A jelfeldolgozásban az átviteli függvény egy lineáris rendszer bemenete és kimenete közötti kapcsolat matematikai modellje , amely legtöbbször invariáns . Ezt alkalmazzák, különösen a kommunikáció elmélet, automatizálás és a mérnöki tudományok, amelyek felhívják ezen fegyelem ( elektronika , mechanika , mechatronika , stb ). A fenti bemeneti és kimeneti jeleknek több összetevője lehet, ilyenkor gyakran megadják (anélkül, hogy ez kötelező lenne), hogy az átviteli függvény átviteli mátrix . Másrészt ezek a jelek csak időtől (ez a legklassikusabb eset), vagy térváltozóktól, vagy mindkettőtől függhetnek: ez a többdimenziós rendszerek esete ); egyes szerzők így modellezik a részleges differenciálegyenletek által meghatározott rendszereket. A képfeldolgozás területén a be- és kimeneti jelek a térváltozók függvényei, amelyeket leggyakrabban diszkrét változóknak tekintenek, majd indexelt családok (vagy szekvenciák). A rendszer átviteli funkciója lehetővé teszi a frekvenciaelemzés elvégzését , például annak érdekében, hogy később szabályozót tervezzen az úgynevezett frekvenciatartományban (lásd az Automatikus cikket ). A lineáris rendszer beírása nem feltétlenül parancsváltozó, és kilépése nem mindig olyan változó, amelynek viselkedését kezelni kívánja; Például egy színes zaj modellezhető egy lineáris rendszer kimeneteként, amelynek bemenetére fehér zaj van, és amelynek átviteli funkcióját a közvetlen és inverz oksági spektrális faktorizálás módszerével határozzuk meg.
A fentiekben kiváltott összefüggés az u bemenet és az y kimenet között egy konvolúciós operátor, amelynek magja a rendszer impulzusválasza . Stabil vagy marginálisan stabil rendszer kivételével ez nem temperált eloszlás (folyamatos változók esetén) vagy lassan növekvő szekvencia (diszkrét változók esetén), és ezért nem ismeri el a Fourier-transzformációt. Ezért figyelembe kell venni a Laplace vagy a Z transzformációt , attól függően, hogy a változók folytonosak vagy diszkrétek. Ezt az átalakítást nevezzük a rendszer átviteli függvényének . Ez csak részben képviseli a rendszert, mivel nem veszi figyelembe a kezdeti (vagy a határ) feltételeket. Pontosabban azt kapjuk, ha feltételezzük, hogy ezek a kezdeti feltételek (vagy a határokon) nullaak. Ez információvesztést eredményez, ami azt jelenti, hogy az átviteli függvény csak a rendszer vezérelhető és megfigyelhető részét képviseli. Mindazonáltal nagyon fontos a rendszer tulajdonságainak elemzése, és történelmileg ez a reprezentáció jelent meg először (lásd: Az automatika története ). Fontos megérteni az átviteli függvények formalizmusa által kínált lehetőségeket, valamint annak határait.
Az átviteli függvény fogalmát már régóta csak az invariáns lineáris rendszereknél definiálták . Természetesen felmerült a kérdés, hogy ezt a fogalmat ki lehet-e terjeszteni a változó együtthatójú lineáris rendszerek esetére. Csak nemrégiben, algebrai módszerrel sikerült ezt a kiterjesztést kézzelfogható gyakorlati következményekkel elérni.
Vegyünk egy egyenletrendszert:
ahol u és y a bemenet és a kimenet, és ahol D (∂) és N (∂) polinomok, valódi együtthatók at =dd tn és m fokot . A készlet ezen polinomok egy euklideszi , és ezért elsődleges , gyűrű jelöljük .
A D (∂) polinomot feltételezzük, hogy nem nulla. Tegyük fel, hogy u és y jelentése „generalizált funkciók pozitív támogatást” fogadására Laplace-transzformáció jelöljük rendre és .
Tegyük fel, hogy a kezdeti feltételek y (0 - ) ..., y n -1 (0 - ), u (0 - ) ..., u m -1 (0 - ) vannak nulla . Míg a fenti differenciálegyenlet magában, a Laplace-transzformáció , .
