Laplace-transzformáció

A Heaviside függvény értéke 0, ha t <0, 1 értéke t > 0 (értéke 0-ban nincs jelentősége). Mivel ez a funkció megszakítás nélküli, a szokásos értelemben nem levezethető. Másrészt származéka az eloszlások értelmében a Dirac „függvény” . Ő jön Υ{\ displaystyle \ Upsilon}δ{\ displaystyle \ delta}

L(δ)=oL(Υ)-Υ(0-)=1-0=1,{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left (\ delta \ right) = p {\ mathcal {L}} \ left (\ Upsilon \ right) - \ Upsilon \ left (0 ^ {-} \ right) = 1-0 = 1,}

mivel

L(Υ)=1o,ℜ(o)>0.{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ bal (\ Upsilon \ right) = {\ dfrac {1} {p}}, \ Re (p)> 0.}

Megjegyezzük, hogy ha cserélni, a képlet a levezetés szabály ƒ (0 - ) szerint ƒ (0 + ), találunk , ami hamis (mi jön vissza később). Egyes forrásoknál előfordulhat ez a hiba. L(δ)=0{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ bal (\ delta \ jobb) = 0}

Hasonlóképpen néha a következő definíciót látjuk a Laplace-transzformációról:

F(o)=∫α+∞e-otf(t) dt{\ displaystyle F \ bal (p \ jobb) = \ int _ {\ alpha} ^ {+ \ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f \ bal (t \ jobb) ~ {\ rm { d}} t}

A még pontatlanság ezen határt. Ha f függvény a kifejezés szokásos értelmében, pozitív alátámasztással, akkor ez egy Lebesgue-integrál, amely egybeesik a megfelelővel , mivel nulla mértékű; ebben az esetben kétértelműség nélkül is lehet írni . Nem ugyanaz, ha f „általánosított függvény”, vagyis Gelfand és Silov (in) eloszlása , ha ennek az eredeténél nem nulla a tömeg. A prototípus a Dirac eloszlás. Algebra szempontból ez az eloszlás a semleges elem a pozitívan támogatott eloszlások konvolúciós algebrájában ; és mivel a Laplace-transzformáció átalakítja a konvolúciós terméket hétköznapi termékké, ezért rendelkeznünk kell a Laplace-transzformációval . Ez azonban csak akkor lesz igaz, ha . Valójában 0-val egyenlő Laplace-transzformációt kapnánk. Ez annál inkább aberráns lenne, mivel a Laplace-transzformáció nem lenne injektív, mivel . α=0+{\ displaystyle \ alpha = 0 ^ {+}}α=0-{\ displaystyle \ alpha = 0 ^ {-}}{0}{\ displaystyle \ bal \ {0 \ jobb \}}α=0{\ displaystyle \ alpha = 0} δ{\ displaystyle \ delta}D+′{\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {+} ^ {\ prime}}δ{\ displaystyle \ delta}L(δ)=1{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ bal (\ delta \ right) = 1}α=0-{\ displaystyle \ alpha = 0 ^ {-}}α=0+{\ displaystyle \ alpha = 0 ^ {+}}δ≠0{\ displaystyle \ delta \ neq 0}

Szorzás t hatványával

Az időtartományban való szorzás a jel kivételével megfelel a transzformáció n- edik deriváltjának : tnem,nem∈NEM{\ displaystyle t ^ {n}, n \ in \ mathbb {N}}

L{tnemf(t)}=(-1)nemdnemL{f}donem{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ bal \ {t ^ {n} f \ bal (t \ jobb) \ jobb \} = \ bal (-1 \ jobb) ^ {n} {\ dfrac {\ mathrm {d} ^ {n} {\ mathcal {L}} \ bal \ {f \ jobb \}} {\ mathrm {d} p ^ {n}}}}

(1) Tegyük fel, hogy f helyileg integrálható pozitív támogatással. Az f Laplace-transzformációját tehát - ahol a konvergencia-abszcissza jelenti - a ℜ(o)>α{\ displaystyle \ Re (p)> \ alfa}α{\ displaystyle \ alpha}

L{f}(o)=∫0+∞f(t)e-ot dt{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ bal \ {f \ right \} (p) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt } ~ {\ rm {d}} t}

A funkció az Holomorf . Bármelyik és . Ekkor és összehasonlító növekedésekkel a függvény integrálható a [0, + ∞ [ . A függvény tehát holomorf, és deriváltját úgy kapjuk meg, hogy megkülönböztetjük az összegjel alatt  : o↦f(t)e-ot{\ displaystyle p \ mapsto f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt}}β>α{\ displaystyle \ beta> \ alpha}ℜ(o)>β{\ displaystyle \ Re (p)> \ beta}|tf(t)e-ot|≤|tf(t)e-βt|{\ displaystyle \ left \ vert tf \ left (t \ right) {\ rm {e}} ^ {- pt} \ right \ vert \ leq \ left \ vert tf \ left (t \ right) {\ rm {e }} ^ {- \ beta t} \ right \ vert}t↦|tf(t)e-βt|{\ displaystyle t \ mapsto \ left \ vert tf \ left (t \ right) {\ rm {e}} ^ {- \ beta t} \ right \ vert}o↦∫0+∞f(t)e-ot dt{\ displaystyle p \ mapsto \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t}

dL{f}do(o)=∫0+∞f(t)(-te-ot) dt=-L{tf(t)}(o){\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} {\ mathcal {L}} \ bal \ {f \ jobb \}} {{\ rm {d}} p}} \ bal (p \ jobb) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f \ bal (t \ jobb) \ bal (-t {\ rm {e}} ^ {- pt} \ jobb) ~ {\ rm {d}} t = - {\ mathcal {L}} \ bal \ {tf \ bal (t \ jobb) \ jobb \} \ bal (p \ jobb)}

Ez bizonyítja az eredményt n = 1 esetben . Az általános eset indukcióval következik.

