Chebotariov sűrűségtétel
Az algebrai számelmélet , a tétel a Tchebotariov miatt Nikolai Chebotaryovban és általában írt tétel Chebotarev magyarázza a tétel számtani sorozat a Dirichlet a végtelen prímszám számtani sorozat : azt mondja, hogy ha egy , q ≥ 1 egészek prím legyen más , a természetes sűrűsége a beállított prímszám kongruens a modulo q jelentése 1 / φ ( q ) .
Államok
Az Tchebotariov tétel a következő: figyelembe véve a Galois kiterjesztése a szám mezőben , a Galois-csoport . A bármely egész ideális a , jelöljük a norma a .
L/K{\ displaystyle L / K}
G{\ displaystyle G}
nál nél{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}
K{\ displaystyle K}
NEM(nál nél)=|OK/nál nél|{\ displaystyle {\ mathcal {N}} ({\ mathfrak {a}}) = \ balra | {\ mathcal {O}} _ {K} / {\ mathfrak {a}} \ jobbra |}
nál nél{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}![{\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f656feeddb5d98500bb4d3fc31038d0b87484b)
Vegyük az első ideális a nem elágazó a , és a prime ideális felett .
o{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}
K{\ displaystyle K}
L{\ displaystyle L}
P∣o{\ displaystyle {\ mathfrak {P}} \ mid {\ mathfrak {p}}}
L{\ displaystyle L}
o{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}![{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14c125cdf81ac25d76edc2e8d557302c9f555a9)
Megmutatjuk, hogy létezik olyan egyedi elem, amelyet a következő összefüggés jellemez: bármely elem esetében megvan
σP∈G{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathfrak {P}} \ G-ben
α∈OL{\ displaystyle \ alpha \ itt: {\ mathcal {O}} _ {L}}![{\ displaystyle \ alpha \ itt: {\ mathcal {O}} _ {L}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c8a74c8c87216a263c2aafe65d848e8880c8949)
σP(α)≡αNEM(o)(modP).{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathfrak {P}} (\ alpha) \ equiv \ alpha ^ {{\ mathcal {N}} ({\ mathfrak {p}})} {\ pmod {\ mathfrak {P}} }.}![{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathfrak {P}} (\ alpha) \ equiv \ alpha ^ {{\ mathcal {N}} ({\ mathfrak {p}})} {\ pmod {\ mathfrak {P}} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0ea4de52fb71be4cb8eb86540e39226edc5ceec)
Ha nem Abel, ez függ a választott : valóban, ha egy másik elsődleges ideális fent , van olyan , hogy , majd , és a konjugált az .
G{\ displaystyle G}
P{\ displaystyle {\ mathfrak {P}}}
P′{\ displaystyle {\ mathfrak {P '}}}
o{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}
σ∈G{\ displaystyle \ sigma \ G-ben}
P′=σ(P){\ displaystyle {\ mathfrak {P '}} = \ sigma ({\ mathfrak {P}})}
σP′{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathfrak {P '}}}
σP{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathfrak {P}}}
G{\ displaystyle G}![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
Mi akkor fontolja meg a ragozás osztály , ahogy mi hívjuk a Frobenius szimbólum az itt , még megjegyezte (rongálás) . Fontos, hogy ha van Abel , ez az osztály csökken egyetlen elem.
{σP,P∣o}{\ displaystyle \ {\ sigma _ {\ mathfrak {P}}, \, {\ mathfrak {P}} \ mid {\ mathfrak {p}} \}}
o{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}
L/K{\ displaystyle L / K}
σo{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathfrak {p}}}
G{\ displaystyle G}![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
Ezután kijelenthetjük azt a tételt, amelyet Cebotariov 1922-ben dolgozatában bemutatott:
Chebotariov tétele - Legyen konjugációs osztály . Ezután a beállított elsődleges eszmények a , egyenes láncú , és úgy, hogy , van a „természetes sűrűség” .
VS{\ displaystyle C}
G{\ displaystyle G}
o{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}
K{\ displaystyle K}
L{\ displaystyle L}
σo=VS{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathfrak {p}} = C}
|VS|/|G|{\ displaystyle | C | / | G |}![{\ displaystyle | C | / | G |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/674a834acb9ce3ac6d953429756c8bbb33a798b3)
A Dirichlet aritmetikai progresszió tételének kvantitatív változata az aritmetikai progresszióban levő prímszámokra következik, az előző tétel applying ciklotomikus kiterjesztésére történő alkalmazásával.
Megjegyzések és hivatkozások
-
Helytelenül, az angol hatására: lásd Átírás oroszról franciára .
-
Jean-Pierre Serre , „ Chebotarev sűrűségtételének néhány alkalmazása ”, Publ. Math. IHES , vol. 54,tizenkilenc nyolcvan egy, P. 123-201 ( online olvasás ).
-
E kifejezés sajátos jelentését ebben az összefüggésben lásd Serre 1981 , p. 131.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">