Kétoldalú Laplace-transzformáció
Az elemzés , a kétoldalú Laplace transzformáció a legáltalánosabb formája a Laplace-transzformáció , amelyben az integráció történik mínusz végtelenig helyett a nullától.
Meghatározás
A valós változó függvényének kétoldalú Laplace-transzformációja a komplex változó függvénye, amelyet az alábbiak határoznak meg:
f{\ displaystyle f}
F{\ displaystyle F}![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
F(o)=L{f}(o)=∫-∞+∞e-otf(t)dt.{\ displaystyle F (p) = {\ mathcal {L}} \ {f \} (p) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- pt} f (t) \, dt.}
Ez az integrál konvergál , vagyis a konvergenciasávba való tartozáshoz a komplex síkon (ahelyett , hogy kijelölné a konvergencia abszcisszáit, monolaterális transzformáció esetén). Pontos módon, az eloszláselmélet keretein belül ez a transzformáció „konvergál” minden olyan értékhez, amelyhez (visszaélésszerű jelöléssel) mérsékelt eloszlású, és így Fourier transzformációját ismeri el .
α<ℜ(o)<β,-∞≤α≤β≤+∞{\ displaystyle \ alpha <\ Re \ bal (p \ jobb) <\ beta, - \ infty \ leq \ alpha \ leq \ beta \ leq + \ infty}
o{\ displaystyle p}
ℜ(o)>α{\ displaystyle \ Re \ bal (p \ jobb)> \ alpha}
α{\ displaystyle \ alpha}
o{\ displaystyle p}
t↦e-ℜ(o)tf(t){\ displaystyle t \ mapsto e ^ {- \ Re \ bal (p \ jobb) t} f \ bal (t \ jobb)}![{\ displaystyle t \ mapsto e ^ {- \ Re \ bal (p \ jobb) t} f \ bal (t \ jobb)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44270682656d2ac1a54f85f0b8972d52d850e542)
Elemi tulajdonságok
Az elemi tulajdonságok (injektivitás, linearitás stb.) Megegyeznek a monolaterális Laplace-transzformációval .
Kerülendő kétértelműségek
Ha a Laplace kétoldalú transzformációját használjuk, elengedhetetlen a konvergencia sávjának meghatározása. Vagy például .
F(o)=1o{\ displaystyle F \ bal (p \ jobb) = {\ dfrac {1} {p}}}![{\ displaystyle F \ bal (p \ jobb) = {\ dfrac {1} {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/158f3baa0e19f79f14d75b59b415352e893956db)
Ha a konvergencia sáv van , akkor ennek a Laplace-transzformációnak az előzménye a Heaviside függvény . Másrészt, ha a konvergencia sáv van , akkor ez az előzmény az .
ℜ(o)>0{\ displaystyle \ Re \ bal (p \ jobb)> 0}
Υ{\ displaystyle \ Upsilon}
ℜ(o)<0{\ displaystyle \ Re \ bal (p \ jobb) <0}
t↦-Υ(-t){\ displaystyle t \ mapsto - \ Upsilon \ bal (-t \ jobb)}![{\ displaystyle t \ mapsto - \ Upsilon \ bal (-t \ jobb)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6240face3fbfa67455401b99bd20ba4950859031)
Konverzió és levezetés
Mindkettő és két összevonható elosztás, például mindegyiknek korlátozott támasza van a bal oldalon, vagy az egyik kompakt támaszú. Ezután (mint a monolaterális átalakulás esetében),
T{\ displaystyle T}
S{\ displaystyle S}![S](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
L{T∗S}=L{T}L{S}{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {T * S \} = {\ mathcal {L}} \ {T \} {\ mathcal {L}} \ {S \}}![{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {T * S \} = {\ mathcal {L}} \ {T \} {\ mathcal {L}} \ {S \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421d4ec5e44b40009f01ada61d7f644e5a2b31ae)
Különösen, és ezért
L(δ(nem))=onem{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ bal (\ delta ^ {\ bal (n \ jobb)} \ jobb) = p ^ {n}}