(2) Ez az eredmény akkor is érvényes, ha f pozitív eloszlású eloszlás.

Az inverz képlet ( n = -1 esetén ):

L{f(t)t}(o)=∫o∞F(σ)dσ{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ bal \ {{\ frac {f (t)} {t}} \ jobb \} \ bal (p \ jobb) = \ int _ {p} ^ {\ infty} \ mathrm {F} (\ sigma) \, \ mathrm {d} \ sigma}

és érvényes, feltéve, hogy f olyan alakú, ahol g általánosított függvény pozitív támogatással. Az eredmény bemutatásának egyik módját az alábbiakban adjuk meg. t↦tg(t){\ displaystyle t \ mapsto tg \ bal (t \ jobb)}

∫o∞F(σ)dσ=∫o∞∫0∞e-σtf(t)dtdσ=∫0∞f(t)∫o∞e-σtdσdt=∫0∞f(t)1te-otdt=L{f(t)t}(o){\ displaystyle \ int _ {p} ^ {\ infty} \ mathrm {F} (\ sigma) \, \ mathrm {d} \ sigma = \ int _ {p} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ sigma t} f (t) \, \ mathrm {d} t \, \ mathrm {d} \ sigma = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) \ int _ {p} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ sigma t} \, \ mathrm {d} \ sigma \, \ mathrm {d} t = \ int _ {0 } ^ {\ infty} f (t) {\ frac {1} {t}} \ mathrm {e} ^ {- pt} \, \ mathrm {d} t = {\ mathcal {L}} \ bal \ { {\ frac {f (t)} {t}} \ jobb \} \ bal (p \ jobb)}

Integráció

Az integrál Laplace-transzformációja ( 0- nál eltűnő f primitívje ) megfelel az 1 / p szorzásnak  :

L{∫0-tf(τ)dτ}=1oL{f}{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ bal \ {\ int _ {0 ^ {-}} ^ {t} f (\ tau) \ mathrm {d} \ tau \ right \} = {\ frac {1 } {p}} {\ mathcal {L}} \ {f \}}

és ha ƒ pozitív támogatású függvény, folytonos a [0, + ∞ [felett , akkor a > 0  :

L{∫nál néltf(τ) dτ}=1oL{f}+1o∫nál nél0f(τ)dτ.{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ bal \ {\ int _ {a} ^ {t} f (\ tau) ~ {\ rm {d}} \ tau \ right \} = {\ frac {1} {p}} {\ mathcal {L}} \ {f \} + {1 \ over p} \ int _ {a} ^ {0} f (\ tau) \ mathrm {d} \ tau.}

Végső érték

Tegyük fel, hogy f lokálisan integrálható pozitív támogatással. Ha az időtartomány határa létezik és véges, akkor:

limt→+∞f(t)=limo∈R,o→0+oF(o).{\ displaystyle \ lim _ {t \ to + \ infty} f (t) = \ lim _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ to 0 ^ {+}} p \ mathrm {F} (p) .}

(Vegye figyelembe, hogy ez az egyetlen tulajdonság, ahol 0 + jelenik meg a változónál .) o{\ displaystyle p}

Bármelyiket . Ennek a véges határnak a megléte azt jelenti, hogy a Laplace-transzformáció konvergencia-abszcisszája az . l=limt→+∞f(t){\ displaystyle l = \ lim \ korlátozza _ {t \ rightarrow + \ infty} f \ bal (t \ jobb)}F(o){\ displaystyle F (p)}≤0{\ displaystyle \ leq 0}

Megvan  ; A Laplace transzformáltja IS , és természetesen . Kivonunk a , Mi tehát csökken az esetben egy függvény, ismét megjegyezte F , oly módon, hogy . limt→+∞Υ(t)=1{\ displaystyle \ lim _ {t \ to + \ infty} \ Upsilon (t) = 1}Υ{\ displaystyle \ Upsilon}1o{\ displaystyle {\ frac {1} {p}}}limo∈R,o→0+o1o=1{\ displaystyle \ lim _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ to 0 ^ {+}} p {\ frac {1} {p}} = 1}lΥ(t){\ displaystyle l \ Upsilon (t)}f(t){\ displaystyle f (t)}limt→+∞f(t)=0{\ displaystyle \ lim \ limits _ {t \ rightarrow + \ infty} f \ bal (t \ jobb) = 0}

Ezután minden , van úgy, hogy minden , . Nekünk van ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}NÁL NÉL>0{\ displaystyle A> 0}t>NÁL NÉL{\ displaystyle t> A}|f(t)|≤ε{\ displaystyle \ vert f (t) \ vert \ leq \ varepsilon}

oF(o)=o∫0NÁL NÉLf(t)e-otdt+o∫NÁL NÉL+∞f(t)e-ot dt.{\ displaystyle pF (p) = p \ int _ {0} ^ {A} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} dt + p \ int _ {A} ^ {+ \ infty} f \ bal (t \ jobb) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t.}

Vegyük . Nekünk van o∈R,o>0{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}, p> 0}

|∫0NÁL NÉLf(t)e-ot dt|≤∫0NÁL NÉL|f(t)| dt<+∞{\ displaystyle \ left \ vert \ int _ {0} ^ {A} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert \ leq \ int _ {0} ^ {A} \ vert f (t) \ vert ~ {\ rm {d}} t <+ \ infty}

és következésképpen

limo∈R,o→0+o∫0NÁL NÉLf(t)e-ot dt=0.{\ displaystyle \ lim \ limits _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ rightarrow 0 ^ {+}} p \ int _ {0} ^ {A} f (t) {\ rm {e}} ^ {-pt} ~ {\ rm {d}} t = 0.}

