Maximális normál alcsoport

A csoport elmélet , hívjuk maximális normális részcsoport , vagy akár a maximális halad alcsoport , a csoport G bármely maximális elemet a készlet megfelelő Normálosztó G, ez meg van megrendelt által felvételét . (A „megfelelő alcsoportja G” lesz értendő egy alcsoportja G elkülönült G. ) Más szóval, egy maximális szokásos részcsoportja G egy megfelelő normális részcsoport H a G olyan, hogy nincs alcsoport -csoport normális G szigorúan H és G között van .

Néhány tulajdonság

• Ha G jelentése egyszerű csoport , az alcsoport a G csökken a semleges elem egy maximális szokásos alcsoportja G (és ez az egyetlen egy).
• A G csoport normál H alcsoportja akkor és csak akkor a G maximális normális alcsoportja, ha a G / H hányadoscsoport egyszerű. A maximális normál alcsoportok tehát szerepet játszanak a Jordan-Hölder szekvenciákban
• A G csoport normál alcsoportjának maximuma nem feltétlenül a G maximális alcsoportja . Például, 1 egy maximális szokásos alcsoportja az egyszerű csoport 5 , de nem egy maximális alcsoportja, mert egy 5 nyilvánvalóan tartalmaz megfelelő alcsoportok nem csökken, hogy a semleges elem.
• Ha a G csoport maximális H alcsoportja normális, akkor H nyilvánvalóan a G normális maximális alcsoportja .
• Ha G jelentése megoldható csoport , minden alcsoport normális maximum G van egy olyan alcsoport maximális G . (Let M legyen egy maximális szokásos alcsoportja G. Ekkor G / M egyszerre egyszerű és megoldható, így elsőrendű véges. Az indexszám , ez azt jelenti, hogy M egy maximális alcsoportja G. ) szerint az előző pontból következik, hogy egy megoldható csoportban a maximális normál alcsoport és a maximális normális alcsoport fogalma egybeesik.
• Hadd G egy nilpotens csoport . Ekkor a G bármely maximális alcsoportja normális a G-ben, és ezért a G maximális normális alcsoportja ; Ezzel szemben, ha H egy maximális szokásos alcsoportja G , akkor, mivel bármilyen nilpotens csoport megoldható, H egy maximális alcsoport a G az előző pontban. Ezért egy nilpotens csoportban a maximális normál alcsoport, a maximális alcsoport és a maximális normál alcsoport fogalma egybeesik.

Megjegyzések és hivatkozások

1. Definíció J. Calais szerint, A csoportelmélet elemei , Párizs, PUF, 1984, p. 159.
2. J. Calais, A csoportelmélet elemei , Párizs, PUF, 1984, p. 160.
3. JS Rose, A csoportelmélet tanfolyama , 1978, repr. Dover, 1994, p. 267.
4. Lásd például WR Scott, Group Theory , 1964, repr. Dover, 1987, p. 143.