Rao-Blackwell tétel

Természet	Tétel
Névre hivatkozva nevezték el	David Blackwell , Calyampudi Radhakrishna Rao
Képlet	${\ displaystyle f (n) = f (n-1) + \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} \ bal (1+ \ bal (ni-1 \ jobb) \ bal (i-1 \) jó jó)}$

A statisztikákban a Rao - Blackwell tétel lehetővé teszi egy becslésből , hogy pontosabb becslőt készítsen egy megfelelő statisztika használatának köszönhetően . Ennek a tételnek az az előnye, hogy a kezdeti becslőnek nem feltétlenül kell túl jónak lennie ahhoz a becslőhöz, amelyet ez a tétel összeállít ahhoz, hogy jó eredményeket szolgáltasson. Elég, ha a kiinduló becslő elfogulatlan, hogy képes legyen új becslő elkészítésére. Többek között a kiindulási becslőnek nem kell konvergensnek vagy hatékonynak lennie.

Tétel

Ha egy torzítatlan becslése , és S jelentése elegendő statisztika , akkor a kiegészített becslő egy kisebb variancia, mint a variancia az eredeti becslés. A kibővített becslő tehát mindig pontosabb, mint a kezdeti becslő, ha elegendő statisztikával növeli. $\delta$ ${\ mathbb {E}} (\ delta | S)$

Többparaméteres esetben, amikor a becslő és a paraméter dimenziói nagyobbak, mint 1, a varianciát az A variancia-kovariancia mátrix helyettesíti . A Rao-Blackwell-tétel ekkor a következőket adja meg:

Nem számít, hogy A pozitív-e , az A által definiált dot szorzatot használó négyzethiba mindig kisebb a kibővített becslőnél, mint a kezdeti becslőnél.

Az a tény, hogy bármilyen dot terméket és nemcsak a szokásos dot terméket felveheti, nagyon hasznos lehet, így a különböző komponensek nem normalizálódnak ugyanúgy. Ez például akkor fordulhat elő, ha az egyik vagy másik komponens hibája „többe kerül”, és a skaláris szorzat mátrixát választhatja ki. A kibővített becslő mindig előnyösebb lesz még ezzel a szokatlan ponttermékkel is.

Valójában a Rao Blackwell-tétel kissé látott módon azt mondja, hogy bármi legyen is az L konvex veszteségfüggvény . A kibővített becslő tehát mindig pontosabb, függetlenül a "precíz" kifejezésre adott (ésszerű) definíciótól. ${\ displaystyle \ mathbb {E} (L (\ mathbb {E} (\ delta | S), \ theta)) \ leq \ mathbb {E} (L (\ delta, \ theta))}$

Példa

Ezért úgy n valószínűségi változók IID szerint szét Poisson törvények paraméter és igyekszünk megbecsülni . Meglehetősen könnyen kimutatható, ha figyelembe vesszük a faktorizációs kritériumot, amely kimerítő statisztika. A tétel érdeklődésének bemutatásához egy durva becslést veszünk, amelynek értéke 1, ha és 0, ha nem. Ez a becslő csak akkor veszi figyelembe az X egyetlen értékét, ha n értéke van, és csak 0 vagy 1 értéket eredményez, miközben az értéke a 0,1] intervallumhoz tartozik, és kétségtelenül nem érvényes 1. (ha ez volt az eset 0 lenne determinisztikusan, és az adatok megnézésével észrevettük volna). Bár ez a becslő nagyon durva, a kapott kibővített becslő nagyon jó, sőt azt is megmutathatjuk, hogy optimális. A kibővített becslő értéke: $X_ {i}$ $\ lambda$ $e ^ {{- \ lambda}}$ $S = \ összeg _ {{i = 1}} ^ {n} X _ {{i}}$ ${\ displaystyle e ^ {- \ lambda} \ kettőspont \ delta _ {0} = \ delta (X_ {1}, 0)}$ $X_ {1} = 0$ $e ^ {{- \ lambda}}$ $X_ {i}$

\ delta _ {1} = {\ mathbb {E}} (\ delta _ {0} | S). \, \!

Megmutathatjuk, hogy:

A számítás részletei

${\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {1} = k | \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} = S) = {\ frac {\ mathbb {P} (X_ {1} = k \, és \, \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} = S)} {\ mathbb {P} (\ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} = S)}} = {\ frac {\ mathbb {P} (X_ {1} = k \, és \, \ sum _ {i = 2} ^ {n} X_ {i} = Sk)} {\ mathbb {P} (\ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} = S)}}}$

És függetlenségével : $X_ {i}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {1} = k | \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} = S) = {\ frac {\ mathbb {P} (X_ {1} = k) \ mathbb {P} (\ sum _ {i = 2} ^ {n} X_ {i} = Sk)} {\ mathbb {P} (\ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ { i} = S)}}}$

Ha a paraméter Poisson-eloszlását követi, akkor a generáló függvény megéri . A generátorfüggvény tulajdonságai alapján arra a következtetésre jutunk, hogy a paraméter Poisson-törvényszerűségeit követő n változó összege Poisson-paramétertörvény . Levezetjük a valószínűségeket, és B binomiális eloszlást követünk (S, 1 / n). A k = 0 értéknél kapott érték adja meg a becslőt . Valóban,

X_ {i}

\ lambda

\ phi _ {{X_ {i}}} (t) = \ e ^ {{\ lambda (t-1)}}

\ lambda

n \ lambda

{\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {1} = k | \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} = S) = C_ {S} ^ {k} \, {\ frac { (n-1) ^ {Sk}} {n ^ {S}}}}

X_ {1}

\ delta _ {1}

{\ displaystyle \ delta _ {1} = \ mathbb {E} (\ delta _ {0} | S) = 1. \ mathbb {P} (X_ {1} = 0 | \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} = S) +0. \ mathbb {P} (X_ {1} \ neq 0 | \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} = S)}

\ delta _ {1} = \ balra (1- {1 \ felett n} \ jobbra) ^ {{S}}. \, \!

$\ delta _ {1}$ olyan, mint egy becslést a kukorica megvan az az előnye, hogy sokkal pontosabb alkalmazásának köszönhetően a Rao - Blackwell tétel. $\ delta _ {0}$ $e ^ {{- \ lambda}}$

Meg tudjuk mutatni, hogy ez optimális becslője (lásd Lehmann-Scheffé tétel ), de hogy az optimális becslője eltér-e . $\ delta _ {2} = {\ frac {S} {n}}$ $\ lambda$ $e ^ {{- \ lambda}}$ $e ^ {{- \ delta _ {2}}}$

Valójában, bár konvergens becslõje, viszonylag gyenge minõségû becslõ, mert torzított és így becsülve szisztematikus hibát követünk el a becslésben. Általánosságban elmondható, hogy érdekes lehet becslésére , hogy építsenek egy konkrét becslést helyett értékének kiszámításánál figyelembe a becslése . $e ^ {{- \ delta _ {2}}}$ $e ^ {{- \ lambda}}$ $f (\ lambda)$ $f$ $\ lambda$

Lásd is

Hivatkozások

A. Montfort matematikai statisztikai tanfolyam , 1982, Economica. Párizs.

Külső linkek

P. Druilhet „ http://www.ensai.com/upload/files/BIBFILE_FILE_KcEegDc.pdf ” ( Archív • Wikiwix • Archive.is • Google • Mit kell tenni? ) Interferenciás statisztikák természetesen.