Lineáris rendszer

Egy lineáris rendszer (a kifejezés rendszer tett abban az értelemben, a automatikus , nevezetesen egy dinamikus rendszer ) egy olyan objektum, az anyagi világ, amely leírható lineáris egyenletek (eltérés vagy különbség a lineáris egyenletek), vagy amelyek engedelmeskedik a szuperpozíció elve : a rendszer változóinak bármely lineáris kombinációja továbbra is ennek a rendszernek a változója.

A nemlineáris rendszereket nehezebb tanulmányozni, mint a lineáris rendszereket. Egy nemlineáris rendszer linearizálásával (amikor lehetséges) egy egyensúlyi pont vagy egy pálya körül kapunk egy lineáris rendszert, amely helyesen ábrázolja a nemlineáris rendszert ennek az egyensúlyi pontnak vagy ennek a pályának a közelében. A nemlineáris rendszer linearizálása egy olyan pálya körül, amely nem csökken egyensúlyi ponttá, lineáris rendszert generál változó együtthatókkal (az idő függvényében), ennélfogva az a fontosság, amelyet az ilyen típusú rendszerek feltételeztek, és a legújabb tanulmányok ennek szentelték.

Gyakran (de nem mindig) megkülönböztetünk egy S rendszer változói között az u oszlopba gyűjtött bemeneti és az y oszlopba gyűjtött kimeneti változókat ; a tripletet ezután vezérelt rendszernek vagy akár dinamikusnak nevezik . ${\ displaystyle (\ mathrm {S}, u, y)}$

Történelmi

A lineáris rendszereket először csak az álló helyzetben (más néven „invariánsnak” ) vizsgálták az átviteli függvény formalizmusában . Ez a megközelítés megvalósult Bode híres könyvének a második világháború végén való megjelenésével (azóta újra kiadták). Bellman , Pontryagin és munkatársai, különösen Kalman munkája sok automatizálási mérnököt arra késztetett, hogy az 1960-as évektől kezdve az állam képviseletét támogassák .

Kalman teljes elméletet készített a helyhez kötött lineáris rendszerekről állami formában, és bemutatta az átviteli formalizmus által kiváltott információvesztést, nevezetesen a „rejtett módokat”. Wonham (de) ösztönzésére az automatizálási mérnökök a lineáris rendszerek belsõbb reprezentációinak megszerzésére vállalkoztak, mint a kalmán megfogalmazásban: így az 1970-es évek második felétõl az a geometriai megközelítés, amely mégis megõrzi a állami képviselet .

Az 1980-as évek közepén Jan Willems hangsúlyozta, hogy egy általános álló lineáris rendszert kell meghatározni, mint a megfelelő funkcionális tér erejében a konstans s együtthatójú differenciál operátorok gyűrűjében lévő elem mátrix magját : ez a megközelítés ismert mint "viselkedési" ( angolul : behavioral approach ).

1990-ben a nemlineáris rendszerekkel kapcsolatos munkájából Fliess alternatív megközelítést javasolt, amely szerint a rendszer a véges bemutatás egysége a differenciál operátorok gyűrűjén. Ugyanakkor és függetlenül, Oberst a homológiai algebra elképzeléseinek köszönhetően megteremtette a kapcsolatot a két megközelítés között (az első a megoldásokat hangsúlyozza, a második az egyenleteket) . Ez eltávolítjuk a szeparációs hogy még létezett az elmélet lineáris rendszerek abban az értelemben, automata, ami érdekel bennünket itt, és az elmélet lineáris eltérés rendszerek által kifejlesztett Malgrange származó Grothendieck a gondolatok az algebrai geometria . Ezek az ötletek később születték meg a D-modulus elméletet a Satō (és az általa alapított "kiotói iskola", amelynek ma Masaki Kashiwara kiemelkedő képviselője) vezetésével született meg .

