyle x}nem{\ displaystyle n}x{\ displaystyle x}

A modulo n primitív gyökök a -edik primitív gyökök a modulo n egységet , ahol az az Euler-index . φ(nem){\ displaystyle \ varphi (n)}φ{\ displaystyle \ varphi}

Az egység gyökerei

Tulajdonságok

• Ha az egység egy gyökere, akkor inverz invertálható . Más szóval, és a prime egymás között .x{\ displaystyle x}k{\ displaystyle k}x{\ displaystyle x}xk-1{\ displaystyle x ^ {k-1}}x{\ displaystyle x}nem{\ displaystyle n}
• Ha invertálható, akkor ez egy primitív gyökér - én az egység modulo , ahol a multiplikatív érdekében a modulo .x{\ displaystyle x}k{\ displaystyle k}nem{\ displaystyle n}k{\ displaystyle k}x{\ displaystyle x}nem{\ displaystyle n}
• Ha egy gyökér - én, és a készülék nem zérusosztó , majd . Valóbanx{\ displaystyle x}k{\ displaystyle k}x-1{\ displaystyle x-1}∑j=0k-1xj≡0(modnem){\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {k-1} x ^ {j} \ equiv 0 {\ pmod {n}}}

(x-1)⋅∑j=0k-1xj≡xk-1≡0(modnem).{\ displaystyle (x-1) \ cdot \ sum _ {j = 0} ^ {k-1} x ^ {j} \ equiv x ^ {k} -1 \ equiv 0 {\ pmod {n}}.}

K -edik gyökér száma

Jelöljük a száma - edik gyökerei az egység modulo által . Számos tulajdonságot elégít ki: k{\ displaystyle k}nem{\ displaystyle n}f(nem,k){\ displaystyle f (n, k)}

• f(nem,1)=1{\ displaystyle f (n, 1) = 1}mert .nem≥2{\ displaystyle n \ geq 2}
• f(nem,λ(nem))=φ(nem){\ displaystyle f (n, \ lambda (n)) = \ varphi (n)}ahol λ a Carmichael és az Euler indicatrixot jelöli .φ{\ displaystyle \ varphi}
• nem↦f(nem,k){\ displaystyle n \ mapsto f (n, k)}egy multiplikatív függvény .
• k∣l⟹f(nem,k)∣f(nem,l){\ displaystyle k \ mid l \ implicit f (n, k) \ f f (n, l)}
• f(nem,oovs.m(nál nél,b))=oovs.m(f(nem,nál nél),f(nem,b)){\ displaystyle f (n, \ mathrm {ppcm} (a, b)) = \ mathrm {ppcm} (f (n, a), f (n, b))}ahol a legkisebb közös többszöröst jelöli .oovs.m{\ displaystyle \ mathrm {ppcm}}
• Mert először , . Az összefüggés a nem pontosan ismert. Ha igen, akkor az előző ponttal a gyors értékelés lehetőségét nyújtaná .o{\ displaystyle p} ∀én∈NEM ∃j∈NEM f(nem,oén)=oj{\ displaystyle \ forall i \ in \ mathbb {N} \ \ létezik j \ in \ mathbb {N} \ f (n, p ^ {i}) = p ^ {j}}én{\ displaystyle i}j{\ displaystyle j}f{\ displaystyle f}

Az egység primitív gyökerei

Tulajdonságok

• A maximális kitevő egy primitív gyök van , ahol jelöli a Carmichael dummy . nem{\ displaystyle n}λ(nem){\ displaystyle \ lambda (n)}λ{\ displaystyle \ lambda}
  • Minden osztó az ad egy primitív -edik gyökere az egység. Valójában, ha oszt , és az egység gyökere (aminek a λ definíciója szerint kell léteznie), akkor illik.k{\ displaystyle k}λ(nem){\ displaystyle \ lambda (n)}k{\ displaystyle k}k{\ displaystyle k}λ(nem){\ displaystyle \ lambda (n)}x{\ displaystyle x}λ(nem){\ displaystyle \ lambda (n)}xλ(nem)/k{\ displaystyle x ^ {\ lambda (n) / k}}
• Ha a primitív egység egy-egy gyöke, amely egyben az egység ℓ-edik gyöke is (nem feltétlenül primitív), akkor ossza el a ℓ-t.x{\ displaystyle x}k{\ displaystyle k}k{\ displaystyle k}

A k- edik primitív gyökerek száma

Mi számát jelöli a k -dik primitív gyökök az egység modulo n szerint . Ez a függvény kielégíti a következő tulajdonságokat: g(nem,k){\ displaystyle g (n, k)}

• g(nem,k)={>0ha k∣λ(nem),0ha nem.{\ displaystyle g (n, k) = {\ begin {cases}> 0 & {\ text {si}} k \ mid \ lambda (n), \\ 0 & {\ text {else}}. \ end { esetek}}}
• Ezért a funkció van nulla értéket, ahol a több osztója .k↦g(nem,k){\ displaystyle k \ mapsto g (n, k)}τ(λ(nem)){\ displaystyle \ tau (\ lambda (n))}τ{\ displaystyle \ tau}
• g(nem,1)=1{\ displaystyle g (n, 1) = 1}
• g(4,2)=1{\ displaystyle g (4,2) = 1}
• g(2nem,2)=3{\ displaystyle g (2 ^ {n}, 2) = 3}mert , mivel -1 mindig 1 négyzetgyöke .nem≥3{\ displaystyle n \ geq 3}
• g(2nem,2k)=2k{\ displaystyle g (2 ^ {n}, 2 ^ {k}) = 2 ^ {k}}mert .k∈[[2,nem-1]]{\ displaystyle k \ itt: [\! [2, n-1] \!]}
• g(nem,2)=1{\ displaystyle g (n, 2) = 1}az OEIS A033948- ig és utána .nem≥3{\ displaystyle n \ geq 3}nem{\ displaystyle n}
• ∑k∈NEMg(nem,k)=f(nem,λ(nem))=φ(nem){\ displaystyle \ sum _ {k \ in \ mathbb {N}} g (n, k) = f (n, \ lambda (n)) = \ varphi (n)}.
• A kapcsolat és elegánsan írható egy Dirichlet-konvolúcióval  :f{\ displaystyle f}g{\ displaystyle g}

f=1∗g{\ displaystyle f = \ mathbf {1} * g}, vagyis f(nem,k)=∑d∣kg(nem,d){\ displaystyle f (n, k) = \ sum _ {d \ mid k} g (n, d)}

Hivatkozások

• (en) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia cikkéből származik, az "  Root of unity modulo n  " címmel ( lásd a szerzők felsorolását ) .

1. Finch, Martin és Sebah, „  Az egység és semmisség gyökerei modulo n  ”, Proceedings of the American Mathematical Society , vol.  138, N o  8, 2010, P.  2729–2743 ( DOI  10.1090 / s0002-9939-10-10341-4 , online olvasás , hozzáférés : 2011. február 20. )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">