Normál alatti alcsoport
A matematika , a területén csoport elmélet , egy alcsoportja H egy csoport G egy szubnormál alcsoportja a G , ha van egy véges lánc alcsoportok a csoport, kezdve H és végződő G , és minden eleme, amely egy a következő normál alcsoportja .
Formális meghatározás
Formálisan ez -sub-normális , ha vannak alcsoportok
H{\ displaystyle H}
k{\ displaystyle k}
G{\ displaystyle G}![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
H=H0,H1,H2,...,Hk=G{\ displaystyle H = H_ {0}, H_ {1}, H_ {2}, \ ldots, H_ {k} = G}![H = H_0, H_1, H_2, \ ldots, H_k = G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca520884fba64099624b178bb41a6c207ad3578)
Az olyan, hogy normális minden .
G{\ displaystyle G}
Hén{\ displaystyle H_ {i}}
Hén+1{\ displaystyle H_ {i + 1}}
én{\ displaystyle i}![én](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
Az alnormális alcsoport egy olyan alcsoport, amely -pozitív egy pozitív egész számra .
k{\ displaystyle k}
k{\ displaystyle k}![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
Történelmi
A koncepció a normálisnál alacsonyabb alcsoport vezették név alatt nachinvariante Untergruppe által
Helmut Wielandt a habilitációs értekezését 1939-ben Wielandt nevezetesen bebizonyította, hogy egy véges csoport, az alcsoport által generált két alcsoportra szubnormál maga normálisnál kisebb, úgy, hogy a normálisnál alacsonyabb alcsoportok alkotnak rács .
Példa
Az alcsoport a szimmetrikus csoport egy normális alcsoport Klein-csoport , amely önmagában egy normális alcsoport . Tehát egy alrendszerű alcsoportja , anélkül, hogy normális alcsoport lenne, mivel nincs .
Z={e,((12.)(34))}{\ displaystyle Z = \ {e, ((12) (34)) \}}
S4{\ displaystyle S_ {4}}
V{\ displaystyle V}
S4{\ displaystyle S_ {4}}
Z{\ displaystyle Z}
S4{\ displaystyle S_ {4}}
((12.)(34))(123.)=(13.)(24.){\ displaystyle ((12) (34)) ^ {(123)} = (13) (24)}
Z{\ displaystyle Z}![Z](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd)
Tulajdonságok
Néhány példa és eredmény a normálistól eltérő alcsoportokra:
- Az 1-al-normál alcsoport megfelelő normális alcsoport, és fordítva.
- A véges típusú csoportot egy nilpotens akkor és csak akkor, ha az összes alcsoportok normálisnál alacsonyabb.
- A normál (in) közelében lévő alcsoport és általában egy olyan alcsoport, amely egy véges csoport konjugátumával ingázik az összes alcsoportjával, nem szabványos.
- A pronormális (in) alcsoport , amely normál alatti, egy normális alcsoport. Különösen egy Sylow alcsoport akkor és csak akkor normálellenes.
- A 2-al-normál alcsoport egy olyan alcsoport, amely az összes konjugált alcsoportjával vált.
A szubnormális kapcsolat tranzitív : más szavakkal, a normál alatti alcsoport egy al-normális alcsoportja normális alatti. A szubnormalitásviszony tehát a normalitásviszony transzitív lezárásaként határozható meg .
Kapcsolódó cikkek
Megjegyzések és hivatkozások
-
" Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen ", Mathematische Zeitschrift , vol. 45, 1939), p. 209–244 ( online olvasás ).
Bibliográfia
- Derek JS Robinson , a csoportok elméletének tanfolyama , Berlin, New York, Springer-Verlag ,1996, 499 p. ( ISBN 978-0-387-94461-6 , online olvasás )
- Adolfo Ballester-Bolinches , Ramon Esteban-Romero és Mohamed Asaad , véges csoportok termékei , Walter de Gruyter ,2010, 346 p. ( ISBN 978-3-11-022061-2 , online olvasás )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">