A lineáris rendszerek modern koncepciója a közelmúltban szisztematikus bemutatás tárgyát képezte; az idő függvényében változó együtthatójú lineáris rendszerek vizsgálata ott fontos helyet foglal el, különös tekintettel egy ilyen rendszer pólusára , azzal a stabilitási tulajdonsággal, amely e pólusok komplex síkban elfoglalt helyzetéből adódik. Ez az általánosítás nem érhető el az algebrai elemzés eszközeinek használata nélkül .

Lineáris rendszerek mint magok

Meghatározás

Legyen differenciáloperátorok gyűrűje, amelyet feltételezzük, hogy integrált és megengedi a törtek egy mezőjét, vagyis az Ore (in) tulajdonságának ellenőrzését a bal és a jobb oldalon (bármely integrált noetheri gyűrű a bal és a bal oldalon). jog igazolja ezt a feltételt). Tegyük fel, hogy amennyiben , ahol egy differenciál-gyűrű , és amely egy -algebra. Ha és ƒ egy -modul eleme (a végtelenül differenciálható függvények modulusa, vagy eloszlások, vagy hiperfunkciók , vagy az elemzési függvények magjai a + the szomszédságában, stb., Attól függően, hogy milyen elemek elemei vannak ), akkor a Leibniz szabálya szerint ${\ mathbf {D}}$ ${\ mathbf {D}} = {\ mathbf {K}} \ balra [\ részleges \ jobbra]$ ${\ displaystyle \ részleges = \ mathrm {d} / \ mathrm {d} t}$ ${\ mathbf {K}}$ ${\ mathbf {K}}$ $\ mathbb {C}$ $a \ itt: {\ mathbf {K}}$ ${\ mathbf {D}}$ ${\ mathbf {W}}$ ${\ mathbf {K}}$

{\ displaystyle \ részleges \ bal (af \ jobb) = {\ pont {a}} f + a \ bal (\ részleges f \ jobb)}

hol a levezetése , amelynek kiterjesztése. Mivel ez mindenre igaz, megvan a kommutációs reláció $a \ mapsto {\ dot {a}}$ ${\ mathbf {K}}$ $\ részleges$ $f \ itt: {\ mathbf {W}}$

\ részleges aa \ részleges = {\ pont {a}}

Tipikus példa a hol . A gyűrű ekkor az izomorf az első Weyl-algebra, amely nem kommutatív és egyszerű Dedekind gyűrű. ${\ displaystyle \ mathbf {K} = \ mathbb {C} \ bal [t \ jobb]}$ ${\ mathbf {D}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A} _ {1} \ balra (\ mathbb {C} \ jobbra)}$

A lineáris rendszert, amelyet definiálunk, a forma egyenlete határozza meg ${\ mathbf {D}}$

{\ displaystyle \ mathrm {R} \ bal (\ részleges \ jobb) g = 0}

hol és hol van egy oszlop olyan elemekből, amelyek egy - modult generálnak a véges prezentáció bal oldalán (amit megírunk ). Pontosabban, figyelembe vehetjük a helyes szorzást , jelölve , az in operátoraként . Ha ennek az operátornak a képe, akkor annak hányadosa törli az elemeket , nevezetesen a ckernelt ${\ displaystyle \ mathrm {R} \ bal (\ részleges \ jobb) \ in \ mathbf {D} ^ {q \ alkalommal k}}$ $g$ $q$ ${\ mathbf {D}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {M}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {M} = \ balra [g \ right] _ {\ mathbf {D}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {R} \ bal (\ részleges \ jobb)}$ ${\ displaystyle \ bal (\ bullet \ mathrm {R} \ bal (\ részleges \ jobb) \ jobb)}$ ${\ mathbf {D}} ^ {{1 \ szor q}}$ ${\ mathbf {D}} ^ {{1 \ szer k}}$ ${\ mathrm {N}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {M}}$ ${\ mathbf {D}} ^ {{1 \ szer k}}$ ${\ mathrm {N}}$

