Elszigetelt szingularitás
A komplex elemzése , egy izolált szingularitás (más néven izolált szinguláris pont ) egy Holomorf függvény F egy pont egy a komplex síkban , úgy, hogy létezik egy nyitott szomszédságában U az egy olyan, hogy f van Holomorf a U \ { a }.
A holomorf funkció izolált szingularitásának vizsgálata alapvető fontosságú a maradványok kiszámításakor , különös tekintettel a maradék tételre .
Az elkülönített szingularitásokat meg kell különböztetni a komplex elemzés során megjelenő egyéb szingularitásoktól, például az elágazási pontoktól és a hozzájuk tartozó vágásoktól, ahogyan ez a komplex logaritmusok és az n- edik gyökök esetében is történik .
Az elkülönített szingularitások három típusba sorolhatók: törölhető szingularitások (néha látszólagos szingularitásoknak ), pólusok és esszenciális szingularitások .
Osztályozás
Tekintsük a komplex sík nyitását , pontját és holomorf funkcióját. A lényeg definíció szerint elszigetelt szingularitás (vagy elszigetelt szinguláris pont). Három eset fordulhat elő.
Ω{\ displaystyle \ Omega}nál nél∈Ω{\ displaystyle a \ in \ Omega}Ω{\ displaystyle \ Omega}f:Ω∖{nál nél}→VS{\ displaystyle f \ kettőspont \ Omega \ setminus \ {a \} \ to \ mathbb {C}}nál nél{\ displaystyle a}
Törölhető szingularitás
A szingularitás a azt mondják, hogy törölhető (vagy látszólagos ) amennyiben kiterjed a közelében egy Holomorf funkciót. Más szóval, akkor „törlés” szingularitás és kiterjeszti a Holomorf függvény a környéken , ami mindig megjegyezte általános és bántalmazták, .
nál nél{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}nál nél{\ displaystyle a}nál nél{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}nál nél{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}
Riemann meghosszabbítási tétele - A következő feltételek egyenértékűek:
- A szingularitás a törölhető.nál nél{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}
-
f{\ displaystyle f}van egy folyamatos kiterjesztése a .z=nál nél{\ displaystyle z = a}
- Van egy tompa szomszédság, amely határolt.nál nél{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}
-
limz→nál nél(z-nál nél)f(z)=0{\ displaystyle \ lim _ {z \ a} (za) f (z) = 0}.
Demonstráció
Az 1⇒2⇒3⇒4 következmények közvetlenek, bizonyítsuk be 4⇒1. Feltételezhetjük és elhelyezhetjük magunkat a tompa korongon, amelynek középpontja és r sugara van . Ezért holomorf funkciót veszünk figyelembe , és ezt feltételezzük . Meghatározunk egy kiegészítő funkciót a 0 központú és r sugarú lemezen :
nál nél=0{\ displaystyle a = 0}D′{\ displaystyle D '}f{\ displaystyle f}D′{\ displaystyle D '}limz→0zf(z)=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ lim _ {z \ to 0} zf (z) = 0}g{\ displaystyle g}D=D′∪{0}{\ displaystyle D = D '\ csésze \ {0 \}}
g(0)=0és∀z∈D′, g(z)=z2f(z){\ displaystyle g (0) = 0 \ quad {\ text {et}} \ quad \ for all z \ in D ', ~ g (z) = z ^ {2} f (z)}.A hipotézisek szerint holomorf és 0-nál (-val ) differenciálható . Ezért holomorf a ; ezért
egész sorokban fejleszthető 0 szomszédságában ( a sorozat
konvergencia sugara legalább egyenlő r-vel ):
g{\ displaystyle g}D′{\ displaystyle D '}g′(0)=limz→0g(z)z=0{\ displaystyle g '(0) = \ lim _ {z \ to 0} {\ frac {g (z)} {z}} = 0}g{\ displaystyle g}D{\ displaystyle D}g(z)=∑nem=0+∞nál nélnemznem{\ displaystyle g (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} z ^ {n}}
az első két együttható pedig és .
