Mellin transzformáció

A matematikában a Mellin transzformáció egy integrális transzformáció, amely a kétoldalú Laplace transzformáció multiplikatív (en) változatának tekinthető . Ez az integrál transzformáció szorosan kapcsolódik a Dirichlet-sorozat elméletéhez , és gyakran alkalmazzák a számelméletben és az aszimptotikus tágulás elméletében ; szorosan kapcsolódik a Laplace-transzformációhoz , a Fourier-transzformációhoz , a gamma-függvény elméletéhez és a speciális funkciókhoz is .

A Mellin-transzformációt Hjalmar Mellin finn matematikus tiszteletére nevezték el .

Meghatározás

Az $f$ függvény Mellin-transzformációja , amelyet folyamatosan és darabonként tovább definiálunk, az a függvény, amelyet az általánosított integrál jelöl, vagy definiál : ${\ displaystyle \ left] 0, + \ infty \ right [}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} \ bal \ {f (x) \ jobb \}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} f (x) \, \ mathrm {d} x}

A transzformáció létezésének megfelelő feltételét a következő eredmény adja:

Tétel - Feltételezzük, hogy:

$f$ folyamatosan be van kapcsolva ; ${\ displaystyle \ left] 0, + \ infty \ right [}$
valós számra mikor ; ${\ displaystyle \ alpha, \ qquad f (x) = O (x ^ {- \ alpha})}$ ${\ displaystyle x \ to 0}$
${\ displaystyle \ forall \ beta \ in \ mathbb {R} _ {+} \, f (x) = O (x ^ {- \ beta})}$ amikor ( $f$ gyorsabban $közelít$ 0-hoz, mint $x$ bármely (negatív) hatványa, amikor ). ${\ displaystyle x \ to + \ infty}$ ${\ displaystyle x \ to + \ infty}$

Ezután az általánosított integrál abszolút konvergál $Re ($ $s$ $)> α esetén,$ és holomorf függvényt határoz meg a $Re ($ $s$ $)> α félsíkon$ . ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} f (x) \, \ mathrm {d} x}$

Általánosabban, ha

$f$ folyamatosan be van kapcsolva ; ${\ displaystyle \ left] 0, + \ infty \ right [}$
valós számokhoz α <β ,
- ${\ displaystyle f (x) = O (x ^ {- \ alpha})}$ mikor és ${\ displaystyle x \ to 0}$
- ${\ displaystyle f (x) = O (x ^ {- \ beta})}$ mikor , ${\ displaystyle x \ to + \ infty}$

akkor az általánosított integrál abszolút konvergál $α <Re ($ $s$ $) <β esetén,$ és holomorf funkciót határoz meg az $α <Re ($ $s$ $) <β$ sávon . ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} f (x) \, \ mathrm {d} x}$

