Sugárelmélet

Az elmélet a gerendák egy modellt használják a területén az anyagok ellenállóképessége . Két modellt használunk:

az Euler-Bernoulli elmélet , amely elhanyagolja a nyírás hatását ;
a nyírás hatását figyelembe vevő Timosenko-elmélet .

A „gerenda” kifejezés olyan tárgyat jelöl, amelynek hossza nagy a keresztirányú méretekhez képest (vékony szakasz). Szigorúan véve a gerenda olyan szerkezeti elem, amelyet épületek , hajók és egyéb járművek építéséhez , valamint gépek gyártásához használnak. A sugármodell azonban sokféle alkatrészhez használható, amennyiben megfelelnek bizonyos feltételeknek.

Történelmi

A sugárelmélet szerzőségét a Galileo-nak tulajdonítják , de a legújabb tanulmányok szerint Leonardo da Vinci megelőzte volna őt. Ez utóbbi feltételezte, hogy a deformáció lineárisan változik a semleges felülettől, az arányossági együttható a görbület, de nem tudta befejezni a számításait, mert nem képzelte el Hooke törvényét . A maga részéről Galileo téves feltételezésből indult ki (azt gondolta, hogy a feszültség a hajlításban egyenletesen oszlik el), és Antoine Parent volt az, aki a helyes eloszlást kapta.

Ez volt Leonhard Euler és Jacques Bernoulli , aki kiadta az első hasznos elmélet 1750 körül, míg Daniel Bernoulli , unokaöccse az előző, írta a differenciálegyenletet vibrációs elemzést. Abban az időben a gépgyártást nem tekintették tudománynak, és a matematikai akadémia munkájának sem tekinthető gyakorlati alkalmazása, empirikusan pedig hidak és épületek épültek tovább. Csak a XIX . Században , az Eiffel-toronnyal és a nagy kerekekkel bizonyították a skálaelmélet érvényességét.

Modellezési elvek

Lépések

A gerendák tanulmányozásához kapcsolatba kell hozni:

a kohézió és a külső erőfeszítések erőfeszítései, a vágás elvének köszönhetően;
erőfeszítéseit kohézió a tenzor a megszorítások , köszönhetően az egyenértékűség elvét;
a feszültségtenzor és a feszültségtenzor, Hooke általánosított törvényének köszönhetően ;
és a végleges formáját a gerenda, azaz a területén az elmozdulások, a tenzor területén a törzsek .

A sugármodell lehetővé teszi a kohéziós erők átadását a feszültségtenzorhoz; lehetővé teszi az egyenértékűség elvének alkalmazását.

Gerenda modell

„Sugárnak” nevezzük a véges felületek által létrehozott szilárd anyagot, az úgynevezett „egyenes szakaszokat”, például:

az egyenes szakaszok súlypontjainak összessége folytonos és differenciálható görbe, az úgynevezett „átlagos görbe”; görbületi sugara hosszúságához képest nagy;
az egyenes szakaszok merőlegesek az átlagos görbére; "folyamatosan és lassan változnak";
az egyenes szakaszok területének négyzetgyöke kicsi az átlagos görbe hosszához képest;
az anyag homogén és izotrop .

Ha a görbületi sugár kicsi, vagy a szakasz hirtelen megváltozik, figyelembe kell venni a feszültségkoncentrációkat .

A legegyszerűbb esetekben, különösen a gerendák esetében a „szerkezeti elem” (vas, cső stb. ) Értelmében az átlagos görbe egyenes és az egyenes szakaszok azonosak.

De más típusú alkatrészeket is modellezhetünk. Például egy tengely , egy tengely , egy kar , egy cső, egy tartály vagy akár egy hajó hajóteste modellezhető egy gerendával; egy tekercsrugó ( tekercsrugó ) gerendának tekinthető, amelynek átlagos görbéje spirális , és egyenes szakaszai azonos sugarú tárcsák .

"Szálnak" nevezzük azt a térfogatot, amelyet a keresztmetszet d²S kis része generál, az átlagos görbével párhuzamos görbét követve. Magát az átlagos görbe által létrehozott szálat „semleges szálnak” nevezzük.

Az egyszerűség kedvéért, hacsak másként nem jelezzük, olyan gerendákat rajzolunk, amelyek átlagos görbéje egyenes vonal a deformáció előtt.

