Riesz átlag
A matematika , Riesz eszköz bizonyos eszközöket a kifejezések egy sorozat . Ők vezették be Riesz Marcell a 1911 , mint egy javulás a Cesaro átlagos . A rizzei átlagokat nem szabad összetéveszteni a Bochner-Riesz (en) és a rizies erős átlagokkal.
Meghatározás
Az általános kifejezések sorozatának Riesz-átlagát a következők határozzák meg:
snem{\ displaystyle s_ {n}}![s_n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d671890050b21484dde3087d000700c97fc3b03c)
sδ(λ)=∑nem≤λ(1-nemλ)δsnem{\ displaystyle s ^ {\ delta} (\ lambda) = \ sum _ {n \ leq \ lambda} \ bal (1 - {\ frac {n} {\ lambda}} \ jobb) ^ {\ delta} s_ { nem}}![{\ displaystyle s ^ {\ delta} (\ lambda) = \ sum _ {n \ leq \ lambda} \ bal (1 - {\ frac {n} {\ lambda}} \ jobb) ^ {\ delta} s_ { nem}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/634a44d0687a0af77cefc1ceb59d189b96e6db89)
és általánosított rizz átlagát a következők határozzák meg:
Rnem=1λnem∑k=0nem(λk-λk-1)δsk,{\ displaystyle R_ {n} = {\ frac {1} {\ lambda _ {n}}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} (\ lambda _ {k} - \ lambda _ {k-1 }) ^ {\ delta} s_ {k},}![{\ displaystyle R_ {n} = {\ frac {1} {\ lambda _ {n}}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} (\ lambda _ {k} - \ lambda _ {k-1 }) ^ {\ delta} s_ {k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f78b1645edd85ffbce460ecf7c9872871d11cb70)
hol van egy tetszőleges szekvencia, olyan és mikor .
(λnem) {\ displaystyle (\ lambda _ {n}) ~}
λnem→∞{\ displaystyle \ lambda _ {n} \ to \ infty}
λnem+1/λnem→1{\ displaystyle \ lambda _ {n + 1} / \ lambda _ {n} \ to 1}
nem→∞{\ displaystyle n \ - \ infty}![n \ to \ infty](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0d55d9b32f6fa8fab6a84ea444a6b5a24bb45e1)
A Riesz-eszközöket gyakran használják a sorozatok összegezhetőségének feltárására ; a szokásos összegezhető tételek az esettel foglalkoznak . Jellemzően egy sorozat akkor összegezhető, ha létezik a határ , vagy létezik a határ , azonban a szóban forgó pontos összegezhetőségi tételek gyakran további feltételeket szabnak.
Snem=∑k=0nemsnem{\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} s_ {n}}
limnem→∞Rnem{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} R_ {n}}
limδ→1,λ→∞sδ(λ){\ displaystyle \ lim _ {\ delta \ to 1, \ lambda \ to \ infty} s ^ {\ delta} (\ lambda)}![{\ displaystyle \ lim _ {\ delta \ to 1, \ lambda \ to \ infty} s ^ {\ delta} (\ lambda)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f0157f4ed343b72e0d8dc9fd18cfc0ba06f25b9)
Különleges esetek
Bármelyik is . Így
snem=1{\ displaystyle s_ {n} = 1}
nem{\ displaystyle n}![nem](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
∑nem≤λ(1-nemλ)δ=12πén∫vs.-én∞vs.+én∞Γ(1+δ)Γ(s)Γ(1+δ+s)ζ(s)λs ds=λ1+δ+∑nembnemλ-nem.{\ displaystyle \ sum _ {n \ leq \ lambda} \ balra (1 - {\ frac {n} {\ lambda}} \ jobbra) ^ {\ delta} = {\ frac {1} {2 \ pi i} } \ int _ {ci \ infty} ^ {c + i \ infty} {\ frac {\ Gamma (1+ \ delta) \ Gamma (s)} {\ Gamma (1+ \ delta + s)}} \ zeta (s) \ lambda ^ {s} ~ \ mathrm {d} s = {\ frac {\ lambda} {1+ \ delta}} + \ összeg _ {n} b_ {n} \ lambda ^ {- n}. }![{\ displaystyle \ sum _ {n \ leq \ lambda} \ balra (1 - {\ frac {n} {\ lambda}} \ jobbra) ^ {\ delta} = {\ frac {1} {2 \ pi i} } \ int _ {ci \ infty} ^ {c + i \ infty} {\ frac {\ Gamma (1+ \ delta) \ Gamma (s)} {\ Gamma (1+ \ delta + s)}} \ zeta (s) \ lambda ^ {s} ~ \ mathrm {d} s = {\ frac {\ lambda} {1+ \ delta}} + \ összeg _ {n} b_ {n} \ lambda ^ {- n}. }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/712fc3010329ed70e412efbe94c50d591005f293)
Itt kell vennünk ; a gamma függvény és a Riemann zeta függvény . Megmutathatjuk, hogy a hatalmak sora összefog . Figyeljük meg, hogy az integrál inverz Mellin- transzformáció formájában van.