Ezért van egy igazi olyan, aminek ésα>0{\ displaystyle \ alpha> 0}o∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}0<o<α{\ displaystyle 0 <p <\ alpha}

|o∫0NÁL NÉLf(t)e-ot dt|<ε.{\ displaystyle \ left \ vert p \ int _ {0} ^ {A} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert <\ varepsilon .}

Másrészről,

|∫NÁL NÉL+∞f(t)e-ot dt|≤∫0+∞εe-ot dt=εo{\ displaystyle \ left \ vert \ int _ {A} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert \ leq \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ varepsilon {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t = {\ frac {\ varepsilon} {p}}}

tehát léteznek olyanok, amelyek számára ésβ>0{\ displaystyle \ beta> 0}o∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}0<o<β{\ displaystyle 0 <p <\ beta}

|o∫NÁL NÉL+∞f(t)e-ot dt|≤ε.{\ displaystyle \ left \ vert p \ int _ {A} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert \ leq \ varepsilon.}

Ezért ha éso∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}0<o<min(α,β){\ displaystyle 0 <p <\ min (\ alfa, \ béta)}

|o∫0+∞f(t)e-ot dt|≤2ε{\ displaystyle \ left \ vert p \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert \ leq 2 \ varepsilon}

ami azt eredményezi, hogy amikor 0 + -ra hajlamos . o∫0+∞f(t)e-ot dt→0{\ displaystyle p \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ rightarrow 0}o∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}

A feltüntetett hipotézisek elengedhetetlenek, amit a következő ellenpéldák mutatnak:

• A függvény a + limit határértékként ismeri el, amikor t + + felé hajlik . Laplace-transzformációja és . Ennek az utolsó határnak a valóságban nincs iránya, mert az F konvergencia abszcisszája 1, ezért a 0 nem tartozik a konvergencia mező tapadásához.f:t↦etΥ(t){\ displaystyle f: t \ mapsto {\ rm {e}} ^ {t} \ Upsilon (t)}F(o)=1o-1{\ displaystyle F \ bal (p \ jobb) = {\ frac {1} {p-1}}}limo→0oF(o)=0{\ displaystyle \ lim \ limits _ {p \ rightarrow 0} pF \ left (p \ right) = 0}
• A függvény nem fogad el korlátot, ha t + ∞-re hajlik . Laplace-transzformációja: F konvergencia-abszcisszája 0 és (ez az utolsó határ azonban ezúttal helyes).f:t↦bűn⁡tΥ(t){\ displaystyle f: t \ mapsto \ sin t \ Upsilon (t)}F(o)=1o2+1{\ displaystyle F \ bal (p \ jobb) = {\ frac {1} {p ^ {2} +1}}}limo∈R,o→0+oF(o)=0{\ displaystyle \ lim \ limits _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ rightarrow 0 ^ {+}} pF \ left (p \ right) = 0}
• Ha van racionális függvény, akkor létezik és véges, és csak akkor, ha az összes pólus a nyitott bal félsík és az origó egyesüléséhez tartozik, akkor a 0-on lévő pólus, ha létezik, egyszerű.F(o){\ displaystyle F (p)}limt→+∞f(t){\ displaystyle \ lim _ {t \ to + \ infty} f (t)}F(o){\ displaystyle F (p)}

Kezdő érték

Ha véges konvergencia-abszcisza van, és ha létezik az időtartomány korlátja, akkor: F(o){\ displaystyle F (p)}

limt→0+f(t)=limo∈R,o→+∞oF(o){\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0 ^ {+}} f (t) = \ lim _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ to + \ infty} p \ mathrm {F} (p) }

(Vegye figyelembe, hogy ez az egyetlen tulajdonság, ahol 0 + jelenik meg a változónál .) t{\ displaystyle t}

Bármelyiket . Megvan  ; A Laplace transzformáltja IS , és természetesen . Kivonunk a , Mi tehát csökken az esetben egy függvény, ismét megjegyezte F , oly módon, hogy . l=limt→0+f(t){\ displaystyle l = \ lim \ limits _ {t \ rightarrow 0 ^ {+}} f \ bal (t \ jobb)}limt→0+Υ(t)=1{\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0 ^ {+}} \ Upsilon (t) = 1}Υ{\ displaystyle \ Upsilon}1o{\ displaystyle {\ frac {1} {p}}}limo∈R,o→+∞o1o=1{\ displaystyle \ lim _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ to + \ infty} p {\ frac {1} {p}} = 1}lΥ(t){\ displaystyle l \ Upsilon (t)}f(t){\ displaystyle f (t)}limt→0+f(t)=0{\ displaystyle \ lim \ limits _ {t \ rightarrow 0 ^ {+}} f \ bal (t \ right) = 0}

Bármelyiket . Ez létezik a feltételezést , hogy minden t úgy, hogy mi van . Másrészről, ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}η>0{\ displaystyle \ eta> 0}0<t<η{\ displaystyle 0 <t <\ eta}|f(t)|≤ε{\ displaystyle \ vert f (t) \ vert \ leq \ varepsilon}

o∫0+∞f(t)e-ot dt=én1+én2{\ displaystyle p \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t = I_ {1} + I_ {2 }}

val vel

én1=o∫0ηf(t)e-ot dt, én2=o∫η+∞f(t)e-ot dt.{\ displaystyle I_ {1} = p \ int _ {0} ^ {\ eta} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t, ~ I_ {2 } = p \ int _ {\ eta} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t.}