Végül a modellezési lépés a következőkből áll:

egyrészt vegyük figyelembe a semleges szálat, amelyet L hosszával (és ha a nyaláb nem egyenes, akkor y ( x ) függvénnyel ) jellemezünk;
másrészt vegye figyelembe az egyenes szakaszokat, amelyekre jellemző az S terület (a vontatás-tömörítéshez) és a másodfokú nyomatékaik: I G (torzióhoz), I G y és I G z (hajlításhoz).

Számítási feltételezések

A gerendák elmélete az izotrop rugalmasság elméletének alkalmazása . Az anyagok ellenállási számításainak elvégzéséhez a következő feltételezéseket vesszük figyelembe:

Bernoulli hipotézise: a deformáció során az egyenes szakaszok merőlegesek maradnak az átlagos görbére;
az egyenes szakaszok laposak maradnak Navier-Bernoulli szerint (nincs vetemedés ).

Bernoulli hipotézise lehetővé teszi a nyírás elhanyagolását hajlítás esetén: a repedés veszélye ekkor a hajlításon kívül elhelyezkedő szálak meghosszabbodásából, a lehajlás pedig a hajlító nyomatékból adódik. Ez a feltételezés nem érvényes a rövid fénysugarakra, mert az utóbbiak kívül esnek a nyaláb modell érvényességi határán, nevezetesen, hogy a szakaszok méretének kicsinek kell lennie az átlagos görbe hosszához képest. A nyírást Timosenko és Mindlin modelljénél figyelembe veszik .

Ellenállás és alakváltozás számítások

A cél az egyes pontok meghatározása:

a feszültségtenzort annak ellenőrzésére, hogy nincs-e repedés (végső határállapot, ULS);
a végső alakváltozás annak ellenőrzése érdekében, hogy a gerenda méretei kompatibilisek legyenek-e a használatával (üzem közbeni határállapot, SLS).

Kohéziós erőfeszítések

Ehhez meg kell határozni a kohéziós erőket vagy belső erőket az átlagos görbe minden pontján, egy „ torziós torzornak ” vagy „belső erőtorzítónak ” nevezett cselekvési torzor formájában . Ha a vágás egyenes szakasz mentén történik ( vágási elv ), a kohéziós erők azok az erők, amelyeket az egyik szakasz a másikra gyakorol. Ezért két konvenciónk van:

a baloldali erők egyezménye: figyelembe vesszük azokat az erőket, amelyeket a bal szakasz a jobb szakaszon (a szemközti ábrán jobb oldalon) fejt ki;
a jobboldali erőfeszítések egyezménye: figyelembe vesszük azokat az erőket, amelyeket a jobb oldali szakasz fejt ki a bal oldali szakaszon (a szemközti ábra bal oldalán).

Ha valaki úgy választja meg a koordináta-rendszert, hogy x érintse az átlagos görbét a határérték szintjén, akkor a kohéziós torzort úgy kapjuk meg, hogy a statika alapelvét a figyelembe vett szakaszra írjuk, és általános módon írjuk:

{\ displaystyle \ {{\ mathcal {T}} _ {\ mathrm {coh}} \} = {\ begin {mátrix} \\\\\\\ end {mátrix}} _ {G} {\ begin {Bmatrix } \ mathrm {N} & \ mathrm {M_ {t}} \\\ mathrm {T} _ {y} és \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} y} \\\ mathrm {T} _ { z} & \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z} \\\ end {Bmatrix}} _ {Gxyz}}

vagy

{\ displaystyle \ {{\ mathcal {T}} _ {\ mathrm {coh}} \} = {\ begin {matrix} \\\\\\ end {matrix}} _ {G} {\ begin {Bmatrix} \ mathrm {N} és \ mathrm {M_ {t}} \\\ mathrm {V} _ {y} és \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} y} \\\ mathrm {V} _ {z } & \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z} \\\ end {Bmatrix}} _ {Gxyz}}

N, normál erő: az átlagos görbét érintő erő irányítása;
T vagy V, nyíróerő: az átlagos görbére merőleges és nyírást okozó erő :
- T y vagy V y : nyíróerő y mentén ,
- T z vagy V z : nyíróerő z mentén ;
M f , hajlítónyomaték: olyan pillanat, amelynek vektora merőleges az átlagos görbére és hajlítást okoz:
- M f y : hajlító pillanat y mentén ,
- M f z : hajlító nyomaték z mentén ;
M t , torziós momentum: vektorának iránya x .