δ(nem)∗S=S(nem){\ displaystyle {\ mathcal {\ delta}} ^ {\ bal (n \ jobb)} \ ast S = S ^ {\ bal (n \ jobb)}}![{\ displaystyle {\ mathcal {\ delta}} ^ {\ bal (n \ jobb)} \ ast S = S ^ {\ bal (n \ jobb)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223a48c44b34656007e9f0546ca128af57ca05a)
L(S(nem))=onemL(S){\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ bal (S ^ {\ bal (n \ jobb)} \ jobb) = p ^ {n} {\ mathcal {L}} \ bal (S \ jobb)}![{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ bal (S ^ {\ bal (n \ jobb)} \ jobb) = p ^ {n} {\ mathcal {L}} \ bal (S \ jobb)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd5a119c6de8cf2e2a6d06954e47272d2a252d8e)
A hiperfunkciók Laplace-transzformációi
A Laplace-transzformáció kiterjeszthető bizonyos hiperfunkciók esetére , úgynevezett „Laplace-hiperfunkcióknak” vagy „exponenciális típusú hiperfunkcióknak”. Egy eloszlás által meghatározott hiperfunkcióra a fenti elméletet találjuk. De például
f(t)=∑k=0∞(-1)kk!(k+1)!δ(k)(t)=[-12πéne1z]{\ displaystyle f \ left (t \ right) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (-1 \ right) ^ {k}} {k! \ left (k + 1 \ jobb)!}} \ Delta ^ {\ bal (k \ jobb)} \ bal (t \ jobb) = \ bal [- {\ frac {1} {2 \ pi i}} e ^ {\ frac { 1} {z}} \ right]}![{\ displaystyle f \ left (t \ right) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (-1 \ right) ^ {k}} {k! \ left (k + 1 \ jobb)!}} \ Delta ^ {\ bal (k \ jobb)} \ bal (t \ jobb) = \ bal [- {\ frac {1} {2 \ pi i}} e ^ {\ frac { 1} {z}} \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67aff47a15080e32719063a9226a8b41b8f36115)
bár nem disztribúció (mert lokálisan végtelen sorrendű, nevezetesen 0-ban van), hiperfunkció, amelynek támogatottsága van, és amely elfogadja a Laplace-transzformációt
{0}{\ displaystyle \ bal \ {0 \ jobb \}}![{\ displaystyle \ bal \ {0 \ jobb \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c92fb4ba1dbe6e7512b5fc989753060a7e15261)
F(o)=J1(2o)o{\ displaystyle F \ bal (p \ jobb) = {\ frac {J_ {1} \ bal (2 {\ sqrt {p}} \ jobb)} {\ sqrt {p}}}}![{\ displaystyle F \ bal (p \ jobb) = {\ frac {J_ {1} \ bal (2 {\ sqrt {p}} \ jobb)} {\ sqrt {p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/077a877f52eeec9f14b0d00f25fd41381df4852c)
ahol az első szokásos fajta Bessel-függvényt , nevezetesen a teljes függvényt
jelöliJ1{\ displaystyle J_ {1}}![{\ displaystyle J_ {1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/260ffe7da7c858cf114ad89a6c794944ea4e760f)
J1(s)=(s2)∑k=0∞(-1)k22kk!(1+k)!s2k{\ displaystyle J_ {1} \ left (s \ right) = \ left ({\ frac {s} {2}} \ right) \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (-1 \ jobbra) ^ {k}} {2 ^ {2k} k! \ Balra (1 + k \ jobbra)!}} S ^ {2k}}![{\ displaystyle J_ {1} \ left (s \ right) = \ left ({\ frac {s} {2}} \ right) \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (-1 \ jobbra) ^ {k}} {2 ^ {2k} k! \ Balra (1 + k \ jobbra)!}} S ^ {2k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/072a6c455ccc83a1a1cf7df7add3c30390c47251)
Valójában úgy kapjuk meg, hogy ezt a kifejezést az előzővel helyettesítjük
F(o)=∑k=0∞(-1)kk!(k+1)!ok{\ displaystyle F \ bal (p \ jobb) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ bal (-1 \ jobb) ^ {k}} {k! \ bal (k + 1 \ jobbra)!}} P ^ {k}}![{\ displaystyle F \ bal (p \ jobb) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ bal (-1 \ jobb) ^ {k}} {k! \ bal (k + 1 \ jobbra)!}} P ^ {k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edf022954b39efbcabe30de63b0c8d5630db9ca5)
ami eléggé összhangban van azóta meghatározásával .