Legyen egy valódi, szigorúan nagyobb, mint a és a konvergencia abszcisszája . Nekünk van α{\ displaystyle \ alpha}F(o){\ displaystyle F (p)}o∈R, o>α{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}, ~ p> \ alpha}

|én2|=|o∫η+∞f(t)e-(o-α)te-αt dt|≤oe-(o-α)η∫0+∞|f(t)|e-αt dt{\ displaystyle \ left \ vert I_ {2} \ right \ vert = \ left \ vert p \ int _ {\ eta} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- \ left (p- \ alpha \ right) t} {\ rm {e}} ^ {- \ alfa t} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert \ leq p {\ rm {e}} ^ {- \ bal (p- \ alfa \ jobb) \ eta} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ bal \ vert f \ bal (t \ jobb) \ jobb \ vert {\ rm {e}} ^ { - \ alpha t} ~ {\ rm {d}} t}

ahol a megfelelő integrál konvergens, tehát mikor . Ezért van olyan igazi , hogy amint és . én2→0{\ displaystyle I_ {2} \ rightarrow 0}o→+∞{\ displaystyle p \ rightarrow + \ infty}NÁL NÉL>0{\ displaystyle A> 0}|én2|≤ε{\ displaystyle \ left \ vert I_ {2} \ right \ vert \ leq \ varepsilon}o∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}o>NÁL NÉL{\ displaystyle p> A}

Másrészről,

|én1|≤oε∫0ηe-ot dt=ε(1-e-oη){\ displaystyle \ left \ vert I_ {1} \ right \ vert \ leq p \ varepsilon \ int _ {0} ^ {\ eta} {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d} } t = \ varepsilon \ bal (1 - {\ rm {e}} ^ {- p \ eta} \ jobb)}

és ez a kifejezés arra törekszik, amikor , ezért létezik olyan valós , mint amint és . Végül, és mi ε{\ displaystyle \ varepsilon}o→+∞{\ displaystyle p \ rightarrow + \ infty}B>0{\ displaystyle B> 0}|én1|≤2ε{\ displaystyle \ left \ vert I_ {1} \ right \ vert \ leq 2 \ varepsilon}o∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}o>B{\ displaystyle p> B}o∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}o>max(NÁL NÉL,B){\ displaystyle p> \ max (A, B)}

|oF(o)|≤3ε.{\ displaystyle \ left \ vert pF \ left (p \ right) \ right \ vert \ leq 3 \ varepsilon.}

Most önkényesen kicsi, ezért ez a kifejezés hajlamos a 0-ra, amikor és . ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}o∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}o→+∞{\ displaystyle p \ rightarrow + \ infty}

Konvolúció

A Laplace-transzformáció a konvolúciós terméket termékké változtatja:

L{f∗g}=L{f}L{g}{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f * g \} = {\ mathcal {L}} \ {f \} {\ mathcal {L}} \ {g \}}

Periodikus függvény Laplace-transzformációja

Ha ƒ null függvény t <0 esetén, t > 0 esetén pedig periodikus T periódussal , akkor a eseténRe(o)>0{\ displaystyle Re \ bal (p \ jobb)> 0}

L{f}(o)=11-e-To∫0Te-otf(t)dt.{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f \} (p) = {\ frac {1} {1 - {\ rm {e}} ^ {- Tp}}} \ int _ {0} ^ { T} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t.}

Chasles relációját használjuk az integrál lebontására minden időszakban:

∫0∞e-otf(t)dt=∫0Te-otf(t)dt+∫T2Te-otf(t)dt+∫2T3Te-otf(t)dt+...{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {T} { \ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t + \ int _ {T} ^ {2T} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t + \ int _ {2T} ^ {3T} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t + \ ldots}

Változót hajtunk végre, hogy az integrálok visszatérjenek a [0, T ] értékre

∫0∞e-otf(t)dt=∫0Te-ouf(u)du+∫0Te-o(u+T)f(u+T)du+∫0Te-o(u+2T)f(u+2T)du+...{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, {\ rm {d}} t = \ int _ {0} ^ {T } {\ rm {e}} ^ {- pu} f (u) \, \ mathrm {d} u + \ int _ {0} ^ {T} {\ rm {e}} ^ {- p (u + T)} f (u + T) \, \ mathrm {d} u + \ int _ {0} ^ {T} {\ rm {e}} ^ {- p (u + 2T)} f (u + 2T ) \, \ mathrm {d} u + \ ldots}

Mivel ƒ periodikus, egyszerűsíteni tudjuk az integrálokat azáltal, hogy

∫0∞e-otf(t)dt=∫0Te-ouf(u)du+e-oT∫0Te-ouf(u)du+e-2oT∫0Te-ouf(u)du+...{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {T} { \ rm {e}} ^ {- pu} f (u) \, \ mathrm {d} u + {\ rm {e}} ^ {- pT} \ int _ {0} ^ {T} {\ rm { e}} ^ {- pu} f (u) \, \ mathrm {d} u + {\ rm {e}} ^ {- 2pT} \ int _ {0} ^ {T} {\ rm {e}} ^ {-pu} f (u) \, \ mathrm {d} u + \ ldots}

Csoportosítjuk a feltételeket:

∫0∞e-otf(t)dt=(1+e-oT+e-2oT+...)∫0Te-ouf(u)du.{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t = \ balra (1 + {\ rm {e} } ^ {- pT} + {\ rm {e}} ^ {- 2pT} + \ ldots \ right) \ int _ {0} ^ {T} {\ rm {e}} ^ {- pu} f (u ) \, \ mathrm {d} u.}

Ez a geometriai sorozat konvergál (mivel e - pT <1 ). Akkor jön

L{f}(o)=11-e-To∫0Te-otf(t)dt.{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f \} (p) = {\ frac {1} {1 - {\ rm {e}} ^ {- Tp}}} \ int _ {0} ^ { T} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t.}