Két dimenzióban az egyszerűsítés abból áll, hogy a vágás elvének megfelelően csak nyíróerőt, húzóerőt és hajlítónyomatot adnak át szakaszról szakaszra . Általánosságban elmondható, hogy az ember a síkba helyezi (G xy ), így a kohézió torzora válik.

{\ displaystyle \ {{\ mathcal {T}} _ {\ mathrm {coh}} \} = {\ begin {mátrix} \\\\\\\ end {mátrix}} _ {G} {\ begin {Bmatrix } \ mathrm {N} & 0 \\\ mathrm {T} _ {y} & 0 \\ 0 & \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z} \\\ end {Bmatrix}} _ {Gxyz }}

A belső erők diagramjai

Egyszerűen ábrázolhatjuk a nyaláb feszültségét azáltal, hogy ábrázoljuk a szakaszokról átvitt erők diagramját a nyaláb mentén elhelyezkedő helyzetnek megfelelően, vagyis N ( x ), Ty ( x ), T z ( x ), M t ( x ), M f y ( x ) és / vagy M f z ( x ). Ezt a diagramot néha helytelenül hívják stressz diagramnak.

Ezeket függvényként ábrázoljuk a tengely mentén vonalak rajzolásával. $x$

Korlátok

A kohéziós erők makroszkopikus mennyiségek, amelyeket a szakasz egészében definiálunk. A probléma linearitása miatt (az ember kis törzsekben marad) az egyes komponenseket egymástól függetlenül is figyelembe veheti, vagyis figyelembe veheti, hogy a nyaláb minden egyes alkalommal csak egyetlen egyszerű kérésnek van kitéve.

Az egyenértékűség elve kapcsolatot hoz létre az egyes kohéziós erőfeszítések és a szakasz minden pontján helyben generált korlátok között. Összetett feszültségek esetén összesítjük az összes egyszerű feszültség feszültségeit (a szuperpozíció elve).

A Saint-Venant elve szerint az erők helyesen vannak ábrázolva, ha az ember eltávolodik az alkalmazási ponttól. Tehát, ha lokálisan ez a modellezés nem ad jó eredményeket, akkor szinte helyesnek tekinthetjük őket , amint az alkalmazási ponttól való távolság meghaladja a szakasz átmérőjének többszörösét. Ez az elv csak a masszív gerendákra érvényes, a legtöbb esetben hamis. Ebben az értelemben a „hatalmas nyalábot” akkor kell érteni, amikor a sugár fogalmát itt említjük.

Ezt követően az S mennyiség a keresztmetszet területét jelöli.

Egyszerű tapadás

A normál N erő megfelel az egyszerű tapadásnak , tehát megvan az egyenletes feszültség

\ sigma _ {{xx}} = {\ frac {{\ mathrm {N}}} {{\ mathrm {S}}}}

. Nyírás

A T y és T z nyíróerők nyírást okoznak, de két esetet kell megkülönböztetni: az egyszerű nyírást és az egyszerű hajlítást. Mindkét esetben a külső erőket a keresztmetszettel párhuzamosan, vagyis az átlagos görbére merőlegesen alkalmazzák.

Egyszerű nyírás esetén az erőket ugyanazon x abszcisszára fejtik ki . Az erők alkalmazási pontjainak jobb oldalán kívül a korlátozások egységesek (Barré de Saint-Venant elve):

${\ displaystyle \ tau _ {yx} = {\ frac {\ mathrm {T} _ {y}} {\ mathrm {S}}}}$ , és
${\ displaystyle \ tau _ {zx} = {\ frac {\ mathrm {T} _ {z}} {\ mathrm {S}}}}$ .

Ha az anyagnak egy kis köbös elemét izoláljuk, akkor azt látjuk, hogy az egyenes szakaszokon átesett hasadásnak el kell forgatnia. Ezért a (G y ) tengelyre merőleges felületeken is hasadáson megy keresztül . Ezért a szomszédos szálak között is van nyírás. Ezt egy kártyacsomag hajlításával láthatja: a kártyák egymás fölé csúsznak; a gerenda csomagként tekinthető összeillesztett kártyákkal, a tapadás ereje megakadályozza a kártyák lecsúszását.

