Sophie Germain tétele

A szám elmélet , Sophie Germain bizonyította következő tétel , közben ő kutatása Fermat-tétel .

Legyen p olyan prímszám , amelynél létezik legalább egy „kiegészítő” szám, azaz egy másik prímszám, amely megfelel a következő két feltételnek:

két egymást követő és nem nulla modulo θ osztály nem lehet egyszerre hatvány p- ed;
Maga a p (modulo θ) nem p- edik teljesítmény .

Ezután, ha három x , y , z egész szám kielégíti az x p + y p = z p értéket , akkor a három közül legalább az egyik osztható p 2-vel .

Megjegyzések

A fortiori, a három közül legalább az egyik osztható p-vel (ezt Fermat utolsó tételének „első esetének” nevezzük). Leggyakrabban ebben a csökkent és néha rosszabb formában hangzik el Sophie Germain tétele.
A p "segédje" valamilyen N egész szám esetén szükségszerűen 2 Np + 1 formájú .
Ha p egy Sophie Germain prímszám , hogy létezik olyan kisegítő θ biztosítva van: elegendő, hogy θ = 2 p + 1 De Sophie Germain-tétel vonatkozik a más esetekben (például: p = 3, θ = 13). Ilyen θ volt minden p <100 esetén, és még ezekre a p-re is kiszámította az összes N ≤ 10 egész számot , amelyeknél 2 Np + 1 kisegítő.
Sophie Germain ezt a tételt egy másik, kevésbé ismert tételének következményeként demonstrálta: ugyanazon feltételezések mellett a három x , y , z egész szám közül legalább az egyik osztható θ-vel. Ez az eredmény sokkal döntő jelentőségű volt Fermat utolsó tételének megközelítésében: remélte, hogy képes lesz megmutatni, hogy a p prímszámok végtelenségéig , talán még egy véges szám kivételével is, a ilia segédanyagok száma végtelen. Kimutatta, hogy a 3-nak csak két segédje van: 7 és 13. De "nagy terve" végzetes helyzetbe került: 1829-ben Libri bebizonyította, hogy a 3-as és a 4- esnek csak véges számú segédje van, és ugyanezt mondta bármely nagyobb prímszám esetében, ami Dickson 1909-ben megerősítette.
Az 1. hipotézis ekvivalens a következő 1 'hipotézissel: ha x p + y p ≡ z p mod θ, akkor a három x , y , z egész szám közül legalább az egyik osztható θ-vel.

Demonstráció

Ha x p + y p ≡ z p mod θ a x , y és z nem osztható θ majd, jelölő egy olyan inverz mod θ az x p , az osztályok MOD θ a ( ay ) p és ( AZ ) p nem nulla és egymást követő. Ezzel szemben, ha a két p -edik hatáskörét y p és Z p nem nulla, és egymást követő osztályok mod θ majd 1 + y p ≡ z p mod θ és egyik sem a három egész szám 1, y , z osztható θ.

Demonstráció

Tegyük fel, hogy x p + y p = z p . Jelölje a = x / d , b = y / d és c = –z / d, ahol d az x , y és z GCD- je . Ezután, egy p + b p + c p = 0, és egy , b , c jelentése elsődleges közöttük kettesével. Az egész számok

A: = \ sum _ {{k = 0}} ^ {{p-1}} b ^ {{p-1-k}} (- c) ^ {k}, \ quad B: = \ sum _ { {k = 0}} ^ {{p-1}} c ^ {{p-1-k}} (- a) ^ {k}, \ quad C: = \ sum _ {{k = 0}} ^ {{p-1}} a ^ {{p-1-k}} (- b) ^ {k}

ellenőrizze a nevezetes személyazonosságokat :

(-a) ^ {p} = (b + c) A \ quad (-b) ^ {p} = (c + a) B, \ quad (-c) ^ {p} = (a + b) C .

p az egyetlen lehetséges elsődleges tényező, amely közös b + c és A között (és ugyanaz a c + a és B, valamint a + b és C esetében ):Ha q prímszám osztja el b + c és A értékeket , akkor mod q , b ≢ 0 (mivel b és c prím köztük), míg 0 ≡ A ≡ pb p –1 , tehát q = p .
a , b vagy c osztható p-vel :Abszurd módon feltételezzük, hogy egyik sem az. A fentiekből következően vannak olyan α, α ', β, β', γ és γ 'egész számok, amelyek