Összefoglaló táblázat a Laplace-transzformáció tulajdonságairól

	Időtartomány	"P" domain	Hozzászólások
Linearitás	nál nélf(t)+bg(t){\ displaystyle af (t) + bg (t)}	nál nélF(o)+bG(o){\ displaystyle a \ mathrm {F} (p) + b \ mathrm {G} (p)}	Az integráció alapvető szabályainak eredményei.
A transzformáció származéka	tf(t){\ displaystyle tf (t)}	-F′(o){\ displaystyle - \ mathrm {F} '(p)}	F′{\ displaystyle \ mathrm {F} '}az F. első származéka .
A transzformáció n sorrendű származékai	tnemf(t){\ displaystyle t ^ {n} f (t)}	(-1)nemF(nem)(o){\ displaystyle (-1) ^ {n} \ mathrm {F} ^ {(n)} (p)}	Általánosabb forma, F ( p ) n- edik származéka .
A függvény első deriváltja az időtartományban	f′(t){\ displaystyle f '(t)}	oF(o)-f(0-){\ displaystyle p \ mathrm {F} (p) -f \ balra (0 ^ {-} \ jobbra)}	Feltételezzük, hogy a ƒ differenciálható, és származtatottja exponenciálisan 0 felé hajlik. Alkatrészekkel történő integrációval kapható .
Második származék	f″(t){\ displaystyle f '' (t)}	o2F(o)-of(0-)-f′(0-){\ displaystyle p ^ {2} \ mathrm {F} (p) -pf \ left (0 ^ {-} \ right) -f '\ left (0 ^ {-} \ right)}	ƒ feltételezzük, hogy kétszer differenciálható, a második derivált konvergáló exponenciálisan a végtelenig.
A N n-edik származéka	f(nem)(t){\ displaystyle f ^ {(n)} (t)}	onemF(o)-onem-1f(0-)-⋯-f(nem-1)(0-){\ displaystyle p ^ {n} \ mathrm {F} (p) -p ^ {n-1} f \ bal (0 ^ {-} \ jobb) - \ cdots -f ^ {(n-1)} \ balra (0 ^ {-} \ jobbra)}	Feltételezzük, hogy ƒ n- szer differenciálható, n- edik deriváltal, amelynek végtelenül exponenciális konvergenciája van.
A Laplace-transzformáció integrálása	f(t)t{\ displaystyle {\ frac {f (t)} {t}}}	∫o∞F(σ)dσ{\ displaystyle \ int _ {p} ^ {\ infty} \ mathrm {F} (\ sigma) \, \ mathrm {d} \ sigma}
Integráció	∫0tf(τ)dτ=(u∗f)(t){\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t} f (\ tau) \, \ mathrm {d} \ tau = (u * f) (t)}	1oF(o){\ displaystyle {1 \ over p} \ mathrm {F} (p)}	u(t){\ displaystyle u (t)}a Heaviside lépésfüggvénye. Az üzemeltető ( u  *  f ) ( t ) a konvolúciós termék a u ( t ) és a ƒ ( t ).
Az időskála kitágulása	f(nál nélt) {\ displaystyle f (at) \}	1|nál nél|F(onál nél){\ displaystyle {\ frac {1} {| a |}} \ mathrm {F} \ bal ({p \ aa felett \ jobb)}
Eltolás o	enál néltf(t){\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {at} f (t)}	F(o-nál nél){\ displaystyle \ mathrm {F} (pa)}	Ezt a tulajdonságot néha csillapítási tételnek (vagy modulációs tételnek ) nevezik . nál nél<0{\ displaystyle a <0}
Időtartomány-váltás	f(t-nál nél)u(t-nál nél){\ displaystyle f (ta) u (ta)}	e-nál néloF(o){\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- ap} \ mathrm {F} (p)}	u ( t ) a Heaviside lépésfüggvénye ( lépésfüggvény )
Szorzás	f(t)g(t){\ displaystyle f (t) g (t)}	12πénlimT→∞∫vs.-énTvs.+énTF(σ)G(o-σ)dσ{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi {\ rm {i}}}} \ lim _ {\ mathrm {T} \ to \ infty} \ int _ {c - {\ rm {i}} \ mathrm {T}} ^ {c + {\ rm {i}} \ mathrm {T}} \ mathrm {F} (\ sigma) G (p- \ sigma) \, \ mathrm {d} \ sigma}	Az integrációt a Re (σ) = c függőleges vonal mentén hajtjuk végre, amely teljes egészében az F konvergencia sugarán belül helyezkedik el.
Convolution termék	(f∗g)(t)=∫0tf(τ)g(t-τ)dτ{\ displaystyle (f * g) (t) = \ int _ {0} ^ {t} f (\ tau) g (t- \ tau) \, {\ rm {d}} \ tau}	F(o)⋅G(o){\ displaystyle \ mathrm {F} (p) \ cdot \ mathrm {G} (p)}	ƒ ( t ) és g ( t ) kiterjesztésre kerül a konvolúciós termék meghatározásához. R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Komplex ragozás	f∗(t){\ displaystyle f ^ {*} (t)}	F∗(o∗){\ displaystyle \ mathrm {F} ^ {*} (p ^ {*})}
Korrelációs függvény	f(t)⋆g(t){\ displaystyle f (t) \ csillag g (t)}	F∗(-o∗)⋅G(o){\ displaystyle \ mathrm {F} ^ {*} (- p ^ {*}) \ cdot \ mathrm {G} (p)}
Periodikus funkció	f(t){\ displaystyle f (t)}	11-e-To∫0Te-otf(t)dt{\ displaystyle {\ frac {1} {1 - {\ rm {e}} ^ {- \ mathrm {T} p}}} \ int _ {0} ^ {\ mathrm {T}} {\ rm {e }} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t}	ƒ ( t ) a T periódus periodikus függvénye oly módon, hogy . Ez az időtartomány-eltolódás tulajdonságából és a geometriai sorozatból származik. f(t)=f(t+T),∀t≥0{\ displaystyle f (t) = f (t + \ mathrm {T}), \; \ összes t \ geq 0}

Néhány szokásos átalakítás

A monolaterális Laplace-transzformáció csak pozitív támogatással rendelkező (esetleg általánosított) funkciókra érvényes. Éppen ezért ennek a táblának az időbeli függvényei többszörösek (vagy azzal vannak összeállítva) , a funkciólépés egységek (Heaviside) . Υ{\ displaystyle \ Upsilon}

