Invariáns rendszer
A folyamat átalakítja egy bemeneti jel egy kimeneti jelet ( elektromos jelek például) nevezzük egy invariáns (vagy stacionárius ) rendszer Ha a fordítás ideje alkalmazzák a bemenet megtalálható a kimeneti. Ebben az értelemben a kimenet nem kifejezetten időfüggő .
Meghatározás
Ha egy invariáns rendszer egy kimenetet társít a bemeneti jelhez , akkor a bemenetre alkalmazott időeltolástól függetlenül a rendszer az áthelyezett kimenetet a jelhez társítja .
x(t){\ displaystyle \ displaystyle x (t)}
y(t){\ displaystyle \ displaystyle y (t)}
δ{\ displaystyle \ displaystyle \ delta}
x~(t)=x(t+δ){\ displaystyle {\ tilde {x}} (t) = x (t + \ delta)}
y~(t)=y(t+δ){\ displaystyle {\ tilde {y}} (t) = y (t + \ delta)}
Egyenértékű meghatározás :
A rendszer invariáns, ha kommutativitás van a rendszerblokk és egy tetszőleges késleltetési blokk között .
Ez a tulajdonság kielégíthető (de nem feltétlenül), ha a rendszer átviteli függvénye nem az idő függvénye (kivéve a bemeneti és kimeneti kifejezéseket).
Példák
Alapvető példák
Ha tudni szeretné, hogyan lehet meghatározni, hogy a rendszer invariáns-e, vegye figyelembe a két rendszert:
- A rendszer: y(t)=tx(t){\ displaystyle y (t) = t \, x (t)}
- B rendszer: y(t)=10.x(t){\ displaystyle \, \! y (t) = 10x (t)}
Mivel a rendszer egy kifejezetten függ az idő t kívül és , akkor a rendszer nem invariáns. A B rendszer nem kifejezetten függ a t időtől , ezért invariáns.
x(t){\ displaystyle x (t) \,}
y(t){\ displaystyle y (t) \,}
Formális példák
A fenti A és B rendszerek invarianciájának (vagy sem) hivatalosabb bizonyítékát mutatjuk be itt. A bizonyítás elvégzéséhez a második definíciót kell használni.
A rendszer :
A váltással történő belépéstől
xd(t)=x(t+δ){\ displaystyle x_ {d} (t) = \, \! x (t + \ delta)}
y(t)=txd(t){\ displaystyle y (t) = t \, x_ {d} (t)}
y1(t)=txd(t)=tx(t+δ){\ displaystyle y_ {1} (t) = t \, x_ {d} (t) = t \, x (t + \ delta)}
Most késleltessük a kijáratot
δ{\ displaystyle \ delta}
y(t)=txd(t){\ displaystyle y (t) = t \, x_ {d} (t)}
y2(t)=y(t+δ)=(t+δ)x(t+δ){\ displaystyle y_ {2} (t) = \, \! y (t + \ delta) = (t + \ delta) x (t + \ delta)}
Nyilvánvaló , hogy ezért a rendszer nem invariáns.
y1(t)≠y2(t){\ displaystyle y_ {1} (t) \, \! \ neq y_ {2} (t)}
B rendszer :
A váltással történő belépéstől
xd(t)=x(t+δ){\ displaystyle x_ {d} (t) = \, \! x (t + \ delta)}
y(t)=10.xd(t){\ displaystyle y (t) = 10 \, x_ {d} (t)}
y1(t)=10.xd(t)=10.x(t+δ){\ displaystyle y_ {1} (t) = 10 \, x_ {d} (t) = 10 \, x (t + \ delta)}
Most késleltessük a kijáratot
δ{\ displaystyle \, \! \ delta}
y(t)=10.xd(t){\ displaystyle y (t) = 10 \, x_ {d} (t)}
y2(t)=y(t+δ)=10.x(t+δ){\ displaystyle y_ {2} (t) = y (t + \ delta) = 10 \, x (t + \ delta)}
Nyilvánvaló , hogy ezért a rendszer invariáns
y1(t)=y2(t){\ displaystyle y_ {1} (t) = \, \! y_ {2} (t)}
Absztrakt példa
Jelöljük a késleltetés operátort azzal, hogy hol van az a mennyiség, amellyel a vektor paramétert késleltetni kell. Például a "feed by 1" rendszer:
Tr{\ displaystyle \ mathbb {T} _ {r}}
r{\ displaystyle r}
x(t+1)=δ(t+1)∗x(t){\ displaystyle x (t + 1) = \, \! \ delta (t + 1) * x (t)}
ábrázolható az absztrakt jelöléssel:
x~1=T1x~{\ displaystyle {\ tilde {x}} _ {1} = \ mathbb {T} _ {1} \, {\ tilde {x}}}
hol van az által megadott függvény
x~{\ displaystyle {\ tilde {x}}}
x~=x(t)∀t∈R{\ displaystyle {\ tilde {x}} = x (t) \, \ forall \, t \ in \ mathbb {R}}
a lépcsőzetes kimenetet előállító rendszer
x~1=x(t+1)∀t∈R{\ displaystyle {\ tilde {x}} _ {1} = x (t + 1) \, \ forall \, t \ in \ mathbb {R}}
Tehát egy olyan operátor, amely a vektorbemenetet 1-gyel előzi meg.
T1{\ displaystyle \ mathbb {T} _ {1}}
Tegyük fel, hogy egy operátor képviseli a rendszert . Ez a rendszer invariáns, ha ingázik a késleltetés operátorral, vagyis:
H{\ displaystyle \ mathbb {H}}
TrH=HTr∀r{\ displaystyle \ mathbb {T} _ {r} \, \ mathbb {H} = \ mathbb {H} \, \ mathbb {T} _ {r} \, \, \ forall \, r}
Ha a rendszer egyenletét a következő adja meg:
y~=Hx~{\ displaystyle {\ tilde {y}} = \ mathbb {H} \, {\ tilde {x}}}
Akkor ez egy változatlan rendszert, ha tudjuk alkalmazni az üzemeltető a nyomonkövetési a késleltetési operátor , vagy alkalmazza a késleltetési operátor , majd a rendszerirányító , a 2. számítások termelő azonos eredményt.
H{\ displaystyle \ mathbb {H}}x~{\ displaystyle {\ tilde {x}}}Tr{\ displaystyle \ mathbb {T} _ {r}}Tr{\ displaystyle \ mathbb {T} _ {r}}H{\ displaystyle \ mathbb {H}}
Először alkalmazzuk a rendszergazdát:
TrHx~=Try~=y~r{\ displaystyle \ mathbb {T} _ {r} \, \ mathbb {H} \, {\ tilde {x}} = \ mathbb {T} _ {r} \, {\ tilde {y}} = {\ tilde {y}} _ {r}}
A késleltetési operátor alkalmazása először:
HTrx~=Hx~r{\ displaystyle \ mathbb {H} \, \ mathbb {T} _ {r} \, {\ tilde {x}} = \ mathbb {H} \, {\ tilde {x}} _ {r}}
Ha a rendszer invariáns, akkor
Hx~r=y~r{\ displaystyle \ mathbb {H} \, {\ tilde {x}} _ {r} = {\ tilde {y}} _ {r}}
Kapcsolódó cikkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">