f(t){\ displaystyle f \ bal (t \ jobb)}
L(δk)=ok{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ balra (\ delta ^ {k} \ jobbra) = p ^ {k}}![{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ balra (\ delta ^ {k} \ jobbra) = p ^ {k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5a405a24aa1c677a237fe3bef861411d8bfd7ab)
Elemi elmélet
Legyen egy függvény, amelyet egy nyitott szomszédságban definiálunk , folytonos 0-ban, és befogadunk egy kétoldalú Laplace-transzformációt . Egyoldalú Laplace-transzformációját, amelyet itt megjegyezünk , az adja
f{\ displaystyle f}
én=[0,+∞[{\ displaystyle I = \ bal [0, + \ infty \ jobb [}
L(f){\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ bal (f \ jobb)}
L+(f){\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} \ bal (f \ jobb)}![{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} \ bal (f \ jobb)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ad7afd19acc70630db67a569f923649bcdcf189)
L+(f)=L(f.Υ){\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} \ left (f \ right) = {\ mathcal {L}} \ left (f. \ Upsilon \ right)}![{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} \ left (f \ right) = {\ mathcal {L}} \ left (f. \ Upsilon \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36bb2e22d0a913c4b6205aa483619ef968eae065)
hol van a Heaviside függvény. Nekünk van
Υ{\ displaystyle \ Upsilon}![\ Upsilon](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96e8c0694e5270ebf60de3a794a27f94a063020a)
ddt(f.Υ)=f′.Υ+f.δ=f′.Υ+f(0).δ{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} bal (f. \ Upsilon \ right) = f ^ {\ prime}. \ Upsilon + f. \ delta = f ^ {\ prime}. \ Upsilon + f \ balra (0 \ jobbra). \ delta}![{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} bal (f. \ Upsilon \ right) = f ^ {\ prime}. \ Upsilon + f. \ delta = f ^ {\ prime}. \ Upsilon + f \ balra (0 \ jobbra). \ delta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b755358e637497bb6bfe052665ff68100e75b65f)
Ebből kifolyólag
oL+(f)=L+(f′)+f(0){\ displaystyle p {\ mathcal {L}} _ {+} bal (f \ jobb) = {\ mathcal {L}} _ {+} \ bal (f ^ {\ prime} \ jobb) + f \ bal (0 \ jobbra)}![{\ displaystyle p {\ mathcal {L}} _ {+} bal (f \ jobb) = {\ mathcal {L}} _ {+} \ bal (f ^ {\ prime} \ jobb) + f \ bal (0 \ jobbra)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a61b509327eb39e987eeef5fa70586856438ef6d)
ezért a klasszikus formula
L+(f′)=oL+(f)-f(0){\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} \ left (f ^ {\ prime} \ right) = p {\ mathcal {L}} _ {+} \ left (f \ right) -f \ left (0 \ jobbra)}![{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} \ left (f ^ {\ prime} \ right) = p {\ mathcal {L}} _ {+} \ left (f \ right) -f \ left (0 \ jobbra)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2be694f5810e258dc7ae79ea4c64fefe9c93db59)
Általánosítás
Legyen pozitív eloszlású eloszlás, korlátlanul differenciálható függvény egy nyitott intervallumban, amely és . Pózol , egy eloszlás pozitív támogatást, amelynek Laplace transzformáció (visszaélésszerű jelöléssel)
T{\ displaystyle T}
g{\ displaystyle g}
én=[0,+∞[{\ displaystyle I = \ bal [0, + \ infty \ jobb [}
f=T+g{\ displaystyle f = T + g}
g+=g.Υ{\ displaystyle g _ {+} = g. \ Upsilon}