${\ displaystyle b + c = \ alpha ^ {p},}$	${\ displaystyle A = \ alpha '^ {p},}$	${\ displaystyle -a = \ alpha \ alpha ',}$
${\ displaystyle c + a = \ beta ^ {p},}$	${\ displaystyle B = \ beta '^ {p},}$	${\ displaystyle -b = \ beta \ beta ',}$
${\ displaystyle a + b = \ gamma ^ {p},}$	${\ displaystyle C = \ gamma '^ {p},}$	${\ displaystyle -c = \ gamma \ gamma '.}$

Az 1 'hipotézisből (egyenértékű 1-vel) feltételezhetjük például, hogy c osztható θ-vel. Ezután θ nem osztja sem az α, sem a β-t (az a és b megfelelő osztói ezért prímálnak c-vel ), de 2 c = α p + β p - γ p-t osztanak, ezért ismét az 1 'hipotézis szerint osztja γ-t. Tehát mod θ, a + b = γ p ≡ 0 és γ ' p = C ≡ pa p –1 ≡ p β p ( p –1) úgy, hogy p egy p- edik hatvány , ami ellentmond a 2. hipotézisnek.

az a , b vagy c még osztható p 2-vel :Tegyük fel például, hogy c osztható p-vel . A integer w : = a + b ezután osztható p (mert kongruens - c p mod p szerint a kis Fermat-tétel ) ezért $C = {\ frac {a ^ {p} + b ^ {p}} {a + b}} = {\ frac {a ^ {p} + (wa) ^ {p}} w} = \ sum _ { {k = 0}} ^ {{p-1}} {p \ select k} w ^ {{p-1-k}} (- a) ^ {k},$ az összeg összes feltétele osztható p 2- vel, az utolsó kivételével, amely csak p- vel osztható . Mivel ( a + b ) C p- edik hatvány , arra következtetünk, hogy a + b osztható p p –1-gyel . Már nincs a fenti egyenleteket kielégítő γ, γ ', de mégis vannak α, α', β, β '. Mivel p 2 osztja a + b = α p + β p - 2 c-t , elegendő bizonyítani, hogy valóban osztja a c-t , annak igazolása, hogy az α p + β p osztható p 2-vel . Mint már tudjuk, hogy osztható p-vel , azaz (ismét Fermat kis tételének megfelelően), hogy a v : = α + β egész szám $\ alpha ^ {p} + \ beta ^ {p} = \ alpha ^ {p} + (v- \ alpha) ^ {p} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {{p-1}} {p \ select k} v ^ {{pk}} (- \ alpha) ^ {k},$ az összeg összes feltétele osztható p 2-vel , amely így következik.

Megjegyzések és hivatkozások

források általában megadják a p páratlant (valószínűleg azért, mert Sophie Germain "nagy terve" Fermat utolsó tételének bizonyítása ), de a tétel igaz p = 2-re is, és Sophie Germain korlátozás nélkül állítja.
(in) Reinhard Laubenbacher és David Pengelley, " " Ezt találtam: "Sophie Germain nagy terve Fermat utolsó tételének bizonyítására " , Historia Mathematica , Vol. 37, n o 4,2010, P. 641-692 ( DOI 10.1016 / j.hm.2009.12.002 , arXiv 0801.1809 ).
Még (benne) Harold M. Edwards , Fermat utolsó tétele: Az algebrai számelmélet genetikai bevezetése , Springer , al. " GTM " ( n ° 50)2000, 3 e . , 407 p. ( ISBN 978-0-387-95002-0 , online olvasás ) , p. 64.vagy (en) Paulo Ribenboim , Fermat utolsó tétele amatőröknek , Springer,1999( online olvasható ) , p. 110.
Lásd: Laubenbacher és Pengelley, 2010 , o. Az arxiv link 12. és p. A megjelent cikk 647. cikke és (in) John J. Watkins, Számelmélet: Történelmi megközelítés , PUP ,2013( online olvasható ) , p. 313-316.
(in) A Dickson, " kongruencia az $x n + y n + z n \equiv 0 (mod p )$ " , J. Queen angew. Math. , vol. 135,1909, P. 134-141 ( online olvasás ).
Edwards 2000 , p. 65, 2. gyakorlat .
(in) Larry Riddle, " Proof " szóló Agnes Scott College ,2013.