Von Neumann-stabilitás

A numerikus analízis során a von Neumann-stabilitás- analízis módszer a sémák numerikus stabilitásának igazolására a részleges differenciálegyenletek véges különbség-módszerével . Ez az elemzés a Fourier sorozatszámhiba lebontásán alapul, és a Los Alamosi Nemzeti Laboratóriumban fejlesztették ki, miután Crank és Nicolson cikkében röviden leírta. A módszerrel később szigorúbban foglalkoztak egy von Neumann társszerző cikkében .

Numerikus stabilitás

A digitális diagram stabilitása szorosan kapcsolódik a digitális hibához. A véges különbség sémáról azt mondják, hogy stabil, ha az időbeli lépésben elkövetett hibák nem növelik az iterációk hibáit. Ha a hibák csökkennek, és végül elhalványulnak, akkor azt mondják, hogy a digitális rendszer stabil. Ha éppen ellenkezőleg, a hiba minden iterációval növekszik, akkor a diagram instabilnak mondható. A minta stabilitása von Neumann-analízissel meghatározható. Időfüggő problémák esetén a stabilitás biztosítja, hogy egy numerikus módszer korlátozott megoldást eredményez, amikor a pontos differenciálegyenlet megoldása be van kötve. A diagram stabilitása nehéz lehet, különösen, ha a figyelembe vett egyenlet nemlineáris .

Bizonyos esetekben a von Neumann-stabilitás elegendő és szükséges a Lax-Richtmyer-féle értelemben vett stabilitáshoz ( Lax-tétel szerint ): a PDE és a véges különbség séma lineáris; az EDP állandó együtthatóval rendelkezik, periodikus peremfeltételekkel, és két független változótól függ; és a séma legfeljebb két időszintet használ. Von Neumann stabilitásra sokkal szélesebb esetekben van szükség. Ennek a módszernek a viszonylagos egyszerűsége azt jelenti, hogy gyakran egy részletesebb stabilitási elemzés helyett alkalmazzák annak érdekében, hogy jól áttekinthessék a lépésméretek korlátozásait.

A módszer illusztrációja

A von Neumann-módszer a hiba Fourier-sorokra bontásán alapul . Ennek az eljárásnak a szemléltetése érdekében vegye figyelembe az egydimenziós hőegyenletet

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges u} {\ részleges t}} = \ alfa {\ frac {\ részleges ^ {2} u} {\ részleges x ^ {2}}}}

meghatározni , amely ebben az esetben lehet diszkretizálni következőképpen $L$

{\ displaystyle \ quad (1) \ qquad u_ {j} ^ {n + 1} = u_ {j} ^ {n} + r \ bal (u_ {j + 1} ^ {n} -2u_ {j} ^ {n} + u_ {j-1} ^ {n} \ jobbra)}

vagy

{\ displaystyle r = {\ frac {\ alpha \, \ Delta t} {\ Delta x ^ {2}}}}

és a diszkrét egyenlet megoldása közelíti a PDE analitikai megoldását a rácspontokon. ${\ displaystyle u_ {j} ^ {n}}$ $u (x, t)$

Adjuk meg a kerekítési hiba által ${\ displaystyle \ epsilon _ {j} ^ {n}}$

{\ displaystyle \ epsilon _ {j} ^ {n} = N_ {j} ^ {n} -u_ {j} ^ {n}}

hol van a diszkretizált (1) egyenlet megoldása, amelyet kerekítési hibák hiányában valósítanának meg, és a véges aritmetikai pontossággal kapott numerikus megoldás . Mivel a pontos megoldásnak igazolnia kell a diszkrét megoldást, a hibának igazolnia kell a diszkrétált egyenletet is. Így ${\ displaystyle u_ {j} ^ {n}}$ ${\ displaystyle N_ {j} ^ {n}}$ ${\ displaystyle u_ {j} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {j} ^ {n}}$

{\ displaystyle \ quad (2) \ qquad \ epsilon _ {j} ^ {n + 1} = \ epsilon _ {j} ^ {n} + r \ bal (\ epsilon _ {j + 1} ^ {n} -2 \ epsilon _ {j} ^ {n} + \ epsilon _ {j-1} ^ {n} \ right)}

a hiba ismétlődő relációja. Az (1) és (2) egyenletek azt mutatják, hogy a hibának és a numerikus megoldásnak ugyanaz az viselkedése, mint az idő függvényében. Periodikus peremfeltételekkel rendelkező lineáris differenciálegyenletek esetén a hiba térbeli variációja véges Fourier-sorozattá bontható az intervallum alatt: $L$

{\ displaystyle \ quad (3) \ qquad \ epsilon (x) = \ sum _ {m = 1} ^ {M} A_ {m} e ^ {ik_ {m} x}}

ahol a hullámszám a és gombbal . A hiba időfüggése benne van, feltéve, hogy a hiba nagysága az idő függvénye. Annak tudatában, hogy a hiba idővel exponenciálisan növekszik vagy csökken, ésszerű feltételezni, hogy az amplitúdó az idővel exponenciálisan változik; honnan ${\ displaystyle k_ {m} = {\ frac {\ pi m} {L}}}$ ${\ displaystyle m = 1,2, \ ldots, M}$ ${\ displaystyle M = L / \ Delta x}$ $A_m$