f+=T+g+{\ displaystyle f _ {+} = T + g _ {+}}![{\ displaystyle f _ {+} = T + g _ {+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d2a730457be5d94079125ad3f6a34e2089f08f)
L+(f)=L(f+)=∫0-+∞f(t)eotdt,ℜ(o)>α,{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} \ bal (f \ jobb) = {\ mathcal {L}} \ bal (f _ {+} \ jobb) = \ int _ {0 ^ {-} } ^ {+ \ infty} f \ bal (t \ jobb) {\ rm {e}} ^ {pt} {\ rm {d}} t, \ quad {\ mathcal {\ Re}} \ bal (p \ jobbra)> \ alfa,}![{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} \ bal (f \ jobb) = {\ mathcal {L}} \ bal (f _ {+} \ jobb) = \ int _ {0 ^ {-} } ^ {+ \ infty} f \ bal (t \ jobb) {\ rm {e}} ^ {pt} {\ rm {d}} t, \ quad {\ mathcal {\ Re}} \ bal (p \ jobbra)> \ alfa,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46eaeffae1dc5260a0b0445ac3a5beaccd0c91c7)
hol van a konvergencia abszcisszája. Eloszlások , sőt korlátozásuk van az űrlap bármely nyitott intervallumára, amint elég kicsi. Írhatunk tehát az egészre . Másrészről,
α{\ displaystyle \ alpha}
f{\ displaystyle f}
g{\ displaystyle g}
]-ε,0[{\ displaystyle \ left] - \ varepsilon, 0 \ right [}
ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}
f(én)(0-)=g(én)(0){\ displaystyle f ^ {\ bal (i \ jobb)} \ bal (0 ^ {-} \ jobb) = g ^ {\ bal (i \ jobb)} \ bal (0 \ jobb)}
én≥0{\ displaystyle i \ geq 0}![i \ geq 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/405e1424cb9c4fc171c433a8e8f04b3e5938e366)
L+(f′)=L+(T′)+L+(g′){\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} bal (f ^ {\ prime} \ jobb) = {\ mathcal {L}} _ {+} \ bal (T ^ {\ prime} \ jobb) + {\ mathcal {L}} _ {+} \ bal (g ^ {\ prime} \ jobb)}![{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} bal (f ^ {\ prime} \ jobb) = {\ mathcal {L}} _ {+} \ bal (T ^ {\ prime} \ jobb) + {\ mathcal {L}} _ {+} \ bal (g ^ {\ prime} \ jobb)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40563a113630301acbb649404a7a97ef06807d39)
A és a „elemi elmélete” fölött . Végül,
L+(T′)=L(T′)=oL(T){\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} \ left (T ^ {\ prime} \ right) = {\ mathcal {L}} \ left (T ^ {\ prime} \ right) = p {\ mathcal {L}} \ bal (T \ jobb)}
L+(g′)=oL(g)-g(0){\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} balra (g ^ {\ prime} \ jobbra) = p {\ mathcal {L}} \ balra (g \ jobbra) -g \ balra (0 \ jobbra) )}![{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} balra (g ^ {\ prime} \ jobbra) = p {\ mathcal {L}} \ balra (g \ jobbra) -g \ balra (0 \ jobbra) )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d159925835ec1f1055415e2509e4023b678e1114)
L+(f′)=oL(T+g)-g(0)=oL(f)-f(0-){\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} balra (f ^ {\ prime} \ jobbra) = p {\ mathcal {L}} \ balra (T + g \ jobbra) -g \ balra (0 \ jobb) = p {\ mathcal {L}} \ bal (f \ jobb) -f \ bal (0 ^ {-} \ jobb)}![{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} balra (f ^ {\ prime} \ jobbra) = p {\ mathcal {L}} \ balra (T + g \ jobbra) -g \ balra (0 \ jobb) = p {\ mathcal {L}} \ bal (f \ jobb) -f \ bal (0 ^ {-} \ jobb)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d9b083914e441fbc6d1cb9d0a2705ac2c8b201)
Indukció útján kapjuk meg a Laplace-transzformáció cikk általános képleteit .
