Levi-Civita szimbóluma

A matematika , a szimbólum a Levi-Civita , megjegyezte ε ( görög betű epszilon ) egy objektum ferdeség kívül, 3 hogy ki lehet fejezni a Kronecker szimbólum :

\ varepsilon _ {{ijk}} = {\ begin {vmatrix} \ delta _ {{i1}} & \ delta _ {{i2}} & \ delta _ {{i3}} \\\ delta _ {{j1} } & \ delta _ {{j2}} és \ delta _ {{j3}} \\\ delta _ {{k1}} és \ delta _ {{k2}} és \ delta _ {{k3}} \ end { vmatrix}}

Így csak három értéket vehet fel: –1, 0 vagy 1. $\ varepsilon _ {{ijk}}$

3. dimenzió

A 3. dimenzióban a következőképpen ábrázolhatjuk Levi-Civita szimbólumát:

{\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk} = {\ begin {esetben} +1 és {\ mbox {si}} (i, j, k) {\ mbox {est}} (1,2,3), (2 , 3,1) {\ mbox {or}} (3,1,2), \\ - 1 & {\ mbox {si}} (i, j, k) {\ mbox {est}} (3,2 , 1), (1,3,2) {\ mbox {vagy}} (2,1,3), \\ 0 és {\ mbox {si}} i = j {\ mbox {vagy}} j = k {\ mbox {vagy}} k = i. \ end {esetek}}}

A Levi-Civita szimbólum viszonya a Kronecker szimbólumhoz:

\ varepsilon _ {{ijk}} \ varepsilon _ {{lmn}} = \ delta _ {{il}} \ delta _ {{jm}} \ delta _ {{kn}} + \ delta _ {{im}} \ delta _ {{jn}} \ delta _ {{kl}} + \ delta _ {{in}} \ delta _ {{jl}} \ delta _ {{km}} - \ delta _ {{il}} \ delta _ {{jn}} \ delta _ {{km}} - \ delta _ {{in}} \ delta _ {{jm}} \ delta _ {{kl}} - \ delta _ {{im}} \ delta _ {{jl}} \ delta _ {{kn}}

\ sum _ {{i = 1}} ^ {3} \ varepsilon _ {{ijk}} \ varepsilon _ {{imn}} = \ delta _ {{jm}} \ delta _ {{kn}} - \ delta _ {{jn}} \ delta _ {{km}}

\ sum _ {{i, j = 1}} ^ {3} \ varepsilon _ {{ijk}} \ varepsilon _ {{ijn}} = 2 \ delta _ {{kn}}

2. dimenzió

A 2. dimenzióban a Levi-Civita szimbólumot a következők határozzák meg:

{\ displaystyle \ varepsilon _ {ij} = {\ begin {esetben} +1 és {\ text {si}} (i, j) = (1,2) \\ - 1 & {\ text {si}} ( i, j) = (2,1) \\\; \; \, 0 & {\ text {si}} i = j \ end {esetek}}}

Ezek az értékek a 2 × 2 négyzetmátrixba rendezhetők az alábbiak szerint:

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ varepsilon _ {11} & \ varepsilon _ {12} \\\ varepsilon _ {21} & \ varepsilon _ {22} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 és 1 \\ - 1 és 0 \ vége {pmatrix}}}

amelynek meghatározója 1. Hasonlóképpen, a Kronecker szimbólum értékei az identitás-mátrix elemeinek tekinthetők

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ delta _ {11} & \ delta _ {12} \\\ delta _ {21} & \ delta _ {22} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 és 0 \\ 0 és 1 \ vége {pmatrix}}}

Dimension n

Az n dimenzióban ezt megmutathatjuk

{\ displaystyle \ sum _ {i_ {1}, \ dots, i_ {n} = 1} ^ {n} \ left (\ varepsilon _ {i_ {1} \ dots i_ {n}} \ right) ^ {2 } = n!}

Demonstráció

Ha két egyenlő index van, azaz ha léteznek olyanok , akkor megkapjuk (a determináns nulla, mert a j és k egyenesek egyenlőek). ${\ displaystyle j, k \ in \ {1, \ dots, n \}}$ ${\ displaystyle i_ {j} = i_ {k}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {i_ {1} \ dots i_ {n}} = 0}$

Így ${\ displaystyle \ varepsilon _ {i_ {1} \ dots i_ {n}} \ neq 0 \ iff (i_ {1}, \ dots, i_ {n}) \ in {\ mathfrak {S}} _ {n} }$

Végül . ${\ displaystyle \ sum _ {i_ {1}, \ dots, i_ {n} = 1} ^ {n} \ left (\ varepsilon _ {i_ {1} \ dots i_ {n}} \ right) ^ {2 } = \ sum _ {\ sigma \ in {\ mathfrak {S}} _ {n}} 1 = | {{\ mathfrak {S}} _ {n}} | = n!}$

Értelmezés

Egy közvetlen ortonormáiis bázis , képviseli az orientált térfogata a paralelepipedon szerkesztett vektorokat . $({\ vec {e_ {1}}}, {\ vec {e_ {2}}}, {\ vec {e_ {3}}})$ $\ varepsilon _ {{ijk}}$ ${\ displaystyle {\ vec {e_ {i}}}, {\ vec {e_ {j}}}, {\ vec {e_ {k}}}}$

Ezért 0-val egyenlő érték, ha i = j vagy j = k vagy k = i .

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Szerzői hitel

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „ Levi-Civita szimbólum ” ( lásd a szerzők listáját ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">