Picard tételei

A komplex elemzés , Picard tételei , a matematikus Émile Picard , kétfélék:

A Picard kis tétel szerint a teljes, nem állandó függvény minden komplex számot vesz értékként, kivéve talán valamilyen komplex számot.

A nagy tétel a Picard azt mondta, hogy a Holomorf függvény , amelynek lényeges szingularitás vesz minden környéken e szingularitás, bármilyen komplex szám számtalanszor mint érték, kivéve talán néhány komplex szám.

Megjegyzések

A következő példákból kitűnik, hogy ezekben az állításokban "kivéve talán egyet". A teljes funkció (a komplex exponenciális ) nem tűnik el. A végtelenségben még lényeges szingularitása is van ( transzcendens funkció ). A függvény példa egy nem törlő funkcióra, amelynek lényeges szingularitása korlátozott (a ponton ). ${\ displaystyle z \ mapsto \ mathrm {e} ^ {z}}$ ${\ displaystyle z \ mapsto \ mathrm {e} ^ {1 / z}}$ ${\ displaystyle 0}$
A polinomfüggvények esete d'Alembert-Gauss tétel közvetlen következménye .
A kis tétel azonnal levezethető a nagyból, mert bármely egész függvény vagy polinom, vagy a végtelenben lényeges szingularitással rendelkezik.
Picard nagy tétele általánosítja a Weierstrass-Casorati tételt .

B. Elsner legutóbbi sejtése Picard nagy tételéhez kapcsolódik : hagyja nyitva a csatlakozást, amely megfelel a tompa egységlemeznek . Minden nyitott , legyen egy injektív Holomorf funkciót, mint például az összes kereszteződések . Ezután ezek a differenciálművek meromorf 1 alakban ragadnak össze a lemezen . (Ha a maradék nulla, a sejtés Picard nagy tételéből következik.) ${\ displaystyle U_ {1}, U_ {2}, \ dots, U_ {n}}$ ${\ displaystyle D \ setminus \ {0 \}}$ $U_ {j}$ $f_ {j}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} f_ {j} = \ mathrm {d} f_ {k}}$ $U_ {j} \ cap U_ {k}$ $D$

jegyzet

(in) Serge Lang , Komplex elemzés , vol. 103., Springer Verlag , koll. " Matematikai diplomás szövegek ",1985, 2 nd ed. , 367 p. ( ISBN 978-1-4757-1871-3 , online olvasás ) , p. 343
Bernhard Elsner (en) 330. oldala , „ Hyperelliptic action integral ” , Annales de Institut Fourier , vol. 49, n o 1,1999, P. 303-331 ( online olvasás ).

Kapcsolódó cikk

Landau tétele , Picard „kicsi” tételét általánosítva