Példák

A transzformáció egy Dirac eloszlás , azzal a > 0, egy exponenciális függvény . ${\ displaystyle \ delta (xa)}$ ${\ displaystyle s \ mapsto a ^ {s-1}}$
A Mellin transzformációs függvény , azzal $a$ $> 0$ , a funkció a félsíkra $Re ($ $s$ $)> 0$ (ahol $H$ a Heaviside függvény , $F$ $($ $x$ $) = 1$ , ha $0 <$ $x$ $<$ $a$ és $az f$ $($ $x$ $) = 0,$ ha $x$ $>$ $a$ ). ${\ displaystyle f \ ,: \, x \ mapsto \ mathrm {H} (ax)}$ ${\ displaystyle s \ mapsto {\ frac {a ^ {s}} {s}}}$
A Mellin transzformációs függvény , azzal $a$ $> 0$ , a funkció a félsíkra $Re ($ $s$ $)> 0$ ( van Euler-féle gamma-függvény ). ${\ displaystyle x \ mapsto \ mathrm {e} ^ {- ax}}$ ${\ displaystyle s \ mapsto {\ frac {\ Gamma (s)} {a ^ {s}}}}$
$\Gamma$
A függvény Mellin-transzformációja a $Re ($ $s$ $)> 0$ félsík függvénye . ${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {- x ^ {2}}}$ ${\ displaystyle s \ mapsto {\ frac {\ Gamma (s / 2)} {2}}}$
A függvény Mellin-transzformációja az $-1 <Re ($ $s$ $) <1$ sávban található függvény (az általánosított integrál félkonvergens, ha $Re ($ $s$ $) \geq 0$ ). $\ bűn$ ${\ displaystyle s \ mapsto {\ Gamma (s)} \ sin \ bal ({\ frac {\ pi s} {2}} \ jobb)}$
A függvény Mellin-transzformációja a $0 <Re ($ $s$ $) <1$ sávon található függvény (az általánosított integrál félkonvergens). $\ cos$ ${\ displaystyle s \ mapsto {\ Gamma (s)} \ cos \ balra ({\ frac {\ pi s} {2}} \ jobbra)}$
A függvény Mellin-transzformációja a $0 <Re ($ $s$ $) <1$ sávon található függvény . ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {1 + x}}}$ ${\ displaystyle s \ mapsto {\ frac {\ pi} {\ sin (\ pi s)}}}$
Általánosságban elmondható , hogy a függvény Mellin-transzformációja a $0 <Re ($ $s$ $) <Re ($ $a$ $)$ sávon lévő függvény ( a béta függvény ). ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {(1 + x) ^ {a}}}}$ ${\ displaystyle s \ mapsto \ mathrm {B} (s, as)}$
${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \, \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}}}$
A függvény Mellin-transzformációja a $0 <Re ($ $s$ $) <2$ sávon található függvény . ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle s \ mapsto {\ frac {\ pi / 2} {\ sin (\ pi s / 2)}}}$
A függvény Mellin-transzformációja az $-1 <Re ($ $s$ $) <0$ sávban található függvény . ${\ displaystyle x \ mapsto \ ln (1 + x)}$ ${\ displaystyle s \ mapsto {\ frac {\ pi} {s \ sin (\ pi s)}}}$
A Mellin transzformációs függvény van a függvény a félsíkra $Re ($ $s$ $)> 1$ ( a Riemann zéta-függvény ). ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {\ mathrm {e} ^ {x} -1}}}$ ${\ displaystyle s \ mapsto \ Gamma (s) \ zeta (k)}$
$\ zeta$

Fordított Mellin transzformáció

A fordított transzformáció az

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} ^ {- 1} \ bal \ {\ varphi \ right \} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ int _ { c- \ mathrm {i} \ infty} ^ {c + \ mathrm {i} \ infty} x ^ {- s} \ varphi (s) \, \ mathrm {d} s}

A jelölés azt feltételezi, hogy ez egy görbe vonalú integrál, amely a komplex sík függőleges vonalán helyezkedik el.

Tétel - Feltételezzük, hogy:

$f$ folyamatosan be van kapcsolva ; ${\ displaystyle \ left] 0, + \ infty \ right [}$
valós számra mikor ; ${\ displaystyle \ alpha, \ qquad f (x) = O (x ^ {- \ alpha})}$ ${\ displaystyle x \ to 0}$
${\ displaystyle \ forall \ beta \ in \ mathbb {R} _ {+} \, f (x) = O (x ^ {- \ beta})}$ amikor ( $f$ gyorsabban $közelít$ 0-hoz, mint $x$ bármely (negatív) hatványa, amikor ). ${\ displaystyle x \ to + \ infty}$ ${\ displaystyle x \ to + \ infty}$

Megvan a Mellin inverziós képlete, amely érvényes mindenre és mindenre $x$ $> 0$ : ${\ displaystyle c> \ alfa}$

{\ displaystyle f (x) = {\ mathcal {M}} ^ {- 1} \ bal \ {{\ mathcal {M}} _ {f} \ right \} (x) = {\ frac {1} { 2 \ pi \ mathrm {i}}} \ int _ {c- \ mathrm {i} \ infty} ^ {c + \ mathrm {i} \ infty} x ^ {- s} {\ mathcal {M}} _ {f} (s) \, \ mathrm {d} s}

Kapcsolatok más átalakulásokkal

A kétoldalú Laplace-transzformációval

A kétoldalú Laplace transzformáció ( ) a Mellin transzformációval határozható meg ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ {f \} (s) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- st} f (t) \, \ mathrm {d} t}$

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ bal \ {f \ right \} (s) = {\ mathcal {M}} \ bal \ {f (- \ ln x) \ right \} (s)}

Ezzel szemben a Mellin transzformációt a kétoldalú Laplace transzformációból nyerhetjük

