A matematika , a unit disk nyitott körül P (ahol P egy adott pontján a sík ), a pontok halmaza, amelynek távolsága származó P kevesebb, mint 1:
.A P körüli zárt egységlemez olyan pontok halmaza, amelyek távolsága P- tól kisebb vagy egyenlő:
.Az egységlemezek az egységlemezek és golyók speciális esetei ; mint ilyenek tartalmazzák az egységkör belsejét, és a zárt egységlemez esetén magát az egységkört.
További specifikációk nélkül az "egységlemez" kifejezést használják az eredetileg nyitott egységlemezre , standard euklideszi metrikával . Ez egy 1 sugarú kör belseje, amelynek középpontja az origó. Ez a készlet lehet azonosítani a készlet minden komplex számok a modulus kisebb, mint egy. A komplex sík ( C ) részhalmazaként tekintve az egységlemezt gyakran jelöljük .
Funkció
példa a sík felé nyitott egységlemez valódi analitikai és bijektív funkciójára ; inverz funkciója analitikus is. Valódi 2-dimenziós analitikai sokaságnak tekintve a nyitott egységlemez tehát izomorf a teljes síkra nézve. Különösen a nyitott egységlemez homeomorf a síkhoz képest.
Az egységlemez és a sík között azonban nincs konformális bijekció . Riemann felületnek tekintve a nyitott egység lemeze tehát eltér a komplex síktól.
A nyitott egység tárcsa és a felső félsík (be) között konform alakzatok vannak . Tehát Riemann-felületnek tekintve a nyitott egységlemez izomorf ("biholomorf" vagy "konform módon egyenértékű") a felső félsíkkal, és a kettőt gyakran felcserélhető módon használják.
Általánosabban fogalmazva, Riemann konform leképezési tétele azt állítja, hogy a komplex sík bármely, egyszerűen összekapcsolt altere , amely különbözik a komplex síktól, konform konvekciót enged be a nyitott egység lemezéhez.
A nyitott egység korongjától a felső félsíkig tartó konform konvekció a Möbius-transzformáció
ami Cayley átalakulásának fordítottja .Geometriai szempontból elképzelhető, hogy a valódi tengely elcsavarodott és szűkül, így a felső félsík a korong belsejévé válik, a valódi tengely pedig a korong kerületét képezi, kivéve a csúcson lévő pontot, a „Pont a végtelenig” . A nyitott egység korongjától a felső félsíkig tartó konform konvekció két sztereográfiai vetület kompozíciójaként is felépíthető : először az egység korongot sztereográfiailag vetítik az egység gömbjének felső fele felé, a "déli pólust" figyelembe véve. egység gömb, mint a vetület középpontja, majd ez a félteke ferdén vetül ki a gömböt érintő függőleges félsíkra, a vetítés középpontjának azt a pontot veszi, amely a féltekén van az érintkezési ponttal szemben.
Az egységlemez és a felső félsík nem cserélhető fel a Hardy-terek tartományaként . Ennek a különbségnek az oka az a tény, hogy az egységkörnek véges Lebesgue- mértéke van (egydimenziós), míg a valós tengelynek nincs véges Lebesgue-mértéke.
A nyitott egységet tartalmazó lemezt általában a hiperbolikus sík modelljeként használják egy új mutató, a Poincaré mutató bevezetésével . Az egységlemez és a felső félsík közötti fent említett konformális leképezést felhasználva ez a modell átalakítható a hiperbolikus sík Poincaré- félsíkjává. A Poincaré korong és a Poincaré félsík is a hiperbolikus tér konform modellje, vagyis a modellben mért szögek egybeesnek a hiperbolikus tér szögeivel, ezért a kis figurák alakjai (de nem mérete) megmaradnak.
A hiperbolikus tér másik modellje szintén az egységlemezre épül: a Klein-modell . Nem konform, de megvan az a tulajdonsága, hogy a modell egyenesei megfelelnek a hiperbolikus tér egyeneseinek.
Az egységlemezeket más mutatókhoz viszonyítva is figyelembe vehetjük . Például a manhattani távolság és a Chebyshev- lemezek távolsága négyzetre hasonlít (bár a mögöttes topológiák megegyeznek az euklideszi nézettel).
Az euklideszi korong területe π , kerülete 2π. Másrészt az egységlemez kerülete (a Manhattantől való távolság szempontjából) a taxi-geometriában 8. 1932-ben Stanisław Gołąb bebizonyította, hogy a szabványból levezetett mérőszámoknak köszönhetően a lemez egységének kerülete 6 és 8 közötti értéket vehet fel, és ez a két szélső érték akkor és csak akkor érhető el, ha az egységlemez rendes hatszög vagy paralelogramma .