Erdős-Szemerédi tétel
A számtani kombinatorikában az Erdős-Szemerédi-tétel biztosítja, hogy szigorúan pozitív c és ε konstansok létezzenek, így a valós számok bármely véges A halmaza esetén
max(|NÁL NÉL+NÁL NÉL|,|NÁL NÉL⋅NÁL NÉL|)≥vs.|NÁL NÉL|1+ε{\ displaystyle \ max (| A + A |, | A \ cdot A |) \ geq c | A | ^ {1+ \ varepsilon}}
ahol | | jelöli a bíboros , az összeget készletek az A önmagával,NÁL NÉL+NÁL NÉL={nál nél+b | nál nél,b∈NÁL NÉL}{\ displaystyle A + A = \ {a + b ~ | ~ a, b \ A-ban \}}
NÁL NÉL⋅NÁL NÉL={nál nél⋅b | nál nél,b∈NÁL NÉL}.{\ displaystyle A \ cdot A = \ {a \ cdot b ~ | ~ a, b \ A \} -ben.}
Előfordulhat, hogy egy olyan a mérete összemérhető A + A (ha A jelentése a számtani sorozat ), vagy a A ∙ A (ha A jelentése a mértani ). Az Erdős-Szemerédi-tétel tehát informálisan értelmezhető azzal, hogy a „nagy” halmaz nem „viselkedhet” egyszerre aritmetikai progresszióként és geometriai progresszióként; azt is mondhatjuk, hogy a valódi vonal nem tartalmaz olyan készletet, amely véges alárendelésre „hasonlít” . Ez az első példa az úgynevezett "össztermék-jelenségnek", amelyről ismert, hogy sok gyűrű és test, beleértve a véges mezőket is, előfordul .
Erdős és Szemerédi azt sejtették, hogy az ε önkényesen választható közel 1-re. 2009-ben a legjobb eredmény ebben az irányban Solymosi eredménye: ε tetszőlegesen közel 1/3-ra választható.
Megjegyzések és hivatkozások
(en) Ez a cikk részben vagy egészben az
„ Erdős - Szemerédi tétel ” című
angol Wikipedia cikkből származik
( lásd a szerzők felsorolását ) .
-
(in) Erdős P. és Szemerédi E. , "Az egész számok összegei és szorzatai" , Erdős P., L. Alpár,
Halász G. (hu) és Sárközy A. , Tanulmányok a tiszta matematikából: Pál emlékezetébe Turán , Birkhäuser ,1983( online olvasható ) , p. 213-218
-
(a) Terence Tao , " A SUM-terméket jelenség önkényes gyűrűk " , Diszkrét Math. , vol. 4, n o 22009, P. 59-82, arXiv : 0806.2497
-
(in) Solymosi Jozsef , " multiplikatív korlátozó energia a halmaz által " , Advan. Math. , vol. 222, n o 22009, P. 402-408, preprint arXiv : 0806.1040
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">