Most definiáljuk a következő ekvivalencia-relációt: és két eloszlást jelölünk, mint fent, írunk, ha és ugyanolyan korlátozással rendelkezünk az intervallumra, amint elég kicsi. Ezután csak az ekvivalencia osztályától függ , és amelyet egy általánosított függvény " csírájának " neveznek, amelyet a szomszédságában határoznak meg , és a nyelvvel visszaélve egy "általános támogatott funkció pozitív támogatással" (lásd a Laplace átalakulása című cikket ). Írni fogunk . Végül vegye figyelembe, hogy ha, és csak akkor .
f1{\ displaystyle f_ {1}}
f2{\ displaystyle f_ {2}}
f1∼f2{\ displaystyle f_ {1} \ sim f_ {2}}
f1{\ displaystyle f_ {1}}
f2{\ displaystyle f_ {2}}
]-ε,+∞[{\ displaystyle \ left] - \ varepsilon, + \ infty \ right [}
ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}
L+(f1){\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} \ balra (f_ {1} \ jobbra)}
f{\ displaystyle f}
f1{\ displaystyle f_ {1}}
[0,+∞[{\ displaystyle \ left [0, + \ infty \ right [}
L+(f)=L+(f1)=L(f1+){\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} \ left (f \ right) = {\ mathcal {L}} _ {+} \ left (f_ {1} \ right) = {\ mathcal {L} } \ bal (f_ {1 +} \ jobb)}
L+(f)=0{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} \ bal (f \ jobb) = 0}
f=0{\ displaystyle f = 0}![f = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee0fdf0f50fcba5afe3e856fcc7dc6acfa61014)
Alkalmazások
A kétoldalú Laplace-transzformáció használatos különösen a tervezés a klasszikus analóg szűrők ( Butterworth , Tchebychev , Cauer stb), az optimális Wiener szűrő , a statisztika, amikor meghatározza a generátor funkcióját pillanatok egy elosztó , hogy játszik alapvető szerepe van a közvetlen és inverz oksági spektrális faktorizálás folyamatos időmegfogalmazásában, végül széles körben alkalmazzák az integrálegyenletek megoldására (lásd az Integral operator cikket ).
Általánosítás több változó esetén
A kétoldalú Laplace-transzformáció több változóval rendelkező függvények vagy eloszlások esetére általánosít , és Laurent Schwartz elkészítette a teljes elméletet. Legyen egy megoszlás definiálva a . A tartozás halmaza, amelyhez (visszaélésszerű jelöléssel) eloszlás mérsékelt , ezúttal annak a hengernek a alakja, ahol konvex részhalmaza van (változó esetén nem más, mint a fent említett konvergencia sáv) . Akár az eloszlása (ismét visszaélésszerű jelöléssel). Ez az eloszlás mérsékelt. Vegye figyelembe Fourier-transzformációját . A funkció az úgynevezett Laplace transzformáltja (jelöljük ) és a, a , jelöljük . Ezeket az elõzetes megjegyzéseket követõen az elmélet meglehetõsen hasonlóvá válik egy változó eloszlásainak .