	Funkció	Időtartomány x(t)=L-1{x(o)}{\ displaystyle x (t) = {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ bal \ {\ mathrm {X} (p) \ jobb \}}	Laplace-transzformáció x(o)=L{x(t)}{\ displaystyle \ mathrm {X} (p) = {\ mathcal {L}} \ bal \ {x (t) \ jobb \}}	Konvergencia régió
1	Késleltetett Dirac terjesztés	δ(t-τ) {\ displaystyle \ delta (t- \ tau) \}	e-τo {\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- \ tau p} \}	∀ o{\ displaystyle \ forall \ p \,}
1a	A Dirac terjesztése	δ(t) {\ displaystyle \ delta (t) \}	1 {\ displaystyle 1 \}	∀ o{\ displaystyle \ forall \ p \,}
2	késleltetett exponenciális-monomiális	(t-τ)nemnem!e-α(t-τ)⋅Υ(t-τ){\ displaystyle {\ frac {(t- \ tau) ^ {n}} {n!}} {\ rm {e}} ^ {- \ alpha (t- \ tau)} \ cdot \ Upsilon (t- \ tau)}	e-τo(o+α)nem+1{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- \ tau p}} {(p + \ alpha) ^ {n + 1}}}}	Újra⁡(o)>0{\ displaystyle \ kezelőnév {Re} (p)> 0 \,}
2a	teljesítmény n- edik	tnemnem!⋅Υ(t){\ displaystyle {t ^ {n} \ over n!} \ cdot \ Upsilon (t)}	1onem+1{\ displaystyle {1 \ p ^ {n + 1}}} felett	Újra⁡(o)>0{\ displaystyle \ kezelőnév {Re} (p)> 0 \,}
2a.1	q- edik teljesítmény	tqΓ(q+1)⋅Υ(t){\ displaystyle {t ^ {q} \ over \ Gamma (q + 1)} \ cdot \ Upsilon (t)}	1oq+1{\ displaystyle {1 \ p ^ {q + 1}}} felett	Újra⁡(o)>0{\ displaystyle \ kezelőnév {Re} (p)> 0 \,}
2a.2	egységszint	Υ(t) {\ displaystyle \ Upsilon (t) \}	1o{\ displaystyle {1 \ p felett}	Újra⁡(o)>0{\ displaystyle \ kezelőnév {Re} (p)> 0 \,}
2b	késleltetett lépés	Υ(t-τ) {\ displaystyle \ Upsilon (t- \ tau) \}	e-τoo{\ displaystyle {{\ rm {e}} ^ {- \ tau p} \ over p}}	Újra⁡(o)>0{\ displaystyle \ kezelőnév {Re} (p)> 0 \,}
2c	rámpa	t⋅Υ(t) {\ displaystyle t \ cdot \ Upsilon (t) \}	1o2{\ displaystyle {\ frac {1} {p ^ {2}}}}	Újra⁡(o)>0{\ displaystyle \ kezelőnév {Re} (p)> 0 \,}
2d	exponenciális-monomiális	tnemnem!e-αt⋅Υ(t){\ displaystyle {\ frac {t ^ {n}} {n!}} {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t} \ cdot \ Upsilon (t)}	1(o+α)nem+1{\ displaystyle {\ frac {1} {(p + \ alpha) ^ {n + 1}}}}	Újra⁡(o)>-α{\ displaystyle \ kezelőnév {Re} (p)> - \ alfa \,}
2d.1	exponenciális	e-αt⋅Υ(t) {\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t} \ cdot \ Upsilon (t) \}	1o+α{\ displaystyle {1 \ p + \ alfa}} felett	Újra⁡(o)>-α {\ displaystyle \ kezelőnév {Re} (p)> - \ alfa \}
3	exponenciális megközelítés	(1-e-αt)⋅Υ(t) {\ displaystyle (1 - {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t}) \ cdot \ Upsilon (t) \}	αo(o+α){\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {p (p + \ alpha)}}}	Újra⁡(o)>0 {\ displaystyle \ kezelőnév {Re} (p)> 0 \}
4	sinus	bűn⁡(ωt)⋅Υ(t) {\ displaystyle \ sin (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	ωo2+ω2{\ displaystyle {\ omega \ over p ^ {2} + \ omega ^ {2}}}	Újra⁡(o)>0 {\ displaystyle \ kezelőnév {Re} (p)> 0 \}
5.	koszinusz	kötözősaláta⁡(ωt)⋅Υ(t) {\ displaystyle \ cos (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	oo2+ω2{\ displaystyle {p \ over p ^ {2} + \ omega ^ {2}}}	Újra⁡(o)>0 {\ displaystyle \ kezelőnév {Re} (p)> 0 \}
6.	hiperbolikus szinusz	sinh⁡(αt)⋅Υ(t) {\ displaystyle \ sinh (\ alfa t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	αo2-α2{\ displaystyle {\ alpha \ over p ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}	Újra⁡(o)>|α| {\ displaystyle \ kezelőnév {Re} (p)> | \ alpha | \}
7	hiperbolikus koszinusz	kényelmes⁡(αt)⋅Υ(t) {\ displaystyle \ cosh (\ alfa t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	oo2-α2{\ displaystyle {p \ over p ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}	Újra⁡(o)>|α| {\ displaystyle \ kezelőnév {Re} (p)> | \ alpha | \}
8.	szinuszhullám exponenciális bomlása	e-αtbűn⁡(ωt)⋅Υ(t) {\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- \ alfa t} \ sin (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	ω(o+α)2+ω2{\ displaystyle {\ omega \ over (p + \ alfa) ^ {2} + \ omega ^ {2}}}	Újra⁡(o)>-α {\ displaystyle \ kezelőnév {Re} (p)> - \ alfa \}
9.	egy koszinusz-hullám exponenciális bomlása	e-αtkötözősaláta⁡(ωt)⋅Υ(t) {\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- \ alfa t} \ cos (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	o+α(o+α)2+ω2{\ displaystyle {p + \ alpha \ over (p + \ alpha) ^ {2} + \ omega ^ {2}}}	Újra⁡(o)>-α {\ displaystyle \ kezelőnév {Re} (p)> - \ alfa \}
10.	n-edik gyök	tnem⋅Υ(t){\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {t}} \ cdot \ Upsilon (t)}	o-(nem+1)/nem⋅Γ(1+1nem){\ displaystyle p ^ {- (n + 1) / n} \ cdot \ Gamma \ bal (1 + {\ frac {1} {n}} \ jobb)}	Újra⁡(o)>0{\ displaystyle \ kezelőnév {Re} (p)> 0 \,}
11.	logaritmus	ln⁡(tt0)⋅Υ(t){\ displaystyle \ ln \ bal ({t \ over t_ {0}} \ right) \ cdot \ Upsilon (t)}	-t0o [ ln⁡(t0o)+γ ]{\ displaystyle - {t_ {0} \ felett p} \ [\ \ ln (t_ {0} p) + \ gamma \]}	Újra⁡(o)>0{\ displaystyle \ kezelőnév {Re} (p)> 0 \,}
12.	Az első típusú Bessel-függvény , sorrendben n	Jnem(ωt)⋅Υ(t){\ displaystyle J_ {n} (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t)}	ωnem(o+o2+ω2)-nemo2+ω2{\ displaystyle {\ frac {\ omega ^ {n} \ balra (p + {\ sqrt {p ^ {2} + \ omega ^ {2}}} \ jobbra) ^ {- n}} {\ sqrt {p ^ {2} + \ omega ^ {2}}}}}	Újra⁡(o)>0{\ displaystyle \ kezelőnév {Re} (p)> 0 \,} (nem>-1){\ displaystyle (n> -1) \,}
13.	az első típusú módosított Bessel-függvény, n	énnem(ωt)⋅Υ(t){\ displaystyle \ mathrm {I} _ {n} (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t)}	ωnem(o+o2-ω2)-nemo2-ω2{\ displaystyle {\ frac {\ omega ^ {n} \ balra (p + {\ sqrt {p ^ {2} - \ omega ^ {2}}} \ jobbra) ^ {- n}} {\ sqrt {p ^ {2} - \ omega ^ {2}}}}}	Újra⁡(o)>|ω|{\ displaystyle \ kezelőnév {Re} (p)> | \ omega | \,} (nem>-1){\ displaystyle (n> -1) \,}
14	hiba funkció	erf(t)⋅Υ(t){\ displaystyle \ mathrm {erf} (t) \ cdot \ Upsilon (t)}	eo2/4erfc⁡(o/2)o{\ displaystyle {{\ rm {e}} ^ {p ^ {2} / 4} \ kezelőnév {erfc} \ bal (p / 2 \ jobb) \ felett p}}	Újra⁡(o)>0{\ displaystyle \ kezelőnév {Re} (p)> 0 \,}
Megjegyzések: Υ(t){\ displaystyle \ Upsilon (t) \,}a Heaviside funkcióját képviseli . δ(t){\ displaystyle \ delta (t) \,}a Dirac függvényt képviseli . Γ(z){\ displaystyle \ Gamma (z) \,}a Gamma funkció . γ{\ displaystyle \ gamma \,}az Euler-Mascheroni állandó . t{\ displaystyle t \,}, valós szám, jellemzően az időt jelöli , de bármilyen más mennyiséget is jelölhet. o{\ displaystyle p \,} komplex szám. q{\ displaystyle q \,}valós szám ( ).q+1>0{\ displaystyle q + 1> 0} α{\ displaystyle \ alfa \,}, , , És valós számok.β{\ displaystyle \ beta \,}τ{\ displaystyle \ tau \,}ω{\ displaystyle \ omega \,} nem{\ displaystyle n \,} egész szám.