Ebből kifolyólag :
ahol G ( p ) a racionális tört N ( p )D ( p ). Ezt a racionális frakciót nevezzük a rendszer átviteli függvényének .
Nem vezérelhető oszlopokAz ezt a racionális frakciót tartalmazó érvelést annak visszavonhatatlan ábrázolásán kell elvégezni N ' ( p )D ' ( p )ahol N ' ( p ) =N ( p )P ( p ), D ' ( p ) =D ( p )P ( p ), P ( p ) jelentése N ( p ) és D ( p ) gcd-értéke .
A rendszer tekinthető mindig megfigyelhető, és ez ellenőrizhető (ill. Stabilizálható) akkor, és csak ha P ( p ) egy egységet a gyűrű , azaz nem nulla valós (ill. A polinom Hurwitz ). A gyökerek a komplex síkban polinom P ( p ) a nem vezérelhető pólusai a rendszer
Átviteli függvény mértékeA racionális tört mértéke G =NEMDa következő: d ° ( G ) = d ° ( N ) - d ° ( D ) . Tegyük euklideszi részlege N (∂) által D (∂) . Jön N (∂) = D (∂) Q (∂) + R (∂) ahol Q (∂) a hányados, R (∂) a maradék pedig olyan, hogy d ° ( R ) < d ° ( D ) . A z = y - Q (∂) u beállításával engedje el újra
azt kapjuk
Tegyük fel, hogy az u darabonkénti folytonos függvény, amely folytonosságot mutat az origóban. Ekkor z folyamatos függvény. Mert y három eset lehetséges:
A (3) eset a gyakorlatban soha nem fordul elő, mivel a szakaszos bejegyzés tönkretenné a rendszert. A (2) eset kivételes: „tehetetlenség nélküli” rendszernek felel meg. A szabályozó ennek ellenére rendelkezhet kétspecifikus átviteli funkcióval (a legegyszerűbb esetben az arányos szabályozóé).
A következőkben feltételezzük, hogy az (1) vagy (2) esetben vagyunk.
Átviteli pólusok és nullák - StabilitásA pólusok (ill. Nullák ) az átviteli rendszer nevezzük pólusok (ill. Nullák) az átviteli függvény a G ( p ) , azaz a gyökerek a D „ ( p ) (ill. N” ( p ) ).
A rendszer akkor és akkor stabil az EBSB-nél , és csak akkor, ha átviteli pólusai mind a bal félsíkhoz tartoznak (ahonnan értelemszerűen a képzeletbeli tengely kizárt). Ez exponenciálisan stabil, ha, és csak akkor, ha a polinom D (∂) van Hurwitz . A fentiek alapján a rendszer akkor és csak akkor exponenciálisan stabil, ha az EBSB stabil és stabilizálható. (Nem lehet elégszer hangsúlyozni, hogy ez csak azért van így, mert a figyelembe vett rendszer megfigyelhető, és egyetlen lehetséges rejtett módja ezért nem vezérelhető pólusai.)
A rendszer fázisminimumon áll, ha pólusai és átviteli nullái mind a bal félsíkhoz tartoznak.
Frekvencia válaszA rendszer fentiekben figyelembe vett frekvencia-válasza a függvény . Azt a kiegészítést határozza meg, hogy hol van az átviteli pólusok halmaza (esetleg üres) a képzeletbeli tengelyen. Az analitikai kiterjesztés elve azt mutatja, hogy a frekvencia válasz teljesen meghatározza az átviteli függvényt.
A frekvencia-válasz értelmezése a következő: tegyük fel, hogy a rendszer bemenete szinuszos, az ω lüktetés (ez a lüktetés nem tartozik a fenti halmazba ). Ez kényelmes, a matematikai síkon, írom ezt bemeneti jel u komplex formában , . Ekkor azonnal megmutatjuk, hogy a kimenet (összetett formában) y ( t ) = G (i ω ) u ( t ) . Konkrétan, a tényleges be- és kilépés (a szó minden értelmében) természetesen a fenti összetett be- és kilépés valós része.