vs.>1{\ displaystyle c> 1}
Γ{\ displaystyle \ Gamma}
ζ{\ displaystyle \ zeta}
∑nembnemλ-nem{\ displaystyle \ sum _ {n} b_ {n} \ lambda ^ {- n}}
λ>1{\ displaystyle \ lambda> 1}![{\ displaystyle \ lambda> 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db907bc2da64805ec8698ef70da1531773faccc0)
Egy másik érdekes, a számelmélethez kapcsolódó eset merül fel abban, hogy hol tart a von Mangoldt-függvény . Így
snem=Λ(nem){\ displaystyle s_ {n} = \ Lambda (n)}
Λ(nem){\ displaystyle \ Lambda (n)}![{\ displaystyle \ Lambda (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/763b9c503bc0ec2109ea1031a176850d169ea833)
∑nem≤λ(1-nemλ)δΛ(nem)=-12πén∫vs.-én∞vs.+én∞Γ(1+δ)Γ(s)Γ(1+δ+s)ζ′(s)ζ(s)λs ds=λ1+δ+∑ρΓ(1+δ)Γ(ρ)Γ(1+δ+ρ)+∑nemvs.nemλ-nem.{\ displaystyle \ sum _ {n \ leq \ lambda} \ bal (1 - {\ frac {n} {\ lambda}} \ jobb) ^ {\ delta} \ Lambda (n) = - {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {ci \ infty} ^ {c + i \ infty} {\ frac {\ Gamma (1+ \ delta) \ Gamma (s)} {\ Gamma (1+ \ delta + s)}} {\ frac {\ zeta ^ {\ prime} (s)} {\ zeta (s)}} \ lambda ^ {s} ~ \ mathrm {d} s = {\ frac {\ lambda} {1 + \ delta}} + \ összeg _ {\ rho} {\ frac {\ Gamma (1+ \ delta) \ Gamma (\ rho)} {\ Gamma (1+ \ delta + \ rho)}} + \ összeg _ {n} c_ {n} \ lambda ^ {- n}.}![{\ displaystyle \ sum _ {n \ leq \ lambda} \ bal (1 - {\ frac {n} {\ lambda}} \ jobb) ^ {\ delta} \ Lambda (n) = - {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {ci \ infty} ^ {c + i \ infty} {\ frac {\ Gamma (1+ \ delta) \ Gamma (s)} {\ Gamma (1+ \ delta + s)}} {\ frac {\ zeta ^ {\ prime} (s)} {\ zeta (s)}} \ lambda ^ {s} ~ \ mathrm {d} s = {\ frac {\ lambda} {1 + \ delta}} + \ összeg _ {\ rho} {\ frac {\ Gamma (1+ \ delta) \ Gamma (\ rho)} {\ Gamma (1+ \ delta + \ rho)}} + \ összeg _ {n} c_ {n} \ lambda ^ {- n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/871c3abddfa9190b15ba1081de1110113487e670)
Ismét vállalnunk kell . A feletti összeg a Riemann zétafüggvény nulláinak összege, és konvergál .
vs.>1{\ displaystyle c> 1}
ρ{\ displaystyle \ rho}
∑nemvs.nemλ-nem{\ displaystyle \ sum _ {n} c_ {n} \ lambda ^ {- n}}
λ>1{\ displaystyle \ lambda> 1}![{\ displaystyle \ lambda> 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db907bc2da64805ec8698ef70da1531773faccc0)
Az itt megjelenő integrálok hasonlóak a Nörlund-Rice integrálhoz ; nagyon durván, ezekhez az integrálokhoz kapcsolhatók Perron képlete alapján .
Hivatkozások
-
M. Riesz, „ Egy addíciós eljárás egyenértékű a módszer aritmetikai eszköz ”, a CRAS , vol. 152, 1911, p. 1651-1654
-
(in) GH Hardy és JE Littlewood , " Hozzájárulások a Riemann Zeta-Function elméletéhez és a bónuszok elosztásának elméletéhez ", Acta , vol. 1916. 41. o. 119-196
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">