{\ displaystyle \ mathrm {M} = \ mathbf {D} ^ {1 \ szor q} / \ mathrm {N} = {\ rm {coker}} _ {\ mathbf {D}} \ balra (\ bullet \ mathrm {R} \ bal (\ részleges \ jobb) \ jobb)}

Meg kell jegyezni, hogy a véges számú változó és ezek bármilyen sorrendű (de véges) származékainak bármilyen lineáris kombinációja továbbra is eleme , amelyet a linearitás meghatározásához is felhasználhatunk. Másrészről, ellentétben azzal az egyenlettel, amely "generátorok és relációk által" definiálja, belső objektum, abban az értelemben, hogy nem függ a skaláregyenletek írási sorrendjétől, és nem attól sem, hogy a változókat veszünk, és általánosabban a generátorokat választjuk. Matematikai szinten tehát azonosíthatjuk a lineáris rendszert a modulussal . ${\ displaystyle \ mathrm {M}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {M}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {M}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {M}}$

Irányíthatóság

A rendszer akkor vezérelhető, ha nem tartalmaz olyan változót, amelyre semmilyen művelet nem lehetséges. Egy ilyen változót az jellemez, hogy kielégíti az autonóm differenciálegyenletet, vagyis nem szabad (vagy összekapcsolt). Egy kötött változót nem tartalmazó modul (definíció szerint) torzió nélküli modul. Ez a megfigyelés arra késztette Oberst, hogy egy rendszer irányítható, ha torzió nélküli modul. Mert Fliess, aki feltételezi, hogy ez egy differenciál test, történetesen főgyűrű. Ebben az esetben egy véges típusú modul torziómentes, és csak akkor, ha szabad, és ezért egy vezérelhető rendszert szabad modulként definiált. ${\ displaystyle \ mathrm {M}}$ ${\ mathbf {K}}$ ${\ mathbf {D}}$

Abban az esetben tekinthető a Fliess bármely olyan rendszer elismeri az állami reprezentáció, és a meghatározást a szabályozhatóság, hogy a szabadságot a modul egyenértékű a klasszikus Kalmanian meghatározása (lásd a cikk állami reprezentáció ).

Megjegyezzük, hogy a vezérelhetőséget fent definiáltuk, anélkül, hogy meg kellene adni a parancsváltozók választékát. A kontrollálhatóság fogalmának ezt a függetlenségét a kontrollváltozóval szemben először Willems figyelte meg.

Lineáris rendszerek mint magok

Legyen olyan differenciál operátorok gyűrűje, amelyek megfelelnek a fenti feltételeknek, például az első Weyl-algebra, amely rögzíti az ötleteket. Legyen egy -modul a bal oldalon, például az eloszlások tere a valódi jobb oldalon. jegyzet ${\ mathbf {D}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A} _ {1} \ balra (\ mathbb {C} \ jobbra)}$ ${\ mathbf {W}}$ ${\ mathbf {D}}$

{\ displaystyle \ ker _ {\ mathbf {W}} \ bal (\ mathrm {R} \ bal (\ részleges \ jobb) \ bullet \ jobb) = \ bal \ {\ mathbf {w} \ in \ mathbf {W } ^ {k}: \ mathrm {R} \ bal (\ részleges \ jobb) \ mathbf {w} = 0 \ jobb \}}

„Viselkedési megközelítésében” Willems a mátrixhoz társított rendszert ennek a magnak definiálja . Nekünk marad a kapcsolat létrehozása e és a fenti kokernel között. ${\ displaystyle \ mathrm {R} \ bal (\ részleges \ jobb)}$