Ha a képzeletbeli tengely az átviteli függvény konvergenciasávjába tartozik (mint az impulzus-válasz kétoldalú Laplace-transzformációja ), akkor a frekvencia-válasz nem más, mint az impulzus-válasz Fourier-transzformációja. Éppen ezért bizonyos mérnöki tudományokban, ahol a figyelembe vett rendszerek mindig stabilak, az átviteli függvényt ez a Fourier-transzformáció határozza meg. Ez a nyelvvel való visszaélés, amely nem okoz némi zavart.
Diszkrét időrendszerek esetében a formalizmus nagyon hasonló a fentiekhez, némi eltéréssel
(3) A kezdeti feltételek most y (0), ..., y ( n - 1), u (0), ..., u ( m - 1) . Feltételezve, hogy nulla, és a szimbolizáló által U ( z ) és az Y ( z ) az egyoldali transzformáció Z a szekvenciák u és y rendre kapjuk (lásd tulajdonságai a transzformáció Z )
ahol G ( z ) az átviteli függvény N ( z )D ( z ).
KauzalitásA rendszer szigorúan ok-okozati , és csak akkor, ha transzferfüggvénye szigorúan megfelelő racionális frakció (azaz d ° ( G ) <0 ). Ez azt jelenti, hogy az adott k kimenet kimenetét (amelyet jelen pillanatnak tekintünk) sem a bejegyzés jövője, sem pedig az utóbbi értéke k pillanatban nem befolyásolja .
A rendszer akkor és csak akkor ok-okozati , ha az átviteli funkciója megfelelő. Ez azt jelenti, hogy az adott időpontban történő kilépést nem befolyásolja a belépés jövője.
Végül a rendszer akkor és csak akkor nem ok-okozati, ha az átviteli funkciója nem megfelelő. Az adott időpontban történő kilépést a belépés jövője befolyásolja. Ez természetesen lehetetlen, ha a múltnak, jelennek, jövőnek a szokásos jelentése van. Ennek ellenére lehetséges nem ok-okozati digitális szűrők alkalmazásával például késleltetett jelfeldolgozás .
StabilitásA G ( z ) átviteli függvény diszkrét időrendszere akkor és akkor stabil az EBSB-nél , és csak akkor, ha átviteli pólusai, azaz G ( z ) pólusai mind a köregységen belül helyezkednek el.
Tudjuk, hogy a kapcsolat a Laplace változó p és változó z a transzformáció Z jelentése (lásd Laplace-transzformáció ) Z = e pT , ahol T a mintavételi periódus. Tehát van | z | <1 (ill. | Z | = 1 ) akkor, és csak akkor, ha (ill. ). A diszkrét időrendszerekre vonatkozóan itt megadott stabilitási feltételeknek ezért nem kell meglepőnek lenniük, ha tudjuk, hogy a fentieket a folyamatos idejű rendszerek esetében megállapítottuk.
Frekvencia válaszAzáltal p = i co közötti kapcsolatra a Laplace változó p és a variábilis Z , azt kapjuk, Z = e i ωT = e i θ a θ = ωT . Ez megmagyarázza, miért egy diszkrét időrendszer frekvencia-válasza a G ( z ) átviteli függvénnyel . Ez az összes θ-re definiált függvény úgy, hogy e i θ nem G ( z ) pólusa , periodikus a 2π periódussal , és mivel θ variációi a [0, π [ intervallumra korlátozhatók . A változót normalizált szívverésnek nevezzük . Ha a bemeneti a rendszer szinuszos, normalizált impulzus θ (ahol e i θ nem pólusa G ( Z ) ), nevezetesen a (komplex formában) u ( k ) = A e i kθ , akkor a kimenet ( komplex formában) y ( k ) = G (e i θ ) u ( k ) .
Diszkrétált rendszer átviteli funkciójaA automatikus üzemmódban , az esetek túlnyomó többségében, diszkrét idejű rendszer S d eredmények a diszkretizációs, egy mintavételi időszak T , a folytonos idejű rendszer S c egy átviteli függvény G ( p ) . A kimeneti y a rendszer S C mintavételezzük időszakban T , és ennek következtében a mintavételezett jel y * = y π T , ahol π T a „ Dirac fésű ”.
