A Jordan-tulajdonos tétel egy tétel csoport elmélet , amely része az általános algebra . Különösen lehetővé teszi a négyzetmátrixok Jordániában történő csökkentésének nagyon általános bemutatását .
Legyen G egy csoport , és e annak semleges eleme .
Bármely véges csoport elismeri legalább egy Jordan-Hölder szekvenciát. Általánosságban elmondható, hogy egy G csoport akkor és csak akkor ismeri el a Jordan-Hölder szekvenciát, ha kielégíti a szubnormális alcsoportok növekvő és csökkenő lánc feltételeit , vagyis ha a G alnormális alcsoportjainak bármely növekvő szekvenciája és bármelyik szekvenciája csökkenő száma helyhez kötött . (Ez ismét annyit jelent, hogy minden nem üres halmaz, E szubnormál alcsoportok G egy maximális elem, az E felvétel és egy minimális eleme E felvétel, végül, hogy a rács a sub -subnormal csoportok G befejeződött.) A különösen, ha egy csoport megfelel bármelyik alcsoport felmenő és csökkenő láncfeltételeinek, akkor elfogadja a Jordan-Hölder szekvenciát.
A Jordan-Hölder tétel szerint ugyanazon csoport két Jordan-Hölder szekvenciája mindig egyenértékű. Ezt a tételt Schreier finomítási tételével lehet kimutatni, amely maga is bemutatható Zassenhaus 'lemma segítségével .
A modulo 6 számcsoport számára a következő két Jordan-Hölder szekvencia van:
amelynek hányadosa (az izomorfizmusig) ℤ / 2ℤ, majd az elsőnél ℤ / 3 and, a másodiknál ℤ / 3ℤ, majd ℤ / 2ℤ.
Jordan tétele hasznosan általánosítható operátorokkal rendelkező csoportokra .
Először egy csoport Jordan-Hölder szekvenciájának fogalmát kiterjesztjük operátorokkal rendelkező csoportokra: egy Ω G csoport Jordan-Hölder szekvenciáját bármilyen véges szekvenciának hívjuk ( G 0 , G 1 , ..., G r ) az Ω-alcsoportok G úgy, hogy
,, hogy minden i ∈ {0, 1, ..., r - 1}, G i + 1 normál alcsoport (és ezért Ω-normál alcsoport) a G i és, hogy minden i ∈ {0, 1, ..., r - 1}, a G i / G i + 1 Ω-csoport hányadosa Ω-egyszerû.
Csakúgy, mint a hétköznapi csoportok esetében, bármely véges operátorcsoport legalább egy Jordan-Hölder szekvenciát, és általánosabban, a G operátor csoport akkor és csak akkor enged be Jordánia-Hölder szekvenciát, ha kielégíti a szubnormálisan stabil emelkedő és csökkenő láncfeltételeket alcsoportok, vagyis ha a G stabil szubnormális alcsoportjainak növekvő szekvenciája és bármely csökkenő szekvenciája helyhez kötött. (Ez megint azt jelenti, hogy a G stabil alnormális alcsoportjainak bármelyik nem üres E halmazának van maximális eleme az E-ben a befogadáshoz és egy minimális eleme az E-hez a befogadáshoz.)
Legyen G Ω-csoport, Σ 1 = ( G 0 , G 1 , ..., G r ) és Σ 2 = ( H 0 , H 1 , ..., H s ) Jordan-Hölder két szekvenciája G . Azt mondjuk, hogy Σ 1 és Σ 2 jelentése azonos , ha r = s és ha létezik egy permutációs σ a {0, 1, ..., r - 1} úgy, hogy minden i a készletben, az Ω-csoport hányadosa G Az i / G i + 1 Ω-izomorf a H σ ( i ) / H σ ( i ) + 1 hányadosra .
A Jordan-Hölder tétel bizonyítása ezután azonnal kiterjed az operátorokkal rendelkező csoportokra: ugyanazon csoport két Jordan-Hölder szekvenciája operátorokkal mindig egyenértékű.
Legyen A gyűrű és M a bal vagy jobb A-modulus A-n. Az M vektorok összeadása csoporttörvény, az M külső törvénye pedig művelet
amely M-ből A-ban szereplő operátorokkal rendelkező csoportot alkot (a külső törvény eloszlása miatt a vektorok hozzáadása szempontjából).
Mindez különösen igaz a bal vagy a jobb oldali V vektorterre egy K ( nem feltétlenül kommutatív) mezőben (az olvasó, aki nem ismeri a nem kommutatív mezőket és a bal oldali vektortereket) és a jobb oldalon feltételezhetjük, hogy K kommutatív mező, és hogy V egy vektortér a K-n): V vektorainak összeadása csoporttörvény, V külső törvénye pedig művelet
ami V-ből áll, amelynek operátorai K-ban vannak (a külső törvény eloszlása miatt a vektorok hozzáadása szempontjából).
A K mezőn balra vagy jobbra található vektortér tehát egy olyan eset speciális esete, amelynek K operátorai vannak. Ennek a csoportnak az operátorokkal ellátott stabil alcsoportjai az V. vektoraljai. Mivel az V operátorokkal rendelkező csoport kommutatív , minden stabil alcsoportja normális. Ha W a V vektoros alterülete, akkor az V tér térbeli W térének hányadosa az V operátorcsoport operátorcsoport-hányadosa a stabil W alcsoporttal. Az V operátorcsoport akkor és csak akkor egyszerű, ha a vektortér V a dimenzió 1.
A fentiekből levonjuk, hogy ugyanazon vektortér két véges bázisának mindig azonos az elemeinek száma . Legyen (a 1 ,…, a r ) és (b 1 ,…, b s ) ugyanazon V vektortér két alapja . Bizonyítanunk kell, hogy r = s. Minden i (0 ≤ i ≤ r), Jelölje V i a vektor altér V generált által egy j a j ≤ i (Ezért van V 0 = 0 ). Hasonlóképpen jelöljük minden k (0 ≤ k ≤ s) esetén W k-vel a b l által generált V vektor-alterületet, ahol l ≤ k. Ekkor (V r ,…, V 0 ) és (W s ,…, W 0 ) az V. operátorcsoport két Jordan-Hölder szekvenciája. A kezelői csoportokra kiterjesztett Jordan-Hölder tétel szerint ez a két csomag egyenértékű . Különösen azonos hosszúságúak, tehát r = s, amint azt említettük.
Jegyzet. Az előző bizonyítás azt mutatja, hogy a vektortér akkor és csak akkor véges dimenziójú, ha véges hosszúságú, mint operátorok csoportja, és hogy a hossza ekkor megegyezik a dimenziójával. Másrészt, ha V végtelen dimenziójú, akkor V hossza (amely akkor szintén végtelen) nem feltétlenül egyenlő V dimenziójával, mert V hossza, mint bármely végtelen hosszúságú operátorral rendelkező csoport hossza , akkor egyenlő a legkisebb végtelen bíborossal, ami nem feltétlenül áll fenn az V. dimenzió esetében.
C. Jordan 1869-ben kijelentette és 1870-ben bebizonyította, hogy ugyanazon véges csoport két Jordan-Hölder szekvenciájában a hányadosok sorrendje (elemek száma) megegyezik, egy permutációval. 1889-ben O. Hölder megerősítette ezt az eredményt azzal, hogy bebizonyította a tételt, amelyet Jordan-Hölder tételnek hívnak.
Policiklusos csoport (en)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">