Példa a Laplace-transzformáció villamos energia felhasználására

Az "R, C" nevű áramkört tekintjük, amely egy R értékű elektromos ellenállásból és egy C elektromos kapacitású kondenzátorból áll , sorba helyezve. Minden esetben úgy tekintjük, hogy az áramkört az ideális feszültséggenerátor kapcsainál helyezzük el, amely egy (általában) változó feszültséget szolgáltat u ( t ), csak a dátumok kezdőpontjának választott pillanatban, és hogy a kondenzátort kezdetben terheljük.

Így a kondenzátor q ( t ) töltésére és az áram áramára a következő kezdeti feltételek vonatkoznak: én(t)≡dqdt{\ displaystyle i \ bal (t \ jobb) \ equiv {\ frac {{\ rm {d}} q} {{\ rm {d}} t}}}

q(0-)=0,én(0-)=0.{\ displaystyle q \ left (0 ^ {-} \ right) = 0, i \ left (0 ^ {-} \ right) = 0.}

A kondenzátor feltöltése feszültséglépéssel

A következő u ( t ) feszültséget alkalmazzuk :

u(t)={0, ha t<0U0=vs.te, ha t≥0,{\ displaystyle u (t) = {\ begin {esetben} 0, {\ text {si}} t <0 \\\ mathrm {U} _ {0} = cte, {\ text {si}} t \ geq 0 \ vég {esetek}},}

és a q ( t ) választ az u ( t ) bemenetre kapcsoló differenciálegyenlet a szokásos villamosenergia-törvények alkalmazásával történik:

U0Υ(t)=Rdqdt+q(t)VS,{\ displaystyle \ mathrm {U} _ {0} \ Upsilon (t) = \ mathrm {R} {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} t}} + {\ frac {q ( t)} {\ mathrm {C}}},}

vagy ismét úgy, hogy beállítjuk a τ ≡ RC értéket (ennek a mennyiségnek egy időtartama van) és elosztjuk R-vel:

VSU0τΥ(t)=q(t)τ+dqdt.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {C} \ mathrm {U} _ {0}} {\ tau}} \ Upsilon (t) = {\ frac {q (t)} {\ tau}} + {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} t}}.}

Az utolsó egyenlet tag-tag Laplace-transzformációját vesszük, amely Q ( p ) -t jelöli q ( t ) transzformációjába. Ez jön, figyelembe véve azt a tényt, hogy q (0 - ) = 0:

Q(o)=VSU01τo((1τ)+o),{\ displaystyle \ mathrm {Q} (p) = \ mathrm {C} \ mathrm {U} _ {0} {\ frac {\ frac {1} {\ tau}} {p \ balra (({\ frac { 1} {\ tau}}) + p \ jobbra)}},}

amelyet a következő formában is meg lehet írni:

Q(o)=H(o)U(o), val vel H(o)≡(1/τ)[(1/τ)+o],{\ displaystyle \ mathrm {Q} (p) = \ mathrm {H} (p) \ mathrm {U} (p) {\ text {,}} \ mathrm {H} (p) \ equiv {\ frac { \ balra (1 / \ tau \ jobbra)} {\ balra [(1 / \ tau) + p \ jobbra}}},}

U(o)=VSU0/o,{\ displaystyle \ mathrm {U} (p) = \ mathrm {C} \ mathrm {U} _ {0} / p,}

Ezt az egyenletet azonnal megfordíthatjuk (a fenti táblázatból a 3. bejegyzés számát használjuk α = 1 / τ-val ):

q(t)=U0VS[1-e-t/τ]Υ(t).{\ displaystyle q (t) = \ mathrm {U} _ {0} \ mathrm {C} \ balra [1 - {\ rm {e}} ^ {- t / \ tau} \ jobbra] \ Upsilon (t) .}

A megoldás fizikai értelmezése nagyon egyszerű: van egy átmeneti rezsim

qtrnál nélnems(t)=-U0VSe-t/τ,{\ displaystyle q _ {\ mathrm {trans}} \ bal (t \ jobb) = - \ mathrm {U} _ {0} \ mathrm {C} {\ rm {e}} ^ {- t / \ tau} ,}

amely a kondenzátor progresszív töltését, az időskálát adó τ the RC mennyiséget írja le (ez egy példa a rendszer időállandójára ), állandó állapotban

Qoerm=VSU0≡Qm{\ displaystyle \ mathrm {Q_ {perm}} = \ mathrm {C} \ mathrm {U} _ {0} \ equiv \ mathrm {Q_ {m}}}

amely megfelel a teljesen feltöltött kondenzátor állapotának az U 0 feszültség alatt . Könnyen kimutatható, hogy a kondenzátor 90% -ban feltöltött ( q = 0,90 Q m ) a T = τ ln (10) ≈ 2,3025 τ periódus végén .

Az (1 - e - t / τ ) kifejezés a rendszer átviteli függvénye az időtartományban.

Láthatjuk a Laplace-transzformáció egyszerű alkalmazhatóságát, amely lehetővé teszi a teljes eltérést az idő térbeli differenciálegyenlet felbontásától a " p  " tér átjárásával . Sőt, az átalakítás során figyelembe veszik a kezdeti feltételeket.

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

1. Bourlès 2010 (12.3.4. Bekezdés), Bourlès és Marinescu 2011 , 7.3.4.1.
2. Denis-Papin és Kaufmann 1967 .
3. J.-É. Rombaldi, Javított gyakorlatok és problémák a matematika összesítéséhez , De Boeck Supérieur ,2018( online olvasható ) , p.  193.
4. Bourlès 2010 , p.  356.
5. (in) Milton Abramowitz és Irene Stegun , Handbook of Matematikai függvények és képletek, grafikonok, táblázatok és matematikai [ kiadói részletek ] ( olvasható online ), fej. 29. („Laplace-transzformációk”), p. 1020: 29.2.4. és 29.2.5
6. (in) Milton Abramowitz és Irene Stegun , Handbook of Matematikai függvények és képletek, grafikonok, táblázatok és matematikai [ kiadói részletek ] ( olvasható online ), fej. 29. („Laplace-transzformációk”), p. 1020: 29.1.1.
7. Schwartz 1965 , VI, 2; 2.
8. André Desbiens, „  Lineáris rendszerek és ellenőrzési GEL-2005. 3. fejezet: Laplace-transzformáció  ” , az Université Laval-on , p.  33.
9. Bracewell 2000 , 14.1. Táblázat, p. 385.
10. A rakatot a szorzással C.

Hivatkozások

• Henri Bourlès , a Linear Systems , John Wiley & Sons ,2010, 544  p. ( ISBN  978-1-84821-162-9 és 1-84821-162-7 , olvassa el online )
• Henri Bourlès és Bogdan Marinescu , lineáris időváltozó rendszerek: algebrai-analitikus megközelítés , Springer,2011, 638  p. ( ISBN  3642197264 )
• (en) Ronald N. Bracewell , The Fourier Transform and Applications , Boston, McGraw-Hill,2000, 3 e  . ( ISBN  0-07-116043-4 ).
• M. Denis-Papin és A. Kaufmann , alkalmazott operatív számítási tanfolyam , Albin Michel ,1967( ASIN  B003WR50TY )
• Laurent Schwartz , Matematikai módszerek a fizikai tudományokhoz , Hermann ,1965( ISBN  2-7056-5213-2 )
• (en) DV Widder , The Laplace Transform , Dover Publications ,2011, 406  p. ( ISBN  978-0-486-47755-8 és 0-486-47755-X )

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

• Kétoldalú Laplace-transzformáció
• Z-vé alakítva
• Operatív számítás
• Mellin transzformáció
• Átviteli funkció
• Bernstein tétele a teljesen monoton funkciókról