Ez az y * jel , amely csak matematikai reprezentáció, valójában csak tájékoztatásul tartalmazza az y értékeit a mintavételi pillanatokban, mivel
Azáltal y d ( k ) = y ( kT ) , a diszkrét jel y d (ami egy szekvencia) a kimenete, a rendszer S d , hogy arra törekszünk, hogy jellemezni. Ez a diszkrét információt számítógéppel feldolgozták, például, hogy létrehoz egy diszkrét vezérlő jel u d . Ennek az u d jelnek interpoláción kell átesnie annak érdekében, hogy folyamatos időjelekké alakuljon át, amely az S c rendszerre hat . A valós időben működő hurkos rendszer megszerzéséhez ennek az interpolációnak oksági kell lennie , ellentétben a Shannon-interpolációval (a Shannon-Nyquist-tétel szerint ). Ezért folytatjuk az u d diszkrét jel blokkolását minden mintavételi periódus alatt. A legegyszerűbb blokkoló a nulla sorrendű. A mintavételezett blokkolt jelet (nulla sorrendű blokkolóval) a
.Ezért ez a jel u b 0 (ami valóban folytonos időben, de a másik viszont egy olyan nem folytonos az idő függvényében, mivel ez fokozatú), amely belép a rendszerbe S c .
A kapcsolat a u d és y d lineáris, és helyhez kötött. Ezért felvesz egy z- ben lévő átviteli függvényt , amelyet G d ( z ) -nek jelölünk , és amely figyelembe veszi a nulla rendű blokkolót. Könnyen megmutatjuk, hogy az adja
ahol a és jelölik rendre a Laplace transzformáció , és a Z transzformáció .
Az ezt követő fejlesztéseket folyamatos időrendszerekre hajtják végre. Nyilvánvalóan diszkrét időrendszerekbe ültetik át őket. Tekintsünk egy folyamatos idejű többváltozós rendszert, amelynek m bemenetei u 1 , ..., u m és q kimenetei y 1 , ..., y q . Legyen u (ill. Y ) az u j (ill. Y i ) és (ill. ) U monolaterális Laplace- transzformációjának (ill. Y ) alkotott oszlopa . Nulla kezdeti feltétel mellett van összefüggés
ahol G ( p ) a racionális törtek mátrixa, pontosabban ahol a hol a p- re eső racionális törtek mezőjét valós együtthatókkal jelöli , nevezetesen a p-n lévő polinomgyűrű frakcióinak mezőjét . Ez a mátrix a G ( p ) van a transzfer-mátrix a rendszer.
Ez az átviteli mátrix azt mondják, hogy tiszta (vagy szigorúan tiszta ), ha minden eleme van, és másként nem megfelelő .
Legyen δ ( p ) ≠ 0 a legkisebb közös nevező a mátrix összes eleme közül . Az N ( p ) = δ ( p ) G ( p ) mátrix tehát hozzátartozik , és mivel a gyűrű elsődleges, az invariáns faktor tétel azt mutatja, hogy vannak P ( p ) és Q ( p ) mátrixok , amelyeken invertálható , így Σ ( p ) = P ( p ) N ( p ) Q -1 ( p ) a Smith formája a N ( p ) . Ez a mátrix Σ ( p ) alakú
ahol a rangot a (így a G ( p ) a ), és ahol az ( α i ( p )) 1 ≤ i ≤ r nem nulla elemeinek kielégíti a oszthatóság kapcsolatban . Ezek az elemek alfa i ( p ) az invariáns tényezők a N ( p ) és egyértelműen meghatározzák fel a szorzás egységek (azaz invertálható elemei) a (lásd a cikk faktor tétel invariáns ). Így van
vagy
.Végre megvan
ahol racionális törtek n i ( p )d i ( p )csökkenthetetlenek. Megvan a kapcsolatok oszthatóság és . A elemek n i és d i a 1 ≤ i ≤ r kielégítik ezeket a feltételeket egyértelműen meghatározzák a G ( p ) felfelé a szorzás egységei , így a mátrix a racionális frakciók van kanonikus és az úgynevezett Smith-MacMillan formája a G ( p ) . Meg kell jegyezni, hogy az a tény, hogy G ( p ) megfelelő átviteli mátrix (vagy szigorúan megfelelő), nem jelenti azt, hogy a racionális frakciókn i ( p )d i ( p ) lenni.