nál nél0=g(0)=0{\ displaystyle a_ {0} = g (0) = 0}nál nél1=g′(0)=0{\ displaystyle a_ {1} = g '(0) = 0}
Az egész sorozat
∑nem≥2nál nélnemznem-2,{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 2} a_ {n} z ^ {n-2},}
amelynek konvergencia sugara megegyezik az előzővel, akkor meghatározza a holomorf megnyúlását a 0 szomszédságában.
f{\ displaystyle f}
Például a függvény
z∈VS∗⟼bűnzz{\ displaystyle z \ in \ mathbb {C} ^ {*} \ longmapsto {\ frac {\ sin z} {z}}}elismeri törölhető szingularitás , mert a szomszédságában , tehát a függvény marad határolt szomszédságában eredetét.
z=0{\ displaystyle z = 0}z=0{\ displaystyle z = 0}bűnz∼z{\ displaystyle \ sin z \ sim z}f(z)∼1{\ displaystyle f (z) \ sim 1}f{\ displaystyle f}
Ha törölhető szingularitás, akkor az en maradéka nulla (fordítva hamis).
nál nél{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}nál nél{\ displaystyle a}
Pólus
A szingularitást pólusnak nevezzük , ha egyrészt a szingularitás nem törölhető, másrészt kellően nagy egész szám esetén a függvény holomorf funkcióvá terjed ki . A lehető legkisebb egész számot a pólus sorrendjének nevezzük . Ezért szigorúan pozitív, és az előző tétel szerint az jellemzi, hogy ha feléfelé hajlik , akkor nem nulla véges határérték felé hajlik.
nál nél{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}nem{\ displaystyle n}z↦(z-nál nél)nemf(z){\ displaystyle z \ mapsto (za) ^ {n} f (z)}nál nél{\ displaystyle a}nem{\ displaystyle n}nál nél{\ displaystyle a}z{\ displaystyle z}nál nél{\ displaystyle a}(z-nál nél)nemf(z){\ displaystyle (za) ^ {n} f (z)}
Ezzel egyenértékű, akkor is pólus, ha a végtelen felé hajlik .
nál nél{\ displaystyle a}|f|{\ displaystyle | f |}nál nél{\ displaystyle a}
A racionális függvények a pólusokkal rendelkező függvények tipikus példái. Idézhetjük a híres Euler gamma és Riemann zeta függvényeket is, amelyeknek mindkét pólusa van.
A holomorf funkciót, amely csak pólusokat fogad el elszigetelt szingularitásokként, meromorf funkciónak nevezzük .
Lényeges szingularitás
Ha a szingularitás nem törölhető szingularitás és nem pólus, akkor azt mondjuk, hogy ez egy alapvető szingularitás . Ha igen, akkor nagyon bonyolult a viselkedése a környéken . Különösen a Weierstrass-Casorati-tételt és a két Picard-tételt idézhetjük .
nál nél{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}nál nél{\ displaystyle a}
Például a függvény
z∈VS∗⟼exp(1z){\ displaystyle z \ in \ mathbb {C} ^ {*} \ longmapsto \ exp \ left ({\ frac {1} {z}} \ jobb)}lényegi szingularitással rendelkezik az eredetnél.
Laurent sorozat
Ha f egy Holomorf függvény egy tompa lemez D középpontú és sugarú R (azaz a lemezt középpontú és sugarú r fosztva a pont ), létezik egy egyedülálló sorozat komplexek , mint például a D :
nál nél{\ displaystyle a}nál nél{\ displaystyle a}nál nél{\ displaystyle a}(nál nélnem)nem∈Z{\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}
f(z)=∑nem=-∞+∞nál nélnem(z-nál nél)nem{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} a_ {n} {(za)} ^ {n}}ahol a sorozat normálisan konvergál minden kompaktlemez tompa D-n .
A szigorúan negatív index együtthatóinak sorrendjéről olvashatjuk a szingularitás jellegét :
nál nélnem{\ displaystyle a_ {n}}
Laurent soros kapcsolata / szingularitása
A szingularitás jellege
|
Információ a Laurent-sorozat együtthatóiról
|
---|
Törölhető szingularitás
|
Az a n együttható nulla az n <0
indexek esetében |
K rendű pólus
|
Az a n együtthatók nulla az n <-k és a - k ≠ 0
indexekre |
Lényeges szingularitás
|
Végtelen negatív index létezik n , amelyek esetében az n nem nulla
|
Lásd is
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">