Az elemeket azonosíthatjuk az in homomorfizmusaival . Ezután a beállított homomorphisms az is azonosítható a homomorphisms az itt , amelyek megsemmisítik a (lásd a cikk injektív Module ). Következésképpen, átadjuk a cokernel a fenti kernel által ábrázolható kontravariáns funktorhoz . ${\ mathbf {W}} ^ {{k}}$ ${\ mathbf {D}} ^ {{1 \ szer k}}$ ${\ mathbf {W}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {M} = \ mathbf {D} ^ {1 \ szor q} / \ mathrm {N}}$ ${\ mathbf {D}} ^ {{1 \ szer k}}$ ${\ mathbf {W}}$ ${\ mathrm {N}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {M}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {B}} _ {\ mathbf {W}} \ left (\ bullet \ right) = \ operátornév {Hom} _ {\ mathbf {D}} \ left (\ bullet, \ mathbf {W } \ jobb)}$

Ez funktorhoz adalékanyag és pontos a bal a kategóriában a -modules a bal, hogy a , vektor terek. Ez a functor injekciós (és ezért lehetővé teszi a kernelből a kokernelbe való visszalépést, vagy az egyenletek megoldási nyelvének visszaélésével), és csak akkor, ha „ kapcsolt energiatermelő ” (a homológiai algebrában klasszikus fogalom) . Akkor és csak akkor baloldali és kettős a bal oldali -modulok kategóriája és a képkategória között , és csak akkor, ha „ injektív kapcsolt generátor ”. Ez a legkedvezőbb helyzet. ${\ mathbf {D}}$ $\ mathbb {C}$ ${\ mathbf {W}}$ ${\ mathbf {D}}$ ${\ mathbf {W}}$

Amikor a következő modulok injektív kogenerátorok: ${\ displaystyle \ mathbf {K} = \ mathbb {C}}$ ${\ mathbf {D}}$

(a) az exponenciális tér-polinom lineáris kombinációi ,

{\ displaystyle \ sum _ {\ zeta \ in \ mathbb {C}} \ mathbb {C} \ bal [t \ jobb] e ^ {t \ zeta}}

b) a korlátlanul differenciálható függvények tere a valós vonalon, (c) az eloszlások tere a valós vonalon.

Amikor az analitikai funkciók magjainak területe a valós vonal alakjának intervallumában injektív kogenerátor. ${\ displaystyle \ mathbf {K = \ mathbb {C}} \ bal (t \ jobb)}$ ${\ mathcal {O}} _ {{\ infty}}$ ${\ displaystyle \ left] \ mathrm {A}, + \ infty \ right [}$

Mikor nem ismerünk olyan injektív kogenerátort, amely az elemzés során felmerülő tér. Más a helyzet, ha ahol az analitikai függvények terét jelöli a valós vonalon. Ebben az esetben a hiperfunkciós tér egy injektív kogenerátor. Ez a példa azt mutatja, hogy egy adott típusú lineáris rendszerhez mind a megfelelő gyűrűt, mind a teret be kell vonni. Ez az algebrai elemzés alapelve. ${\ displaystyle \ mathbf {K = \ mathbb {C}} \ bal [t \ jobb]}$ ${\ displaystyle \ mathbf {K} = \ mathbb {C} \ bal (t \ jobb) \ cap {\ mathcal {O}}}$ ${\ mathcal {O}}$ ${\ mathbf {D}}$ ${\ mathbf {W}}$

A fenti példákban a kernelek („egyenletek”) és a kernek („megoldások”) megközelítése egyenértékű.

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

Egyes problémákat érintő másodrendű nemlineáris rendszerek, célszerű lehet használni „ egyenértékű linearizálást ”, néha „optimális”.
Bourlès 2010
Fliess 1990
Bode 1975
Bellman 1957
Pontryagin és mtsai. 1962
Kalman 1960
Kalman 1963
Wonham 1985
Willems 1986–87
Willems 1991
Oberst 1990
Malgrange 1962-1963
Grothendieck és Dieudonné 1971
Kashiwara 1970
Bourlès és Marinescu 2011
Marinescu és Bourlès 2009
Ez egy olyan tudományág, amelynek célja az elemzési problémák megoldása algebrai struktúrák (véges prezentációs modulok elmélete az operátorok gyűrűjén, például differenciálok) és ezek "dualizációja" (utóbbi a homológiai algebra alapja) felhasználásával.
McConnell és Robson 2001
Fröhler és Oberst 1998