A G ( p ) átviteli mátrixot tartalmazó rendszer átviteli pólusai (vagy nullai) a fenti d i ( p ) (ill. N i ( p ) ) polinomok gyökerei . Ha p 0 gyöke érdekében ν i a d i ( p ) az 1 ≤ i ≤ p , akkor meghatározza, hogy a pólus p 0 van a strukturális indexek { ν 1 , ..., ν p } . Ez a meghatározás nullákra érvényes, értelemszerűen .
Vegyük például az átviteli mátrixot
A fenti jelölésekkel δ ( p ) = ( p +1) 2 ( p +2) 2 és
Az invariáns faktor-tételben alkalmazott sorok és oszlopok elemi műveletei lehetővé teszik N ( p ) számára Smith alakjának megszerzését
és a G ( p ) Smith-MacMillan alakja tehát
Az átviteli pólusok ezért -1 és -2, és mindkettőjüknek van egyetlen strukturális indexe. -2) lehet egy átviteli pólus és egy átviteli nulla is, ami nyilvánvalóan lehetetlen egyváltozós rendszerek esetén.
Legyen G ( p ) (vagy G ( z ) ) a folytonos idejű (ill. Diszkrét idő) rendszer átviteli mátrixa, és tegyük fel, hogy ez az átviteli mátrix megfelelő. Ekkor a figyelembe vett rendszer akkor és csak akkor stabil az EBSB-nél , ha az átviteli pólusai mind a bal félsíkban (ill.
Az átviteli nullák könnyebb értelmezése érdekében feltételezzük, hogy m = q = r (eset, amelyre szintén mindig redukálhatunk). Ekkor a λ komplex szám akkor transzmissziós nulla, és csak akkor, ha nulla kezdeti feltétel mellett létezik a nulla nem u bemenet az alaknak (ill. ) , Valamint egy nem nulla lineáris alaknak , például a lineáris kombinációnak azonos módon null.
A végtelen dimenzió rendszerének fogalmát csak tagadással lehet meghatározni: olyan rendszerről van szó, amely nem véges dimenziójú. E rendszerek változatossága ezért óriási. A kérdéses "dimenzió" itt az állapottéré, és az a tény, hogy végtelen, azt eredményezi, hogy az átviteli függvény irracionális. Itt nem kérdés a teljesség, és az ezt követő rövid bemutatás a lineáris rendszerek esetére korlátozódik, folyamatos idővel és arányos késésekkel (elosztva vagy sem).
Vizsgáljuk meg először a forma rendszerét
ahol az a ij és a b ij valós együtthatók (az a ij nem mind nulla), és ahol τ > 0 a késés. Kérdéssel
a rendszer átviteli függvényét G ( p ) = írjaN ( p )D ( p )ahol N ( p ) = b ( p , e - τp ) és D ( p ) = a ( p , e - τp ) . Ez az átviteli függvény tehát a gyűrű frakcióinak testéhez tartozik , amely gyűrű izomorf . Ez a gyűrű tényleges egy Gaus-okból adódó tétel szerint (lásd : Polinomok gyűrűi ), ezért a ( s , z ) és b ( s , z ) gcd c ( s , z ) . Az a ' ( s , z ) = a ( s , z ) / c ( s , z ) és b' ( s , z ) = b ( s , z ) / c ( s , z ) elemek ezért elsődlegesek egymás között a , és mi a G ( p ) =N ' ( p )D ' ( p )ahol N ' ( p ) = b' ( p , e - τp ) és D ' ( p ) = a' ( p , e - τp ) .
A rendszer átviteli pólusait (vagy nulláit) nullaként definiáljuk a D ' ( p ) (ill. N' ( p ) ) komplex síkjában .
