Ehrenfest tétel

Az Ehrenfest-tétel , amelyet Paul Ehrenfest fizikusról neveztek el, összekapcsolja az operátor- kvantum átlagos értékének az időszármazékát, hogy átváltson az operátorra a Hamilton- rendszerrel. Ez a tétel különösen a levelezés elvét ellenőrző összes rendszert érinti . H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}

Tétel

Ehrenfest tétele kimondja, hogy az operátor átlagértékének az időszármazékát (ahol az operátor, amely az érintett megfigyelhető időderiváltját adja vissza) az alábbiak adják meg: NÁL NÉL^{\ displaystyle {\ hat {A}}}

d⟨NÁL NÉL^⟩dt=⟨∂NÁL NÉL^∂t⟩+1énℏ⟨[NÁL NÉL^,H^]⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ langle {\ hat {A}} \ rangle} {\ mathrm {d} t}} = \ langle {\ frac {\ részleges {\ hat {A}}} {\ részleges t}} \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {H}}] \ right \ rangle}

hol van bármelyik kvantoperátor és annak átlagértéke. NÁL NÉL^{\ displaystyle {\ hat {A}}}⟨NÁL NÉL^⟩{\ displaystyle \ langle {\ hat {A}} \ rangle}

Az operátor, és nem a hullámfüggvény időbeli függése jellemző Heisenberg kvantummechanikai ábrázolására . Analóg összefüggést találunk a klasszikus mechanikában: a fázistérben definiált függvény időbeli deriváltja , amely kommutátor helyett Poisson zárójeleket foglal magában : f(q,o,t){\ displaystyle f (q, p, t)}

dfdt=∂f∂t+{f,H}{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ részleges f} {\ részleges t}} + \ bal \ {f, H \ jobb \} }

(a bizonyítás közvetlenül Hamilton kánoni egyenleteiből következik )

Általánosságban elmondható, hogy a klasszikus analógokkal rendelkező kvantumrendszerek esetében ez a kommutátorok és Poisson zárójelek közötti inverzió empirikus törvényként elfogadható. (lásd a levelezés elvét ).

A tétel igazolása

Legyen A fizikai mennyiség, amelyet az autoadjoint operátor képvisel . Átlagos értékét a következőképpen határozzuk meg: NÁL NÉL^{\ displaystyle {\ hat {A}}}

⟨NÁL NÉL^⟩=⟨ψ(t)|NÁL NÉL^|ψ(t)⟩{\ displaystyle \ langle {\ hat {A}} \ rangle = \ left \ langle \ psi (t) \ right | {\ hat {A}} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle}

Ezt az egyenlőséget vezetjük le az idő tekintetében:

d⟨NÁL NÉL^⟩dt=d⟨ψ(t)|dt|NÁL NÉL^|ψ(t)⟩+⟨ψ(t)|∂NÁL NÉL^∂t|ψ(t)⟩+⟨ψ(t)|NÁL NÉL^|d|ψ(t)⟩dt{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ langle {\ hat {A}} \ rangle} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ left \ langle \ psi ( t) \ jobb |} {\ mathrm {d} t}} | {\ hat {A}} \ bal | \ psi (t) \ jobb \ rangle + \ bal \ langle \ psi (t) \ jobb | {\ frac {\ részleges {\ hat {A}}} {\ részleges t}} \ bal | \ psi (t) \ jobb \ rangle + \ bal \ langle \ psi (t) \ jobb | {\ kalap {A}} | {\ frac {\ mathrm {d} \ bal | \ psi (t) \ jobb \ rangle} {\ mathrm {d} t}}}

A Schrödinger-egyenletet és annak konjugátumát használjuk:

+énℏd|ψ(t)⟩dt=H^|ψ(t)⟩{\ displaystyle + i \ hbar {\ frac {\ mathrm {d} \ bal | \ psi (t) \ jobb \ rangle} {\ mathrm {d} t}} = {\ hat {H}} \ bal | \ psi (t) \ jobb \ rangle}

és

-énℏd⟨ψ(t)|dt=⟨ψ(t)|H^{\ displaystyle -i \ hbar {\ frac {\ mathrm {d} \ left \ langle \ psi (t) \ right |} {\ mathrm {d} t}} = \ left \ langle \ psi (t) \ right | {\ hat {H}}}

Az előző egyenlet cseréjével megkapjuk:

d⟨NÁL NÉL^⟩dt=⟨∂NÁL NÉL^∂t⟩+1énℏ⟨ψ(t)|NÁL NÉL^H^|ψ(t)⟩-1énℏ⟨ψ(t)|H^NÁL NÉL^|ψ(t)⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ langle {\ hat {A}} \ rangle} {\ mathrm {d} t}} = \ langle {\ frac {\ részleges {\ hat {A}}} {\ részleges t}} \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle \ psi (t) \ right | {\ hat {A}} {\ hat {H}} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle - {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle \ psi (t) \ right | {\ hat {H}} {\ hat {A}} \ bal | \ psi (t) \ jobb \ rangle}