T{\ displaystyle T}
Rnem{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
o{\ displaystyle p}
VSnem{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}
x↦exp(-o.x)T(x){\ displaystyle x \ mapsto \ exp {(-px)} T \ bal (x \ jobb)}
Rnem{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
Γ+énRnem{\ displaystyle \ Gamma + i \ mathbb {R} ^ {n}}
Γ{\ displaystyle \ Gamma}
Rnem{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
Γ{\ displaystyle \ Gamma}
ξ{\ displaystyle \ xi}
Γ{\ displaystyle \ Gamma}
x↦exp(-ξ.x)T(x){\ displaystyle x \ mapsto \ exp {(- \ xi .x)} T \ bal (x \ jobb)}
E(ξ):η↦E(ξ)(η){\ displaystyle E (\ xi): \ eta \ mapsto E (\ xi) (\ eta)}
ξ↦E(ξ){\ displaystyle \ xi \ mapsto E (\ xi)}
T{\ displaystyle T}
L{T}{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {T \}}
o=ξ+énη{\ displaystyle p = \ xi + i \ eta}
E(ξ)(η){\ displaystyle E (\ xi) (\ eta)}
L{T}(o){\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {T \} (p)}![{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {T \} (p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b12f3b18bd84b82189596834e1f88bd6475022cc)
Megfontolások média
A Paley-Wiener-tételt és annak Schwartz-miatti általánosítását általában a Fourier-Laplace-transzformációból állapítják meg (lásd alább ). Ugyanolyan jól kifejezhető a Laplace-transzformációból, és ezután megkapjuk a következő állítást:
(1) Paley-Wiener tétel:
Egy
teljes funkció lehet a Laplace-transzformáció egy végtelenségig differenciálható függvény támogatási szerepel a zárt „labda” a központ és a sugár , megjegyezte , szükséges és elégséges, hogy bármely egész szám , létezik olyan , hogy mindent tartozó hogy ,
o↦F(o){\ displaystyle p \ mapsto F \ bal (p \ jobb)}
Rnem{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
0{\ displaystyle 0}
r=(r1,...,rnem){\ displaystyle r = \ bal (r_ {1}, ..., r_ {n} \ jobb)}
B′(0;r){\ displaystyle B ^ {\ prime} \ bal (0; r \ jobb)}
NEM≥0{\ displaystyle N \ geq 0}
VSNEM≥0{\ displaystyle C_ {N} \ geq 0}
o{\ displaystyle p}
VSnem{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}
|F(o)|≤VSNEM(1+|o|)-NEMexp(r.ℜ(o)){\ displaystyle \ left \ vert F \ left (p \ right) \ right \ vert \ leq C_ {N} \ left (1+ \ left \ vert p \ right \ vert \ right) ^ {- N} \ exp \ bal (r. \ Re \ bal (p \ jobb) \ jobb)}
ahol a de és de szokásos skaláris szorzatot jelöli .
r.ℜ(o){\ displaystyle r. \ Re \ bal (p \ jobb)}
Rnem{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
r{\ displaystyle r}
Re(o){\ displaystyle Re \ bal (p \ jobb)}![{\ displaystyle Re \ bal (p \ jobb)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9d819793ff8be4f4360e162e288947fbd02bbc7)
(2) Paley-Wiener-Schwartz tétel:
Egész számára funkció lehet a Laplace-transzformáció egy eloszlás támogatást tartalmazza , szükséges és elégséges, hogy létezik egy egész szám, és egy konstans úgy, hogy minden tartozó ,
o↦F(o){\ displaystyle p \ mapsto F \ bal (p \ jobb)}
Rnem{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
B′(0;r){\ displaystyle B ^ {\ prime} \ bal (0; r \ jobb)}
NEM≥0{\ displaystyle N \ geq 0}
VS≥0{\ displaystyle C \ geq 0}
o{\ displaystyle p}
VSnem{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}
|F(o)|≤VS(1+|o|)NEMexp(r.ℜ(o)){\ displaystyle \ left \ vert F \ left (p \ right) \ right \ vert \ leq C \ left (1+ \ left \ vert p \ right \ vert \ right) ^ {N} \ exp \ left (r. \ Re \ bal (p \ jobb) \ jobb)}
.
A Jacques-Louis Lions tétele egyebet ad a disztribúció támogatásáról annak Laplace-transzformációjából. Egyetlen változó esetén a következő formát ölti (lásd: inverzió ):
Egy Holomorf funkciót, hogy az Laplace transzformáltja eloszlás a támogatásával a félig-line , szükséges és elégséges, hogy lehet korlátos, ha a valós elég nagy, egy polinom .
VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
T{\ displaystyle T}
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
t≥NÁL NÉL{\ displaystyle t \ geq A}
|F(o)eNÁL NÉLξ|{\ displaystyle \ left \ vert F \ left (p \ right) e ^ {A \ xi} \ right \ vert}
ξ=ℜ(o){\ displaystyle \ xi = \ Re \ bal (p \ jobb)}
|o|{\ displaystyle \ bal \ zöld p \ jobb \ zöld}![{\ displaystyle \ bal \ zöld p \ jobb \ zöld}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/490c8e6aa7b1248ae54a05459584cd9b01437a19)
Ez a tétel például azt mutatja, hogy a „A hiperfunkciók Laplace-transzformációi” bekezdésben figyelembe vett hiperfunkció nem olyan eloszlás, amelynek támogatottsága 0-nál van.
Fourier-Laplace transzformáció
Pózolással megkapjuk a Fourier-Laplace transzformációt . Tekintsük az egyszerűség kedvéért egy valós változó függvényének Fourier-Laplace transzformációját. Ekkor megvan tehát, ha a Laplace-transzformáció konvergencia-sávja megegyezik, akkor a Fourier-Laplace-transzformációé is .
o=énλ{\ displaystyle p = i \ lambda}
ℜ(o)=-ℑ(λ){\ displaystyle \ Re \ left (p \ right) = - \ Im \ left (\ lambda \ right)}
α<ℜ(o)<β{\ displaystyle \ alpha <\ Re \ bal (p \ jobb) <\ beta}
-β<ℑ(λ)<-α{\ displaystyle - \ beta <\ Im \ left (\ lambda \ right) <- \ alpha}![{\ displaystyle - \ beta <\ Im \ left (\ lambda \ right) <- \ alpha}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c7e2bbfb0a5f5870721e63ef41881c2b349677f)
Megjegyzések és hivatkozások
-
Komatsu 1987 .
-
Bourlès 2010 (13.3.4. Bekezdés), Bourlès és Marinescu 2011 (7.3.4.1. Bekezdés).
-
Lásd például
Oppenheim és Schafer 2007 .
Lásd is
Bibliográfia
- Henri Bourlès , a Linear Systems , John Wiley & Sons ,2010, 544 p. ( ISBN 978-1-84821-162-9 és 1-84821-162-7 )
- Henri Bourlès és Bogdan Marinescu , lineáris időváltozó rendszerek: algebrai-analitikus megközelítés , Springer,2011, 638 p. ( ISBN 978-3-642-19726-0 és 3-642-19726-4 , olvassa el online )
- Jean Dieudonné , Az elemzés elemei , vol. 6, Párizs, Gauthier-Villars ,1975, 197 p. ( ISBN 2-87647-216-3 )
- (en) U. Graf , Bevezetés a hiperfunkciókba és azok integrált átalakításaiba: alkalmazott és számítási megközelítés , Birkhäuser,2010, 432 p. ( ISBN 978-3-0346-0407-9 és 3-0346-0407-6 , olvasható online )
- (en) Hikosaburo Komatsu , „A hiperfunkciók Laplace-átalakításai - a Heaviside Calculus új alapja ” , J. Fac. Sci. Univ. Tokió, szekta. IA, Math , vol. 34,1987, P. 805-820
- (en) Alan V. Oppenheim (en) és Ronald W. Schafer (en) , Diszkrét idejű jelfeldolgozás , Prentice-Hall,2007, 1132 p. ( ISBN 978-0-13-206709-6 és 0-13-206709-9 )
- Laurent Schwartz , Matematikai módszerek a fizikai tudományokhoz , Hermann ,1965( ISBN 2-7056-5213-2 )
- Laurent Schwartz , Eloszláselmélet , Párizs, Hermann ,1966, 418 p. ( ISBN 2-7056-5551-4 )
Kapcsolódó cikkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">