A matematikában az aritmetikai-geometriai szekvencia olyan szekvencia, amely kielégíti az affin ismétlődési összefüggést , így általánosítva az aritmetikai és a geometriai szekvenciák definícióit .
Helyezzük magunkat egy tetszőleges kommutatív K mezőbe , például ℝ ( valós számok mezője ) vagy ℂ ( komplexek mezője ). Egy szekvencia ( u n ) n ∈ ℕ értékekkel a K azt mondják, hogy számtani-mértani ha két elem egy és b a K olyan, hogy a sorozat kielégíti a következő rekurzív sorozat :
. jegyzet Mindig csökkenthetjük egy ( u n ) n ≥ n 0 szekvencia vizsgálatát egy szekvencia ( v p ) p ∈ ℕ vizsgálatára, ha v p = u n 0 + p beállítjuk . Az ( u n ) szekvencia akkor és csak akkor elégíti ki a fenti forma relációját minden n ≥ n 0 esetén, ha a ( v p ) p ∈ ℕ szekvencia aritmetikai-geometriai.Abban az esetben egy = 1 , van dolgunk egy számtani sorozat , ezért
.Kérdéssel
,nekünk van :
(beleértve, ha a és n értéke nulla, a 0 0 = 1 konvencióval ).
DemonstrációMi először az a fix pont , azaz, a R oly módon, hogy az f ( r ) = r és f függvény x ↦ ax + b kapcsolódó szekvenciával:
.Ezután meghatározunk egy lefordított sorrendet :
.Az összefüggés u n + 1 = a n + b majd eredményeket v n + 1 + r = egy ( V n + r ) + b ezért
.A szekvencia ( V n ) tehát geometriai ész egy . Ebből kifolyólag,
.A definíciót követő megjegyzésből arra következtetünk, hogy általában:
.Ha a ≠ 1 , még mindig r = b / (1 - a ) beállítva , az első n tag (0-tól n- 1-ig) összege:
. DemonstrációSzerint a kifejezés az általános kifejezés az előző részben, és hogy az összege az első szempontjából egy mértani szekvencia ,
Az egymást követő tagok tetszőleges összegére következtethetünk: ugyanazon feltételezések mellett, n> p esetén
.Az általános kifejezés, és a megfontolások a geometriai szekvenciák lehetővé teszik, hogy meghatározzuk a határ ilyen szekvencia szerinti értékeinek egy , és esetleg a jele u 0 - R (ha egy ≠ 1, és r = b / ( 1 - a ) ).
Abban az esetben, ha | a | <1, a szekvencia határa r a kezdeti értéktől függetlenül. Az ilyen típusú szekvencia határa tehát független a kezdeti feltételektől . Ezt a sajátosságot össze kell hasonlítani a nemlineáris megismétlődésű szekvenciákkal ( logisztikai szekvencia ), amelyek a maguk részéről nagyon érzékenyek lehetnek a kezdeti körülményekre. Egy Markov-láncban ez azt bizonyítja, hogy a lánc egy álló lánccá konvergál.
Számos-geometriai szekvenciák találhatók egyes populációs áramlások (fix bevitel és arányos szivárgás) modellezésében.
Példa : 10 hozzájárulás és 5% szivárgás:
.A visszafizetési tervekben is megtalálhatók : a havi t kamatlábon felvett és M havi törlesztőrészletben visszafizetett C tőke visszafizetési terv kidolgozásához vezet. Ha R n az havi n befizetés után fennmaradó tőkét jelenti , akkor a szekvencia ( R n ) aritmetikai-geometriai sorrend, megismétlődéssel:
.
Kétállami Markov-láncban
is megtalálhatók . A sztochasztikus mátrix ekkor:
A kapcsolatból
arra következtetünk:
.Mint másrészt
,cserével kapjuk:
.