Azzal végre megkapjuk [NÁL NÉL^,H^]=NÁL NÉL^H^-H^NÁL NÉL^{\ displaystyle [{\ hat {A}}, {\ hat {H}}] = {\ hat {A}} {\ hat {H}} - {\ hat {H}} {\ hat {A}} }

d⟨NÁL NÉL^⟩dt=⟨∂NÁL NÉL^∂t⟩+1énℏ⟨[NÁL NÉL^,H^]⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ langle {\ hat {A}} \ rangle} {\ mathrm {d} t}} = \ langle {\ frac {\ részleges {\ hat {A}}} {\ részleges t}} \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {H}}] \ right \ rangle}  

Ehrenfest kapcsolatok

A klasszikus analógokkal rendelkező kvantumrendszerek esetében Ehrenfest tétel és a momentum operátorokra alkalmazott tétele a következőket adja:

ddt⟨x^⟩=1m⟨o^⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {x}} \ rangle = {\ frac {1} {m}} \ langle {\ hat { p}} \ rangle} ddt⟨o^⟩=⟨F⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {p}} \ rangle = \ langle F \ rangle}

Itt ismerjük fel Hamilton átlagos mennyiségekre alkalmazott kanonikus egyenleteit . Elég megkülönböztetni az elsőt az idő szempontjából, hogy megtaláljuk Newton második törvényét .

E kapcsolatok bemutatása

Egy tetszőleges potenciálmezőben lévő részecske esetében a figyelembe vett Hamilton-függvény a következő formát ölti:

H^(x,o,t)=o^22m+V^(x,t){\ displaystyle {\ hat {H}} (x, p, t) = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}} + {\ kalap {V}} (x, t )}

Impulzus operátor

Feltételezzük, hogy meg akarjuk ismerni az átlagos lendület változását . Ehrenfest tételével megvan ⟨o^⟩{\ displaystyle \ langle {\ hat {p}} \ rangle}

ddt⟨o^⟩=⟨∂o^∂t⟩+1énℏ⟨[o^,H^]⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {p}} \ rangle = \ langle {\ frac {\ részleges {\ hat {p}}} {\ részleges t}} \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [{\ hat {p}}, {\ hat {H}}] \ rangle}

„Helyzet” ábrázolásba helyezzük magunkat: az impulzus-operátort ezután felírják . Mivel az operátor triviálisan ingázik önmagával, és mivel az impulzus nem az idő kifejezett funkciója, az Ehrenfest reláció a következőkre redukálódik: o^=-énℏ∇{\ displaystyle {\ hat {p}} = - i \ hbar \ nabla}

ddt⟨o^⟩=1énℏ⟨[o^,V^(x,t)]⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {p}} \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [{ \ hat {p}}, {\ hat {V}} (x, t)] \ rangle}

van

ddt⟨o^⟩=⟨-∇V^(x,t)⟩=⟨F⟩,{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {p}} \ rangle = \ langle - \ nabla {\ hat {V}} (x, t ) \ rangle = \ langle F \ rangle,}

(alkalmazhatunk egy tesztfunkcióra , hogy meggyőződjünk róla) 1énℏ⟨[o^,V^]⟩{\ displaystyle {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [{\ hat {p}}, {\ hat {V}}] \ rangle}|ψ⟩{\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle}

Kezelői pozíció

Ugyanezt a számítást hajtják végre a pozíció operátor esetében , még mindig „pozíció” ábrázolásban. Mivel a potenciál csak a pozíciótól és az időtől függ, változik a pozíció operátorral, és az Ehrenfest reláció a következőkre csökken: x^{\ displaystyle {\ hat {x}}}

ddt⟨x^⟩=⟨∂x^∂t⟩+1énℏ⟨[x^,H^]⟩=1énℏ⟨[x^,o^22m]⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {x}} \ rangle = \ langle {\ frac {\ részleges {\ hat {x}}} {\ részleges t}} \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [{\ hat {x}}, {\ hat {H}}] \ rangle = {\ frac {1} { i \ hbar}} \ langle [{\ hat {x}}, {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}}] \ rangle}

A kapcsolási kapcsolat használatával

[x^,o^2]=o^[x^,o^]+[x^,o^]o^=2énℏo^{\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}} ^ {2}] = {\ hat {p}} [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] + [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] {\ hat {p}} = 2i \ hbar {\ hat {p}}}

azt kapjuk :

ddt⟨x^⟩=1m⟨o^⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {x}} \ rangle = {\ frac {1} {m}} \ langle {\ hat { p}} \ rangle}  

Lásd is

• Liouville tétele
• Heisenberg képviselete

Bibliográfia

• C. Cohen-Tannoudji , B. Diu és F. Laloë , kvantummechanika [ a kiadás részlete ]

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">