Méréselmélet

Ez a cikk egy tervezetet az elemzés .

Megoszthatja ismereteit fejlesztésével ( hogyan? ) A megfelelő projektek ajánlásai szerint .

Az intézkedéselmélet a matematika azon ága , amely a mért terekkel foglalkozik, és a valószínűségelmélet axiomatikus alapja .

Sztori

A 1894 , Émile Borel kimondott az első meghatározása elhanyagolható együttest . Az 1897 -ben meghatározta a mérhető halmazok . A 1901 , Henri-Léon Lebesgue vezette be a fogalmat mérés . A kidolgozott elmélet, amíg az 1950-es. Andreï Kolmogorov javasolta axiomatizálása a számítás valószínűségek alapján különösen az integrál definiált egy intézkedés.

Lebesgue-t és utódjait arra vezették, hogy általánosítsák az integrál fogalmát addig a pontig, hogy egyesek absztrakt integrálnak nevezzék. A görbe alatti területet kis téglalapok összegével számolják, amelyek magassága a függvény átlagos értékét jelenti egy intervallum alatt, és az alapja az intervallum mértéke. Valódi vonalon az intervallum Lebesgue-mértéke az origótól való távolságok különbsége. De a mérték egy függvény, és ez arra késztette a korabeli matematikusokat, hogy az integrált már nem egy adott, Lebesgue-mérték, hanem bármilyen mérték szerint általánosítsák. Mintha egy intervallumot mérnénk, a mérőszalag helyett inkább abacust (diszkrét méréseket) vagy bármilyen más eszközt használtunk.

Intézkedés egy intézkedés szerint

Értékelés

Legyen egy mért tér . Ha egy mérhető függvény , akkor a integrál értéke a következő : (Ω,E,μ){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {E}}, \ mu)}f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}μ{\ displaystyle \ mu}

∫Ωf(x)dμ(x){\ displaystyle \ displaystyle \ int _ {\ Omega} f (x) \, {\ textrm {d}} \ mu (x)} Ahol ∫Ωfdμ{\ displaystyle \ displaystyle \ int _ {\ Omega} f \, {\ textrm {d}} \ mu}

Sűrűségmérés

Amikor a mérték egy függvény integrálját képviseli, sűrűségmérőről beszélünk:

∀NAK NEK∈Ev(NAK NEK)=∫NAK NEKgdμ{\ displaystyle \ displaystyle \ forall A \ in {\ mathcal {E}} \ quad \ nu (A) = \ int _ {A} g \, {\ textrm {d}} \ mu}

Mikor van pozitív mérték és pozitív mérhető függvény (azaz pozitív mérték), minden pozitív mérhető függvényre a monoton konvergencia tétel alapján van  : μ{\ displaystyle \ mu}g{\ displaystyle g}v{\ displaystyle \ nu}f{\ displaystyle f}

∀NAK NEK∈E∫NAK NEKfdv=∫NAK NEKfgdμ{\ displaystyle \ displaystyle \ forall A \ in {\ mathcal {E}} \ quad \ int _ {A} f {\ textrm {d}} \ nu = \ int _ {A} fg \, {\ textrm {d }} \ mu}

Ez az eredmény azokra a funkciókra is kiterjed, amelyek az utóbbi meghatározása alapján integrálhatók. v{\ displaystyle \ nu}

Ennek folyománya a Radon-Nikodym-Lebesgue tétel adja, hogy ha és két pozitív -finite intézkedéseket oly módon, hogy az abszolút folytonos képest , akkor olyan intézkedés, amelynek sűrűsége tekintetében . μ{\ displaystyle \ mu}v{\ displaystyle \ nu}σ{\ displaystyle \ sigma}v{\ displaystyle \ nu}μ{\ displaystyle \ mu}v{\ displaystyle \ nu}μ{\ displaystyle \ mu}

Lásd is

• Ruziewicz-probléma

[PDF] L3 mérési és integrációs tanfolyam a Joseph Fourier Egyetemen (Grenoble)

Bibliográfia

• Thierry Gallouët, Raphaèle Herbin: Mérés, integráció, valószínűségek , Ellipszisek, 2013.
• Th. Hawkins, The Lebesgue's Theory of Integration , Madison, 1970.
• A. Michel, Az integráció modern elméletének alkotmánya , Párizs, 1992.
• Jean-Pascal Ansel, Yves Ducel, Javított gyakorlatok a mérés és integráció elméletében , Ellipses 1995, ( ISBN  2-7298-9550-7 ) .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">