Egyszerű hajlítás esetén az erőket különböző abszcisszákra alkalmazzák. Ez a stressz csak csekély kockázatot jelent a szakadásra, ezért általában elhanyagolható (Bernoulli-modell). Ebben az esetben a feszültségek eloszlása már nem egyenletes (a Saint-Venant-elv már nem érvényes): a szabad felületen lévő feszültség szükségszerűen a felület síkjában van, ezért a külső felületek hasadása nulla. Ezért van egy hasadásunk, amely növekszik, ha megközelítjük a semleges rostot. A maximális stressz akkor megéri:

téglalap alakú teljes szakasz gerenda ; ${\ displaystyle \ tau _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {3} {2}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {T}} {\ mathrm {S}}}}$
kör alakú teljes fénysugár ; ${\ displaystyle \ tau _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {T}} {\ mathrm {S}}}}$
vékony, körkörös cső: ; ${\ displaystyle \ tau _ {\ mathrm {max}} \ simeq 2 \ cdot {\ frac {\ mathrm {T}} {\ mathrm {S}}}}$

ahol S az egyenes szakasz területe. Látható, hogy ezekben a példákban a feszültség 1,5–2-szer nagyobb, mint az egyszerű nyírás esetén.

Tiszta hajlítás

Az M f y és M f z hajlítónyomatékok megfelelnek a hajlításnak. Bernoulli hipotézise miatt (az egyenes szakaszok merőlegesek maradnak az átlagos görbére):

a semleges rost nulla megnyúlással rendelkezik;
a hajláson kívüli szálak kifeszülnek;
a kanyarban belüli rostok összenyomódnak.

A stressz lineárisan változik:

{\ displaystyle \ sigma _ {xx} = - {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ cdot y }

ahol G Z jelentése a kvadratikus pillanata a tengely (G z ) számított alakja szerint a keresztmetszet.

A törés veszélye a gerenda meghosszabbított oldalán van. Ha valaki V-t az ezen az oldalon elhelyezkedő pont koordinátájának nevezi, akkor a korlát megéri:

{\ displaystyle \ sigma _ {xx \ \ mathrm {max}} = - {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z }}} \ cdot \ mathrm {V} = - {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ frac {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}} {\ mathrm {V}}}}}

Az I G z / V mennyiséget „hajlítási modulusnak” nevezzük.

Ha a gerenda szimmetrikus és h magasságú , akkor megvan

V = ± h / 2.jegyzet Mivel a kényszer abszolút értéke érdekel minket, gyakran megtaláljuk a kifejezéseket

{\ displaystyle \ sigma _ {xx} = {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ cdot y}

és

{\ displaystyle \ sigma _ {xx \ mathrm {max}} = {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ frac {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G } z}} {\ mathrm {V}}}}}

. Csavarás

Hengeres gerenda (tipikusan egy tengely) és kis deformációk esetét vesszük figyelembe. A torzió olyan τ nyírófeszültséget okoz, amely arányos az r tengellyel mért távolságával :

\ tau (r) = {\ frac {{\ mathrm {M_ {t}}}} {{\ mathrm {I_ {G}}}}}} r

vagy:

M t a nyomaték;
I G a torzió másodfokú nyomatéka, a szakasz alakjától (külső átmérő, cső esetén pedig belső átmérő) függően.

Ha M t N mm- ben van kifejezve , akkor I G mm 4-ben és r mm-ben van, akkor τ ( r ) MPa-ban van. A maximális nyírófeszültség az

{\ displaystyle \ tau (v) = {\ frac {\ mathrm {M_ {t}}} {\ mathrm {I_ {G}}}} v = {\ frac {\ mathrm {M_ {t}}} {\ balra ({\ frac {\ mathrm {I_ {G}}} {v}} \ jobbra)}}

ahol v az alkatrész külső sugara. A mennyiséget (I G / v ) torziós modulusnak nevezzük, és a számításokhoz mm 3 -ben fejezzük ki.

A kvadratikus momentumot és a torziós modulust általában cm 4-ben, illetve cm 3 -ben adják meg.

Összetett kérések

A felépített feszültség egyszerű feszültségekre bontásával bármely ponton meghatározható a feszültségek tenzora . Ezután meg kell határozni az összehasonlítási erőfeszítéseket a Tresca vagy von Mises egyik kritériumának megfelelően .