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (s) = {\ mathcal {B}} \ bal \ f (\ mathrm {e} ^ {- x}) \ jobb \} (s)}

A Mellin-transzformáció integrációnak tekinthető egy $x s$ kernel alkalmazásával, amely tiszteletben tartja a tágítás alatt invariáns Haar multiplikatív mértéket , azaz . ${\ frac {{\ mathrm d} x} x}$ ${\ displaystyle x \ mapsto ax}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} (ax)} {ax}} = {\ frac {\ mathrm {d} x} {x}}}$

A kétoldalú Laplace-transzformáció integrálódik, tiszteletben tartva az additív Haar-mértéket , amely fordításinvariáns, vagyis . $\ mathrm {d} x$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} (x + a) = \ mathrm {d} x}$

A Fourier-transzformációval

Meghatározhatjuk a Fourier-transzformációt a Mellin-transzformáció szempontjából is és fordítva; ha a fentiek szerint definiáljuk a Fourier-transzformációt, akkor

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} f (s) = {\ mathcal {B}} f (\ mathrm {i} s) = {\ mathcal {M}} \ bal \ {f (- \ ln x) \ right \} (\ mathrm {i} s)}

Megfordíthatjuk a folyamatot és megkapjuk

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (s) = {\ mathcal {B}} \ bal \ f (\ mathrm {e} ^ {- x}) \ jobb \} (s) = {\ mathcal {F}} \ balra \ {f (\ mathrm {e} ^ {- x}) \ jobbra \} (- \ mathrm {i} s)}

A Mellin átalakulás is kapcsolódik Newton-sorozat vagy a binomiális átalakítások a generátor függvény a Poisson törvény révén a Poisson-Mellin-Newton ciklus .

Komplett Cahen-Mellin

Mert , és a fő ága , van $c> 0$ ${\ displaystyle \ Re (y)> 0}$ ${\ displaystyle y ^ {- s}}$

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {- y} = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ int _ {c- \ mathrm {i} \ infty} ^ {c + \ mathrm {i} \ infty} \ Gamma (y) y ^ {- s} \; \ mathrm {d} s}

Ezt az integrált Cahen- Melin integrálnak nevezik.

Alkalmazások

A Perron-képlet a Dirichlet-sorozatra alkalmazott inverz Mellin-transzformációt írja le .
A Mellin-transzformációt a prímszám-számláló függvény néhány bizonyítékában használják, és a Riemann zeta-függvény megbeszélésekor jelenik meg .
Az inverz Mellin transzformáció általában a Riesz-átlagban jelenik meg .
A melin-transzformációkat gyakran használják különféle rácsösszegek analitikai kiszámításához, amelyeket különféle speciális funkciókként fejeznek ki, mint például Jacobi theta-funkciói vagy Riemann zeta-funkciói .

Megjegyzések és hivatkozások

(en) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia " Mellin transform " című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .

(en) Henri Cohen , Számelmélet , vol. II: Analitikai és modern eszközök , Springer, koll. " GTM " ( n ° 240)2007( online olvasható ) , p. 107..
Cohen 2007 , p. 150.
Cohen 2007 , p. 145.
(in) GH Hardy és JE Littlewood , " Hozzájárulások a Riemann Zeta-Function elméletéhez és a bónuszok elosztásának elméletéhez ", Acta , vol. 1916. 41. o. 119–196 (lásd Cahen és Mellin munkájára vonatkozó további hivatkozásokat, beleértve Cahen tézisét is).
(in) ML Glasser, " A rácsösszegek értékelése. I. Analitikai eljárások ” , J. Math. Phys. , vol. 14, n o 3,1973, P. 409-413.

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Bibliográfia

en) RB Paris és D. Kaminsky, Asymptotics és Mellin-Barnes Integrals , Cambridge University Press ,2001( online olvasás )
(en) AD Polyanin (en) és AV Manzhirov, Integrálegyenletek kézikönyve , CRC Press ,2008, 2 nd ed. ( 1 st szerk. 1998) ( ISBN 978-0-2038-8105-7 , olvasható online )

Külső linkek

(en) " Integral Transforms Tables " , az EqWorld oldalon: A matematikai egyenletek világa
(en) Eric W. Weisstein , „ Mellin Transform ” , a MathWorld- on