Feltételezem, hogy
.Ekkor a rendszer stabil EBSB, ha létezik valós ε > 0, így annak átviteli pólusainak (amelyek általában végtelen számban vannak) valamennyien valós rész kisebbek, mint –ε .
Ez a rendszer megfigyelhető. Mivel a gyűrű nem Bezout gyűrű , különböző típusú vezérelhetőség létezik. Végül a fenti elemzés nem általánosítható a többváltozós rendszerek esetére. Ezért van szükség a kezelőgyűrű megváltoztatására, amely elosztott késleltetési rendszerek mérlegeléséhez vezet.
Késések elosztvaVegyük például az elosztott késleltetési operátor által meghatározott
A átviteli függvény , amely lehet tekinteni, mint egy eleme , ahol jelöli a gyűrű egész függvények a komplex síkban. Az így meghatározott gyűrű nagyon alkalmas elosztott, arányos késleltetési rendszerek tanulmányozására. Noha nem fő, valóban elemi elválasztókkal ellátott gyűrű . Ezért ebben a gyűrűben egy elemmátrix Smith formát, a gyűrű frakciótestében lévő elemmátrix pedig Smith-MacMillan formát fogad el. Az ezen a gyűrűn definiált rendszerek elmélete tehát (algebrailag) meglehetősen hasonló a differenciál operátorok klasszikus gyűrűjén definiált rendszerek elméletéhez . Ennek ellenére a pólusok és az átviteli nullák száma ezúttal általában végtelen.
Feltételezve, hogy az elemek G ij ( p ) a transzfer mátrix G ( p ) mind olyan, hogy
a rendszer stabil EBSB, ha létezik valós ε > 0, úgy hogy az átviteli pólusoknak (általában végtelen számban) valódi része alacsonyabb, mint –ε .
Legyen K a differenciál mező a szokásos származtatása (például gyűrűs komplex racionális frakciók), és hagyja, hogy a D = K [ ∂ ] azzal a gyűrű a bal polinomok a ∂ a együtthatók K . Ha egy változó, van szerint Leibniz-szabály , és mivel ez igaz, amit f általunk D a kommutációs szabály
A D gyűrű , amelyhez ez a szabály tartozik, nem kommutatív és egyszerű fő gyűrű. Ezenkívül ez egy ércgyűrű, amely befogadja az F törtek mezőjét a bal és a jobb oldalon. Minden eleme F formáját ölti egy -1 b = b ' a' -1 , ahol egy , a ' b , b' tartoznak a D és egy , a " vannak nem nulla.
Tól egy algebrai szempontból, egy differenciális rendszer lineáris együttható K egy egység típusú kivitelben a D . A oszlop u a m elemek u i in lehet választani, mint bemenet a rendszert, ha a D -module [ u ] D által generált u i mentes rang m , és oly módon, hogy a hányados M / [ u ] D jelentése torziós. Jelöljük akkor a rendszer kimenetét képviselő elemek oszlopát .
Tekintsük a Laplace functort :
A fenti összegek azt mondanánk, hogy a kanonikus képeket a forma alapján az F , vektor teret . Ezért az in kanonikus képeinek figyelembevételével létezik egy egyedi G ∈ F q × m mátrix , amely
Ez a mátrix a G az átviteli mátrix a rendszer változó együtthatók.
A diszkrét időrendszerek esete a következőképpen kezelhető: ezúttal egy differencia mezőt veszünk figyelembe , amelyet az előzetes operátor biztosít . Legyen a bal Laurent-polinomok gyűrűje a kommutációs törvény által biztosított határozatlan q (előremutató, amely kiterjesztése ) . Ez a gyűrű a D jelentése, mint korábban, nem kommutatív és egyszerű Főgyűrűjük (ez utóbbi tulajdonság adja az előnye, hogy a D át a gyűrűt a bal polinomok , amely elsődleges, de nem egyszerű), és F elismeri egy hányadostest F bal és jobb. Lineáris diszkrét idejű rendszer, amely azonosítható a D feletti modul típusával . Az előző bekezdés felépítése ezután változtatás nélkül megismételhető, a Z-be átalakított functornak köszönhetően :