Három szokásos eset van:

vontatás vagy nyomás + hajlítás: a tengellyel párhuzamos, de a tengelytől távolabb kifejtett erő esete, vagy túlnyomásos víztartály esete;
eltérített hajlítás: a tengely mentén nem jelentkező erő;
hajlítás + torzió: olyan tengely esete, amely a fogaskeréken vagy a szíjtárcsán keresztül továbbítja az energiát : az erő merőleges a tengelyre és a tengelytől távol.

Ez utóbbi esetben egyszerű hajlítás esetére redukálhatunk egy ideális nyomaték és egy ideális hajlítónyomaték kiszámításával (Coulomb-képlet, Rankine-képlet, Saint Venant-formula).

Eltorzult

A gerenda esetében kizárólag a semleges szál végső formája érdekel. A görbe u ( x ) egyenletét "deformáltnak" nevezzük. A következőkben azt vesszük figyelembe, hogy a kezdeti semleges szál egy l 0 hosszúságú szakasz .

Vontatás-tömörítésben

A semleges szál egyenes marad, és az l végső hosszúságot Hooke-törvény integrációja adja :

{\ displaystyle l = {\ frac {l_ {0} \ mathrm {N}} {\ mathrm {S} \ mathrm {E}}} + l_ {0}}

, A normál erőfeszítés.

NEM

A z tengely hajlításakor

Intuitív módon a γ görbület egy pontban arányos az M f hajlítónyomatékkal , és fordítottan arányos a nyaláb merevségével. Ez a merevség függ az anyagtól, a Young E modulusától , és a keresztmetszet profiljától, az I G z másodfokú nyomatéktól . Tehát van:

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {\ mathrm {M_ {f}}} {\ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}}}

Ezenkívül kis deformációk esetén feltételezhető, hogy

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^ {2} u} {\ részleges x ^ {2}}} \ simeq \ gamma}

van

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^ {2} u} {\ részleges x ^ {2}}} = {\ frac {\ mathrm {M_ {f}}} {\ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ Longrightarrow \ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} {\ frac {\ részleges ^ {2} u} {\ részleges x ^ { 2}}} = \ mathrm {M_ {f}}}

Ezt a differenciálegyenletet gyakran megjegyzik

{\ displaystyle \ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} y '' = \ mathrm {M_ {f}}}

Ha a nyaláb állandó szakaszú és homogén anyagú, akkor az EI G z kifejezés állandó, és az alakváltozást úgy kapjuk meg, hogy egyszerűen kétszer integráljuk az M f- et x- hez képest , figyelembe véve a határfeltételeket .

Például egy L hosszúságú gerenda esetén két támaszon, középen F erővel:

az első felében (0 ≤ x ≤ L / 2), a hajlítónyomaték érdemes , ezért

{\ displaystyle \ mathrm {M_ {f}} (x) = {\ frac {\ mathrm {F}} {2}} x}

{\ displaystyle \ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} y '(x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ mathrm {F}} {2 }} t \ mathrm {d} t + \ mathrm {A} = {\ frac {\ mathrm {F}} {4}} x ^ {2} + \ mathrm {A}}

. Szimmetria, a gerenda vízszintes annak közepén (korlátozó feltétel), az egyik, vagy

{\ displaystyle y '(\ mathrm {L} / 2) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {F}} {4}} \ bal ({\ frac {\ mathrm {L}} {2}} \ jobbra) ^ {2} + \ mathrm {A} = 0}

és aztán

{\ displaystyle \ mathrm {A} = - {\ frac {\ mathrm {F} \ mathrm {L} ^ {2}} {16}}}

. Ebből kifolyólag

{\ displaystyle \ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} y (x) = \ int _ {0} ^ {x} \ balra ({\ frac {\ mathrm {F}} {4}} t ^ {2} - {\ frac {\ mathrm {F} \ mathrm {L} ^ {2}} {16}} \ right) \ mathrm {d} t + \ mathrm {B} = { \ frac {\ mathrm {F}} {12}} x ^ {3} - {\ frac {\ mathrm {F} \ mathrm {L} ^ {2}} {16}} x + \ mathrm {B}}

. Az elmozdulás nulla a támaszokkal (korlátozó feltétel), tehát B = 0. Az egyiknek így van

{\ displaystyle y (0) = 0}

{\ displaystyle y (x) = {\ frac {1} {\ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ bal ({\ frac {\ mathrm {F}} { 12}} x ^ {3} - {\ frac {\ mathrm {F} \ mathrm {L} ^ {2}} {16}} x \ right)}

. A második fél alakja szimmetrikus; egy másik hasonló alakú polinom írja le. Az elhajlás (maximális elmozdulás) x = L / 2 középpontban van :

{\ displaystyle f = - {\ frac {\ mathrm {F} \ mathrm {L} ^ {3}} {48 \ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}}}

. Torzióban

Itt csak egy L hosszúságú hengeres gerenda esetét vesszük figyelembe. Az egyik vég a másikhoz képest θ szöggel (radiánban) forog. Ezért meghatározhatjuk az α = θ / L (rad / m) torzió egységszögét .