{\ displaystyle \ quad (4) \ qquad \ epsilon (x, t) = \ sum _ {m = 1} ^ {M} e ^ {at} e ^ {ik_ {m} x}}

hol van egy állandó. $nál nél$

Mivel a hiba különbségeinek egyenlete lineáris, elegendő figyelembe venni a hiba növekedését egy kiválasztott kifejezésnél:

{\ displaystyle \ quad (5) \ qquad \ epsilon _ {m} (x, t) = e ^ {at} e ^ {ik_ {m} x}}

A stabilitás jellemzői tanulmányozhatók a hiba ezen formájával, az általánosság elvesztése nélkül. Ahhoz, hogy megtaláljuk a hiba variációját az idő függvényében, az (5) egyenletet a (2) egyenletben helyettesítjük, miután megjegyeztük, hogy

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ epsilon _ {j} ^ {n} & = e ^ {at} e ^ {ik_ {m} x} \\\ epsilon _ {j} ^ {n + 1} & = e ^ {a (t + \ Delta t)} e ^ {ik_ {m} x} \\\ epsilon _ {j + 1} ^ {n} & = e ^ {at} e ^ {ik_ {m} (x + \ Delta x)} \\\ epsilon _ {j-1} ^ {n} & = e ^ {at} e ^ {ik_ {m} (x- \ Delta x)}, \ end {igazítva} }}$

megérkezni (egyszerűsítés után)

{\ displaystyle \ quad (6) \ qquad e ^ {a \ Delta t} = 1 + {\ frac {\ alpha \ Delta t} {\ Delta x ^ {2}}} \ bal (e ^ {ik_ {m } \ Delta x} + e ^ {- ik_ {m} \ Delta x} -2 \ jobb).}

A következő azonosságok felhasználásával

{\ displaystyle \ qquad \ cos (k_ {m} \ Delta x) = {\ frac {e ^ {ik_ {m} \ Delta x} + e ^ {- ik_ {m} \ Delta x}} {2}} \ qquad {\ text {et}} \ qquad \ sin ^ {2} {\ frac {k_ {m} \ Delta x} {2}} = {\ frac {1- \ cos (k_ {m} \ Delta x )} {2}}}

a (6) -ot átírhatjuk

{\ displaystyle \ quad (7) \ qquad e ^ {a \ Delta t} = 1 - {\ frac {4 \ alpha \ Delta t} {\ Delta x ^ {2}}} sin * {2} (k_ {m} \ Delta x / 2)}

Határozza meg az amplitúdótényezőt

{\ displaystyle G \ equiv {\ frac {\ epsilon _ {j} ^ {n + 1}} {\ epsilon _ {j} ^ {n}}}}

A hiba korlátozásának szükséges és elégséges feltétele azonban: ${\ displaystyle \ green G \ green \ leq 1.}$

{\ displaystyle \ quad (8) \ qquad G = {\ frac {e ^ {a (t + \ Delta t)} e ^ {ik_ {m} x}} {e ^ {at} e ^ {ik_ {m } x}}} = e ^ {a \ Delta t}}

Így a (7) és (8) egyenletből arra következtetünk, hogy a stabilitási feltételt az adja meg

{\ displaystyle \ quad (9) \ qquad \ left \ vert 1 - {\ frac {4 \ alpha \ Delta t} {\ Delta x ^ {2}}} \ sin ^ {2} (k_ {m} \ Delta x / 2) \ right \ vert \ leq 1}

Annak érdekében, hogy a fenti feltétel mindenre igaz legyen , megvan ${\ displaystyle \ sin ^ {2} (k_ {m} \ Delta x / 2)}$

{\ displaystyle \ quad (10) \ qquad {\ frac {\ alpha \ Delta t} {\ Delta x ^ {2}}} \ leq {\ frac {1} {2}}}

A (10) egyenlet megadja az egydimenziós hőegyenletre alkalmazott FTCS-séma stabilitási feltételét. Azt mondja, hogy egy adott értéknek elég kicsinek kell lennie a (10) egyenlet ellenőrzéséhez. $\ Delta x$ $\ Delta t$

Hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia " Von Neumann-stabilitási elemzés " című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .

(in) Eugene Isaacson és Herbert Bishop Keller (in) , A numerikus módszerek elemzése , Dover ,1994, 576 p. ( ISBN 978-0-486-13798-8 , online olvasás ) , p. 523-530
(a) J. Crank és P. Nicolson , „ olyan gyakorlati eljárást, Numerikus értékelése Solutions parciális differenciálegyenletek hővezetés Type ” , Proc. Camb. Phil. Soc. , vol. 43,1947, P. 50–67 ( DOI 10.1007 / BF02127704 )
(in) JG Charney , R. Fjørtoft és J. von Neumann , " A barotrop örvényegyenlet numerikus integrációja " , Tellus , vol. 2,1950, P. 237-254 ( DOI 10.1111 / j.2153-3490.1950.tb00336.x )
(in) GD Smith , Parciális differenciálegyenletek numerikus megoldása: véges differenciálási módszerek , 1985, 3 e . , P. 67-68
(in) Anderson, JD, Jr. (in) , Számítási folyadékdinamika: Az alkalmazások alapjai , McGraw-Hill ,1994