Hivatkozások

(en) Richard Bellman , dinamikus programozás , Princeton University Press ,1957, 360 p. ( ISBN 0-486-42809-5 )
(en) Hendrik Wade Bode , hálózati elemzés és visszacsatoló erősítő tervező , Huntington,1975, 577 p. ( ISBN 0-88275-242-1 )
en) Henri Bourlès , a Linear Systems , John Wiley & Sons ,2010, 544 p. ( ISBN 978-1-84821-162-9 és 1-84821-162-7 )
en) Henri Bourlès és Bogdan Marinescu , lineáris időváltozó rendszerek: algebrai-analitikus megközelítés , Springer,2011, 638 p. ( ISBN 978-3-642-19726-0 és 3-642-19726-4 , olvassa el online )
(en) Michel Fliess , „ Az általánosított lineáris rendszerek néhány alapvető szerkezeti tulajdonsága ” , Systems & Control Letters , vol. 15,1990, P. 391-396
(en) Stefan Fröhler és Ulrich Oberst , „ Folyamatos, időben változó lineáris rendszerek ” , Systems & Control Letters , vol. 35,1998, P. 97-110
Alexander Grothendieck és Jean Dieudonné , az I. algebrai geometria elemei , Berlin / New York, Springer-Verlag ,1971, 467 o. ( ISBN 3-540-05113-9 )
(en) Rudolf E. Kalman , „A kontrollrendszerek általános elméletéről” , Proc. 1. IFAC kongresszus , Moszkva,1960
(en) Rudolf E. Kalman , „ A lineáris dinamikus rendszerek matematikai leírása ” , SIAM J. Control , vol. 1,1963, P. 152-192
(en) Masaki Kashiwara , Parciális differenciálegyenletek analitikus vizsgálata: Master's Thesis , Tokiói Egyetem,1970. december( online olvasás ) (Francia fordítás: Memoirs of the Mathematical Society of France, Series 2, 63, 1-72, 1995.)
Bernard Malgrange , „ Differenciál rendszerek állandó együtthatókkal ”, Bourbaki Szeminárium , 1962-1963 ( online olvasás )
(en) Bogdan Marinescu és Henri Bourlès , „ Belső algebrai beállítás lineáris időváltozó rendszerek pólusaihoz és nulláihoz ” , Systems and Control Letters , vol. 58, n o 4,2009, P. 248-253 ( DOI 10.1016 / j.sysconle.2008.10.013 )
(en) John C. McConnell és James C. Robson , Noncommutative Noetherian Rings , American Mathematical Society,2001, 636 p. ( ISBN 0-8218-2169-5 )
(en) Ulrich Oberst , „ Multidimensional Constant Linear Systems ” , Acta Applicandae Mathematicae , vol. 20,1990, P. 1–175 ( online olvasás )
(en) LS Pontryagin , VG Boltyanskii , RV Gamkrelidze (en) és EF Mishchenko , Az optimális folyamatok matematikai elmélete , Interscience,1962( ISBN 2881240771 )
(en) Jan C. Willems , „Az idősoroktól a lineáris rendszerig ” , Automatica , 1986-87, I. rész: 22, 561–580; II. Rész: 22, 675–694, III. Rész: 23, 87–115
(en) Jan C. Willems , „ Paradigmák és rejtvények a dinamikus rendszerek elméletében ” , IEEE Trans. az Automat-on. Control , vol. 36,1991, P. 258-294
(en) W. Murray Wonham , Lineáris többváltozós vezérlés: geometriai megközelítés , New York / Berlin / Párizs stb., Springer,1985, 334 p. ( ISBN 0-387-96071-6 )

Lásd is