Intuitív módon ez az egységszög a következőktől függ:

az erő, vagyis az itt feltételezett M t torziós momentum egyenletes;
a gerenda merevsége, amely a következőktől függ:
- a merevsége az anyag, keresztül a Coulomb-modulus G,
- A merevség a szakasz, keresztül a kvadratikus pillanatában torziós I G ;

van

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {\ mathrm {M_ {t}}} {\ mathrm {G} \ mathrm {I_ {G}}}}}

Tehát, ha azt feltételezzük, hogy a szekció x = 0 rögzítve marad, részben a abszcissza x meghatározatlan vált a

{\ displaystyle \ theta (x) = \ alpha x = {\ frac {\ mathrm {M_ {t}}} {\ mathrm {G} \ mathrm {I_ {G}}}} x}

és főleg

{\ displaystyle \ theta (\ mathrm {L}) = {\ frac {\ mathrm {M_ {t}} \ mathrm {L}} {\ mathrm {G} \ mathrm {I_ {G}}}}}

Hyperstatikus hajlítás

Gyakran vizsgált eset a hiperstatikus gerenda hajlítása. Ebben az esetben a statika egyenletei nem elegendőek a csapágyakon lévő erők meghatározásához. A felbontás két módját alkalmazzák:

a szuperpozíció módszere: az egyik két izosztatikus esetre bontja a terhelést;
az integráció módszere: az egyik a két sorrend lineáris differenciálegyenletét oldja meg EI G z y '' = M f , az adaptált peremfeltételek alkalmazásával.

Megjegyzések és hivatkozások

(in) Roberto BALLARINI , A Da Vinci-Euler-Bernoulli Beam elmélet?, Gépészmérnök Magazine Online ,2003. április 18( online olvasás )
(in) Seon Mr. Han , Haym Benaroya és Timothy Wei , dinamikája Keresztben Rezgő gerendák segítségével sütő Engineering elméletek, gépészmérnök Magazine Online ,1999. március 22( online olvasás )
Egyensúlyi feltétel a köbös elem forgásának megakadályozása, ennek következménye, hogy a feszültségtenzor szimmetrikus mátrix.

Lásd is

Bibliográfia

Jean-Louis Fanchon, mechanikus útmutató , Nathan ,2001, 543 p. ( ISBN 2-09-178965-8 ) , p. 265-396
Claude Hazard, Frédy Lelong és Bruno Quinzain , Mémotech - Fémes szerkezetek , Párizs, Casteilla,1997, 352 p. ( ISBN 2-7135-1751-6 ) , p. 326-336
D. Spenlé és R. Gourhant, Útmutató a mechanika számításához: az ipari rendszerek teljesítményének ellenőrzése , Párizs, Hachette ,2003, 272 p. ( ISBN 2-01-168835-3 ) , p. 130-208

Kapcsolódó cikkek

Külső linkek

Cours des Mines de Paris ( Creative Commons licenc )
Képlet az egyszerű kétdimenziós nyaláb kiszámításához
Egyszerű gerendák alakulnak ki - kohéziós erők a Wikikönyvekben
A gerendák matematikai megközelítése
Tanfolyam a végeselemes módszerről , Yves Debard, a Le Mans-i Egyetem részéről [PDF] :
- A sugár normál stressznek van kitéve
- Középsíkú gerendák hajlítása
Lineáris statikus számítás a gerendákhoz , Validációs útmutató a szerkezeti számítási szoftvercsomagokhoz , ICAB
A sugár és az instabilitás kiszámítása a kihajlásban, oldalirányú torziós kihajlásban, kihajlásban , ICAB Force szoftver referencia kézikönyv
Szerkezetek mechanikája és gerendák tanulmányozása Patrice Cartraud, École Centrale de Nantes által